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三角函数的图象与性质(4课时)


三角函数的图象性质
【知识整理】
1、画出 y ? sin x 的图象(注意用五点作图法作出一个周期内的图象)

(1)定义域:

、 (2)值域:

、 (3)奇偶性:

、 (4)周期:



(5)单调递增区间: 单调递减区间: (6

)对称性:对称轴 、对称中心 、

2、画出 y ? cos x 的图象(注意用五点作图法作出一个周期内的图象)

(1)定义域:

、 (2)值域:

、 (3)奇偶性:

、 (4)周期:



(5)单调递增区间: 单调递减区间: (6)对称性:对称轴 、对称中心 、

第 1 页(共 11 页)

3、在下面坐标系中画出 y ? tan x 的图象(作出一个周期内的图象、注意其定义域)

(1)定义域:

、 (2)值域:

、 (3)奇偶性:

、 (4)周期:



(5)单调递增区间: 单调递减区间: (6)对称性:对称轴 、对称中心 、

三角函数的图象性质:值域
题型一: ( x 无范围求值域: ) (1)求 y ?

1 cos x ? 1 的值域; 2

(2)求 y ? 2 cos(

?
6

? x) ? 3 的值域;

(3)求 y ? cos x ? sin x 的值域; (4)求 y ?

1 cos x ? sin x 的值域; 2

题型二: ( x 有范围求值域: )
第 2 页(共 11 页)

(1)求 y ?

1 ? 2? cos x ? 1 的值域且 x ? ( , ) ; 2 4 3

(2)求 y ? ?

1 ? ? 2? sin( ? 2 x) ? 3 的值域且 x ? ( , ) ; 2 3 4 3

(3)求 y ? 3 sin x ? cos x 的值域且 x ? (

? 2?
4 , 3

);

题型三: (用换元法求值域) (1)求 y ? sin x ? sin x 的值域;
2

(2)求 y ? 2 cos x ? sin x ? 1 的值域;
2

第 3 页(共 11 页)

三角函数的图象性质:最小正周期
求下列函数的周期; (1) y ? sin 2 x ;T= 、

(3) f ( x) ? sin x sin( x ?

?
3

) T=



(4) y ?

x ? 3 tan( ? ) ? 2 ;T= 2 4



(5) y ? 5 tan( 2 x ?

?
4

) ? 3 ;T=



(6) y ?

x ? 3 sin 2 ( ? ) ;T= 2 4
2



(7) y ? 2 cos ( x ?

?
4

) ? 1;T=




(8) y ? sin 2 x ? cos2 x ;T= (9) y ? (sin x ? cos x) 2 ? 1 ;T= (10) y ? cos2x ? 2 3 sin x cos x ;T= (11) y ? 2 sin 2 x ? cos2 x ;T= (13) y ? sin( 2 x ?

、 、 、 、

?
4

) ? 2 2 sin 2 x ;T=

三角函数的图象性质:单调性
1、求下列函数的单调递增区间; (1) y ?

x ? 3 sin( ? ) ; 2 4

(2) y ?

3 sin(

?
6

? 2 x) ? 1 ;

第 4 页(共 11 页)

(3) y ? cos(

?
4

? 3x) ? 1;

(4) y ?

x ? 3 tan( ? ) ; 2 4

2、函数 y ? 2 sin( (A) [ 0,

?
6

? 2 x)( x ? [0, ? ] )为增函数的区间是(

)

? ] 3

(B) [

? 7?
12` 12 ,

]

(C) [

? 5?
3 6 ,

]

(D) [

5? ,? ] 6

3、已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻交点 的距离等于 ? ,则 f ( x) 的单调递增区间是

三角函数的图象性质:奇偶性
判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? sin 3x 、 (2) f ( x) ? cos

x ? 、 (3) f ( x ) ? sin( 3 x ? ) 、 2 2

(4) f ( x ) ? sin( 3 x ?

?
3

)、 (5) f ( x ) ? cos( 3 x ?

?
2

)、 (6) f ( x ) ? cos( 3 x ?

?
4

)、

3x ? ? ) 、 (7) f ( x) ? tan( (8) f ( x) ? tan(3 x ?

?
6

3 )、 (9) f ( x) ? sin x ? tan x ? x 、

第 5 页(共 11 页)

三角函数的图象性质:对称轴与对称中心
1. y ? sin x 的对称轴: 对称中心: 2. y ? cos x 的的对称轴: 对称中心: 3. y ? tan x 的对称中心: 求下列函数的对称轴与对称中心: (1) f ( x ) ? sin( 2 x ?

?
3

)、

(2) f ( x ) ? cos( 2 x ?

?
4

)

(3) f ( x ) ? sin(

?
4

? 2 x) 、

(4) f ( x ) ? cos(

?
3

? 2 x)

4、函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ?

?
2

5? ) 的图象的一条对称轴方程是( 2
B. x ? ?



?

4

C. x ?

?

8

D. x ?

5、下列函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直线 x

?

? 对称的是 3 ? x ? y ?sin ( ? ) 6 . 2 3
? x) ,则 a 的值是(
D.0 )

5? 4

in (2 x? )B. y?s in (2 x? ) C. y?s in (2 x? )D A. y?s
6、设函数 f ( x) ? sin 3x ? a cos3x ,满足 f (

? 3

? 6

?
6

? x) ? f (

?
6

A.3

B.2

C. 1

7、 函数 y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ?

值为(



A.

?
12

) 图象的一条对称轴在 ( , ) 内,则满足此条件的一个 ? 2 6 3 ? ? 5? B. C. D. 6 3 6
第 6 页(共 11 页)

?

? ?

8、下列命题正确的是(



A.函数 y ? sin( 2 x ?

?
3

) 在区间 (?

? ?

, ) 内单调递增 3 6

B.函数 y ? cos 4 x ? sin 4 x 的最小正周期为 2? C.函数 y ? cos( x ? D.函数 y ? tan( x ?

?

?

) 的图像是关于点 ( ,0) 成中心对称的图形 3 6 ) 的图像是关于直线 x ?

?

?

3

9、 如果函数 y ? 3 cos(2 x ? ? ) 的图象关于点 (

?? ? 10、已知函数 f ? x ? ? 2cos ? 2 x ? ? ,下面四个结论中正确的是 6? ?
C.函数 f ? x ? 的图象是由 y ? 2cos 2 x 的图象向左平移

4? ,0) 成中心对称, 则 ? 的最小值是 3
?
6

6

成轴对称的图形 、

A.函数 f ? x ? 的最小正周期为 2? B.函数 f ? x ? 的图象关于直线 x ?

对称

?
6

个单位得到

?? ? D.函数 f ? x ? ? 是奇函数 6? ?

三角函数的图象与性质---由图求式
【知识整理】
1、三角函数的图象性质:已知三角函数的部分图像求解析式; 方法: (1)求 A, (2)根据图像求出函数的周期,再用 ? ?

2? 求出 ? ; T (3)用最高点或最低点求出 ? ,最后写出 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 的形式。

2、函数 y ? A sin(?x ? ? ), (? ? 0, ? ?

?
2

) 部分图象如下,求出该函数的解析式。

1
?

?
6

5? 6

f ( x) ?
第 7 页(共 11 页)



3、函数 y ? Asin(?x ? ? ), (? ? 0, ? ? ? ) 部分图象如下,求出该函数的解析式。
4 ?2

6
?4

f ( x) ?



4、函数 y ? A sin(?x ? ? ), (? ? 0, ? ?
2

?
2

) 部分图象如下,求出该函数的解析式。

0 ? 12

5? 6

f ( x) ?



5、函数 y ? Asin(?x ? ? ), (? ? 0, ? ? ? ) 部分图象如下,求出该函数的解析式。
1

??
?

?
3

f ( x) ?
6、已知函数 f ? x ?=Asin(? x+? ) ( x ? R, ? ? 0,0 ? ? ? (1)求函数 f ? x ? 的解析式; (2)求函数 g ? x ?=f ( x ?



?
2

) 的部分图象如图所示.

?
12

)-f ( x ?

?
12

) 的单调递增区间.

(第 6 题图)
第 8 页(共 11 页)

三角函数的图象与性质:图像变换
【知识整理】 一、三角函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? ) 的图象的性质:图象的三种变换—相位变换、周期变
换、振幅变换。 例说出 f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
4

) 的振幅、相位、初相以及周期。

二、 (1)第一种变换:相位变换( ? 发生改变)

f ( x) ? sin x

f ( x) ? sin( x ?

?
3

)

f ( x) ? sin 2 x
f ( x) ? 3 s i n2 (x ?

f ( x) ? sin( 2 x ?

?
3

)

?
3

)

f ( x) ? 3 sin( 2 x ?

?
3

)

总结: (1)左加右减、 (2)平移

? 个单位、 (3)一个平移就是一个向量、 ?
f ( x) ? sin( 2 x ?

f ( x) ? cos 2 x
(2)第二种变换:周期变换( ? 发生改变)

?
3

)

f ( x) ? sin x

f ( x) ? s i n 2x
x 2

f ( x) ? sin x

f ( x ) ? sin

f ( x) ? sin x
总结:看周期的变化、 (3)第二种变换:振幅变换( A 发生改变)

f ( x) ? s i n 3x

f ( x) ? sin x
f ( x) ? sin x

f ( x) ? 2 s i n x
1 f ( x ) ? sin x 3
第 9 页(共 11 页)

(4)相位变换与周期变换的综合: ( ?和? 都发生改变) ①

f ( x) ? sin x

f ( x) ? sin( 2 x ?

?
3

)

法 1、先移后缩:

f ( x) ? sin x
法 2、先缩后移:

f ( x) ? sin( 2 x ?

?
3

)

f ( x) ? sin x
f ( x) ? 3 cos( x ?

f ( x) ? sin( 2 x ?

?
3

)



?
3

)

f ( x ) ? 3 c o s2 (x ?

?
3

)

法 1、先移后缩:

f ( x) ? 3 cos( x ?

?
3

)

f ( x) ? 3 cos( 2 x ?

?
3

)

法 2、先缩后移:

f ( x) ? 3 cos( x ?


?
3

)

f ( x) ? 3 cos( 2 x ?

?
3

)

f ( x) ? sin 2 x

f ( x) ? sin( x ?

?
3

)

法 1、先移后缩:

法 2、先缩后移:

④ f ( x) ? sin x 法 1、先移后缩:

f ( x) ? c o s 2x

法 2、先缩后移:

第 10 页(共 11 页)

练习: 1、 已知 f1 ( x) ? sin x ,把它先向左移 析式。 2、把函数 f ( x) ? sin 2 x 的图象向左平移 A. y ? sin(2 x ?

? 个单位再向下移 1 个单位,求平移后 f 2 ( x) 的解 3

?
4

个单位,所得图像的解析式是( C. y ? cos 2 x D. y ? ? cos 2 x



?

) B. y ? sin(2 x ? ) 4 4

?

3 、 将函数 y ? sin 2 x ? cos 2 x 的图象向左平移 可以是( )A. y ? cos 2 x ? sin 2 x C. y ? sin 2 x ? cos 2 x

?
4

个单位长度,所得图象对应的函数解析式

B. y ? cos 2 x ? sin 2 x D. y ? sin x cos x

4、把函数 f ( x) ? sin 2 x 的图象向左平移 ? 个单位,所得 y ? sin(2 x ? A. ?

?
4

)

?
2

B.

?
2

C.

5 、将函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的 图像向左 平移

?
6

7? 8

D.

? 8

个 单位后得到 的图像对应 的解析式 为

y ? ? sin( 2 x ? ? ) ,则 ? 的值可以是

3 2 3 ? 6、为了得到函数 y ? sin( 2 x ? ) 的图象,可以将函数 y ? cos 2 x 的图象 6 ? ? ? ? A.右平移 个单位 B.右平移 个单位 C.左平移 个单位 D.左平移 个单位 6 3 6 3

A. ?

?
2

B.

?

C. ?

?

D.

?

7、 将函数 y ? 3cos x ? sin x ( x ? R) 的图象向左平移 m (m ? 0) 个单位长度后,所得到的图象 关于 y 轴对称,则 m 的最小值是

8、函数 y ? cos(2 x ? ? )(?? ? ? ? ? ) 的图像向右平移

与函数 y ? sin(2 x ?

?
3

? 错误!未找到引用源。个单位后, 2

) 的图像重合,则 | ? |? ___________.
第 11 页(共 11 页)


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