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2014届高三数学一轮复习 第41讲 合情推理与演绎推理课件 理 新人教版


第41讲 合情推理与演绎推理

1.(2012· 江苏省高考信息卷)对于大于或等于 2 的 自然数 n 的二次方幂有如下分解方式:22=1+3,32=1 +3+5,42=1+3+5+7, ??根据上述分解规律, 对任 意自然数 n,当 n≥2 时,有 .

解析: 等式右边依次为 n 个奇数和, 所以由归纳推理得, 当 n≥2 时,有

n2=1+3+?+(2n-1).

2.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法 则: ①“mn=nm”类比得到“a· b=b· a”; ②“(m+n)t=mt+nt”类比得到“(a+b)· c=a· c+b· c”; ③“t≠0,mt=nt?m=n”类比得到“c≠0,a· c=b· c?a =b”; ④“|m· n|=|m|· |n|”类比得到“|a· b|=|a|· |b|”. 以上类比得到的正确结论的序号是 确的结论的序号) .( 写出所有正

解析:由向量的数量积的定义 知,a· b=|a||b|cos 〈a,b〉=b· a,而 c≠0,a· c=b· c是 两个数相等,与向量 a=b 无关.

3 .(2013· 厦门期末质检 ) 二维空间中圆的一维测度 (周长)l =2πr,二维测度(面积)S=πr2,观察发现 S′=l;三维空间中 4 3 球的二维测度(表面积)S=4πr ,三维测度(体积)V= πr ,观察 3
2

发现 V′=S,则四维空间中“超球”的三维测度 V=8πr3,猜 想其四维测度 W= .

解析:因为(2πr4)′=8πr3,所以 W=2πr4.

4.已知 a,b,c∈R,则下列推论中正确的是( C ) A.a>b?am2>bm2 a b B. > ?a>b c c 1 1 C.a >b ,ab>0? < a b
3 3

1 1 D.a >b ,ab>0? < a b
2 2

解析:A 中注意 m=0 时不成立,B 中当 c<0 时不成立, D 中注意 a,b 的符号二者可同正同负,只需|a|>|b|即可.

5.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则直 线平行于平面内所有直线;已知直线 b?平面 α,直线 a?平 面 α,直线 b∥平面 α,则直线 b∥直线 a”的结论显然是错 误的,这是因为( A ) A.大前提错误 C.推理形式错误 B.小前提错误 D.非以上错误



归纳推理及应用
x 【例 1】已知函数 f(x)= ,设 f1(x)=f(x),fn(x)=fn 1-x

-1

[fn-1(x)](n>1, 且 n∈N*), 则 f3(x)的表达式为__________,

猜想 fn(x)(n∈N*)的表达式为____________;

(2)在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰, 第一件首饰是 1 颗珠宝, 第二件首饰是由 6 颗珠宝构成图 1 所示的正六边形, 第三件首饰是由 15 颗珠宝构成如图 2 所 示的正六边形, 第四件首饰是由 28 颗珠宝构成如图 3 所示 的正六边形, 第五件首饰是由 45 颗珠宝构成如图 4 所示的 正六边形,以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律加 一定数量的珠宝, 使它构成更大的正六边形, 依此推断第 6 件首饰上应有______颗珠宝,则前 n 件首饰所用珠宝总数 为______颗.(结果用 n 表示)

1 1-x x 解析:(1)f2(x)=f1[f1(x)]= = , x 1-2x 1- 1-x x 1-2x x f3(x)=f2[f2(x)]= = , 2x 1-22x 1- 1-2x ?? x * 由此猜想 fn(x)= ( n ∈ N ). - n 1 1-2 x

(2)设第 i 件首饰的珠宝数为 ai,则珠宝数构成了一个数列 {an},并设其前 n 项和为 Sn,则有 a1=1,a2=a1+5=6,a3= a2+5+4=15,a4=a3+5+2×4=28,a5=a4+5+3×4=45, a6=a5+5+4×4=66,?,an=an-1+5+4(n-2), 所以 an=a1+5(n-1)+4[1+2+3+?+(n-2)]=2n2-n, 所以 Sn=2(12+22+32+?+n2)-(1+2+3+?+n) n?n+1??2n+1? n?n+1? =2× - 6 2 n?n+1? n?n+1??4n-1? = (4n+2-3)= . 6 6

【拓展演练 1】 观察下列两式: 3 ①sin 20° +cos 50° +sin 20° · cos 50° = ; 4
2 2

3 ②sin 15° +cos 45° +sin 15° · cos 45° = . 4
2 2

分析上面的两式的共同特点,写出反映一般规律的等 式,并证明你的结论. 解析:推广结论: 3 sin α+cos (α+30° )+sin α· cos(α+30° )= . 4
2 2

证明如下: sin2α+cos2(α+30° )+sin α· cos(α+30° ) 3 2 1 = sin α+[cos(α+30° )+ sin α]2 4 2 3 2 1 = sin α+(cos αcos 30° -sin αsin 30° + sin α)2 4 2 3 2 3 2 3 = sin α+ cos α= . 4 4 4



类比推理及应用
【例 2】(1)(2012· 甘肃省天水市高考预测)在△ABC 中,D

为 AB 上任一点, h 为 AB 边上的高,△ADC,△BDC,△ABC AC 的内切圆半径分别为 r1,r2,r,则有如下的等式恒成立: r1 BD AB 2CD + = + .在三棱锥 PABC 中 D 是 AB 上任一点,h r2 r h 为过点 P 的三棱锥的高,三棱锥 PADC,PBDC,PABC 的 内切球的半径分别为 r1,r2,r,请类比平面三角形中的结论, 写出类似的一个恒等式为__________.

(2)(2012· 浙江省温州 10 月模拟)若{an}是等差数列,m, n,p 是互不相等的正整数,则有:(m-n)ap+(n-p)am+(p-
? m)an = 0 , 类 比 上 述 性 质 , 相 应 地 , 对 等 比 数 列 ? ?bn? , 有 ? ?

____________.

解析:(1)根据三角形类比三棱锥,显然给出的半径是一 致的,均为 r1,r2,r,不同的是分子,而不再是线段了,二 AC BD AB 2CD 维是线段,三维应该是面积,故把等式 + = + 中 r1 r2 r h S△ADC S△BCD 的线段替换成相对应的面积即可,于是得到 + = r1 r2 S△ABC 2S△PDC + . r h

(2)等比数列的项的次方相当于等差数列的项的倍数,等 差数列项间的和相当于等比数列项间的积,所以类比可得
n n p p m am am · an =1. p ·
- - -

【拓展演练 2】 (1)(2013· 杭 州 市 2 月 ) 已 知 等 差 数 列 {an} 中 , 有 a11+a12+?+a20 a1+a2+?+a30 = , 则在等比数列{bn}中, 会 10 30 有类似的结论 .

(2)(2012· 山东省烟台市 5 月)在 Rt△ABC 中, 若∠C=90° , a2+b2 AC=b, BC=a, 则△ABC 外接圆半径 r= .运用类比方 2 法, 若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为 a, b, c, 则其外接球的半径 R= .

解析:(1)根据等比数列与等差数列之间的类比关系,可 将分子中和变为积,商式变为根式即可得到类比结论: 10 b11b12?b20= 30 b1b2?b30.

(2)作一个在同一个顶点处棱长分别为 a,b,c 的长方体, 则这个长方体的体对角线的长度是 a2+b2+c2,故这个长方 a2+b2+c2 体的外接球的半径是 . 2



演绎推理及应用
【例 3】(2013· 河南省郑州市第一次质量预测)已知等差数

列{an}满足:a5=9,a2+a6=14. (1)求{an}的通项公式; (2)若 bn=an+qan(q>0),求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

解析:(1)设{an}的首项为 a1,公差为 d,则 由 a5=9,a2+a6=14, 得 a1+4d=
? ? ?

a1+6d=14 ,解得 a1=

? ? ?

d=2 ,

所以{an}的通项公式 an=2n-1.

(2)由 an=2n-1 得 bn=2n-1+q2n 1.


①当 q>0 且 q≠1 时, Sn=[1+3+5+?+(2n-1)]+(q +q +q +?+q
2n q ? 1 - q ? 2 n+ ; 1-q2 1 3 5 2n-1

)=

②当 q=1 时,bn=2n,得 Sn=n(n+1). 所以数列{bn}的前 n 项和 Sn
? ? ?n?n+1? ? ?

= ?q=1?
2n q ? 1 - q ? 2 n+ ?q>0且q≠1? . 2 1-q

【拓展演练 3】 (2012· 北京市东城区高三第一学期期末)已知 M 是由满足 下述条件的函数构成的集合:对任意 f(x)∈M,①方程 f(x)-x =0 有实数根;②函数 f(x)的导数 f′(x)满足 0<f′(x)<1. x sin x (1)判断函数 f(x)= + 是否是集合 M 中的元素,并说 2 4 明理由; (2)集合 M 中的元素 f(x)具有下面的性质: 若 f(x)的定义域 为 D,则对于任意[m,n]?D,都存在 x0∈(m,n),使得等式 f(n)-f(m)=(n-m)f′(x0)成立.试用这一性质证明:方程 f(x) -x=0 有且只有一个实数根.

解析:(1)因为①当 x=0 时,f(0)=0, 所以方程 f(x)-x=0 有实数根 0; 1 1 ②f′(x)= + cos x, 2 4 1 3 所以 f′(x)∈[ , ],满足条件 0<f′(x)<1. 4 4 x sin x 由①②,函数 f(x)= + 是集合 M 中的元素. 2 4

(2)假设方程 f(x)-x=0 存在两个实数根 α,β(α≠β),则 f(α)-α=0,f(β)-β=0, 不妨设 α<β,根据题意存在 c∈(α,β), 满足 f(β)-f(α)=(β-α)f′(c), 因为 f(α)=α,f(β)=β,且 α≠β,所以 f′(c)=1, 与已知 0<f′(x)<1 矛盾, 又 f(x)-x=0 有实数根, 所以方程 f(x)-x=0 有且只有一个实数根.

1.(2013· 广东卷)设整数 n≥4,集合 X={1,2,3,?,n}, 令集合 S={(x,y,z)|x,y,z∈X,且 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰 有一个成立}.若(x,y,z)和(z,w,x)都在 S 中,则下列选项 正确的是( B ) A.(y,z,w)∈S,(x,y,w)?S B.(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S C.(y,z,w)?S,(x,y,w)∈S D.(y,z,w)?S,(x,y,w)?S

解析:由题意可知,条件 x<y<z,y<z<x,z<x<y 恰有一 个成立,即 x,y,z 中任何两个不相等,若(x,y,z)和(z,w, x)都在 S 中,则有 x,y,z 中任何两个不相等,z,w,x 中 任何两个不相等,故(y,z,w)∈S,(x,y,w)∈S,故选 B.

2.(2013· 陕西卷)观察下列等式: 12=1 12-22=-3 12-22+32=6 12-22+32-42=-10 ?? 照此规律,第 n 个等式可为 .

解析:观察上式等号左边的规律发现,左边的项数依 次为 1,2,3,4,?,故第 n 个等式左边有 n 项,每项所含的 底数的绝对值也增加 1,依次为 1,2,3,?,n,指数都是 2, 符号成正负交替出现,可以用(-1)n 1 表示;等式的右边数


的绝对值是左边项的底数的和,故等式的右边可以表示为 (-1)
n-1

n?n+1? · ,所以第 n 个等式可为 12-22+32-42+? 2 n =(-1)
n-1n?n+1?

+(-1)

n-1 2

2

(n∈N*).

3.(2013· 北京卷)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过 各种多边形数.如三角形数 1,3,6,10,?,第 n 个三角形为 n?n+1? 1 2 1 = n + n,记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3),以 2 2 2 下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式:

三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 ??

1 2 1 N(n,3)= n + n 2 2 N(n,4)=n2 3 2 1 N(n,5)= n - n 2 2 N(n,6)=2n2-n

可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=

.

解析:观察 n2 和 n 前面的系数,可知一个成递增的等差数 列,另一个成递减的等差数列,故 N(n,24)=11n2-10n,所以 N(10,24)=1000.

4.(2013· 福建卷)当 x∈R,|x|<1 时,有如下表达式: 1 1+x+x +?+x +?= 1 -x
2 n

1 1 1 2 两边同时积分得:∫ 01dx +∫ 0xdx +∫ 0x dx +?+ 2 2 2 1 n 1 1 ∫ 0x dx+?=∫ 0 dx,从而得到如下等式: 2 2 1-x 1 1 12 1 13 1 1 n+1 1× + ×( ) + ×( ) +?+ ×( ) +?=ln2. 2 2 2 3 2 n+1 2 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法,计算: 1 1 1 12 1 2 13 1 n 1 n+1 0 Cn× + Cn×( ) + Cn×( ) +?+ Cn×( ) = 2 2 2 3 2 n 2 .

解析:由于有如下表达式成立:
1 2 2 n n n C0 + C x + C x + ? + C x = (1 + x) , n n n n

两边同时积分得 1 0 1 1 2 n n ∫ 0(Cn+Cnx+Cnx+?+Cnx )dx=∫ 0(1+x)ndx, 2 2 从而可得 1 1 1 12 1 2 13 1 n 1 n+1 0 C n × + C n ×( ) + C n ×( ) + ? + C n ×( ) = 2 2 2 3 2 n 2 3 n+1 [( ) -1]. 2 1 n+1

5.(2011· 江西卷 ) 观察下列各式: 55 = 3125,56 = 15625,57 =78125,?,则 52011 的末四位数字为( D ) A.3125 C.0625 B.5625 D.8125

解析:因为 55=3125,56= 15625,57=78125,58= 390625,59 =1953125,510=9765625,511=48828125?? 可以看出这些幂的最后 4 位是以 4 为周期变化的,因为 2011÷ 4=502??3, 所以 52011 的末四位数字与 57 的后四位数相同,是 8125, 故选 D.


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