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2011年高考题汇编(极坐标和参数方程)


2011 年高考题汇编(极坐标和参数方程)
1.(江苏卷高考题)在平面直角坐标系 xO y 中,求过椭圆 ?
? x ? 4 ? 2t ?y ? 3?t ? x ? 5 cos ? ? y ? 3 sin ?

( ? 为参数)

的右焦点,且与直线 ?

( t 为参数)平行的直线的普通方程.

2.(江西卷高考题)若曲线的极坐标方程为 ? ? 2 sin ? ? 4 cos ? ,以极点为原点, 极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系,则改曲线的直角坐标方程为 .

4. (安徽卷) 在极坐标系中, ( ? , ) 到圆 ? ? 2 co s ? 的圆心的距离为 点 (
?

?



(A) 2

(B)

4?

?

2

(C)

1?

?

2

(D)

3

9

9

5 2 ? ? x ? 5 co s ? ?x ? t ? (0≤ ? < ? ) 和 ? 5.已知两曲线参数方程分别为 ? 4 ( t ? R ) ,它们的 ? y ? sin ? ? ?y ? t ?

交点坐标为

.[来源

1

6.(辽宁卷) (23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?
? x ? a cos ? , ? y ? b sin ? , ? x ? cos ? , ? y ? sin ? ,

( ? 为参数)曲线 C2

的参数方程为 ?

( a ? b ? 0 ,? 为参数)在以 O 为极点,x 轴的正半轴

为极轴的极坐标系中,射线 l:θ = ? 与 C1,C2 各有一个交点.当 ? =0 时,这两个 交点间的距离为 2,当 ? =
π 2

时,这两个交点重合.

(I)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; (II)设当 ? =
π 4

时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 ? =-

π 4

时,l 与 C1,

C2 的交点为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积. 解析: (I)C1 为圆,C2 为椭圆. 当 ? =0 时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别是(1,0),(a,0),因为这两点间 的距离为 2,所以 a=3. 当?
?

?
2

时,射线 l 与 C1,C2 交点的直角坐标分别是(0,1),( 0,b),因为这两点重

合,所以 b=1. (II)C1,C2 的普通方程分别为 x 2 ? y 2 ? 1,
x
2

? y ? 1,
2

9
?
4

当?

?

时,射线 l 与 C1 交点 A1 的横坐标是 x ?

2 2

,与 C2 交点 B1 的横坐标是

x'?

3 10 10

; 时,射线 l 与 C1 、C2 的两个交点 A2 、B2 的分别与 A1、B1 关于 x 轴对

当?

? ?

?
4

称,因此,四边形与 A1 A2B2B1 为梯形. 故四边形与 A1 A2B2B1 的面积为

? 2 x '? 2 x ? ? x '? x ?
2

?

3 5

.

7.(新课标高考 2011 理科数学) (本题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线 C 1 的参数方程为 ?
? x ? 2 cos ? ? y ? 2 ? 2 sin ?

,( ? 为参数)

2

M 是曲线 C 1 上的动点,点 P 满足 OP ? 2 OM , (1)求点 P 的轨迹方程 C 2 ; (2)在以 D 为极点,X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ?
C2

?
3

与曲线 C 1 ,

交于不同于原点的点 A,B 求 AB

所以,曲线 C 2 的参数方程为 ?

? x ? 4 cos ? ? y ? 4 ? 4 sin ?

( ? 为参数)

(Ⅱ)曲线 C 1 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? 曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? 8 sin ? ,它们与射线 ? ? 是 ? 1 ? 4 sin
?
3 ? 2 3 , ? 2 ? 8 sin

?
3

交于 A、B 两点的极径分别

?
3

? 4 3

,因此, AB ? ? 1 ? ? 2 ? 2 3

点评: 本题考查坐标系与参数方程的有关内容,求解时既可以化成直角坐标方程 求解, 也可以直接求解 (关键要掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知 识的联系) (陕西卷)

| C 1C 2 | ? 2 ?

(3 ? 0 ) ? ( 4 ? 0 )
2

2

?2 ? 5 ? 2 ? 3

(天津卷)

3

4


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