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高中数学极坐标与参数方程知识汇编及高考题型汇总


高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总
编者:邬小军 【知识汇编】
x ? x0 ? t cos ? 参数方程:直线参数方程: ? (t为参数) ? ? y ? y0 ? t sin ?

( x0 , y0 ) 为直线上的定点, t 为直线上任一点

( x, y ) 到定点 ( x0 , y0 ) 的数量;
x ? a ? r cos ? 圆锥曲线参数方程:圆的参数方程: ? (? 为参数) (a,b)为圆心,r 为半径; ? ? y ? b ? r sin ?
x ? a cos ? 椭圆 x 2 ? y2 ? 1 的参数方程是 ? (? 为参数) ; ?
2 2

a

b

? y ? b sin ?

x ? a sec ? 双曲线 x 2 - y2 ? 1的参数方程是 ? (? 为参数) ; ?
2 2

a

b

? y ? b tan ?
2

x ? 2 pt 抛物线 y 2 ? 2 px 的参数方程是 ? (t为参数) ? ? y ? 2 pt

极坐标与直角坐标互化公式:

若以直角坐标系的原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系,点 P 的极坐标为 ( ? ,? ) ,直角
y 坐标为 ( x, y ) ,则 x ? ? cos? , y ? ? sin ? , ? 2 ? x2 ? y 2 , tan ? ? x 。

【题型 1】参数方程和极坐标基本概念

1.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( C



? A. (2, ) 3

? B. (2, ? ) 3
4? ) 3

C. (2,

2? ) 3

? D. (2, 2k? ? ), (k ? Z ) 3
A ) D. ( ?5,
5? ) 3

2.圆 ? ? 5cos? ? 5 3sin ? 的圆心坐标是( A. ( ?5, ?

? B. (?5, ) 3

? C. (5, ) 3

3.已知 P 为半圆 C: ( ? 为参数, 0 ? ? ? ? )上的点,点 A 的坐标为(1,0) ,
?

O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧 的长度均为 3 。 1)以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; 2)求直线 AM 的参数方程。
?

?

解:1)由已知,M 点的极角为
?

3

,且 M 点的极径等于 3 ,

?

故点 M 的极坐标为(

3

, 3 ).
?
, 3? 6

2)M 点的直角坐标为( 6

) ,A(0,1) ,故直线 AM 的参数方程为
1

? ? x ? 1 ? ( ? 1)t ? 6 ? ? ? y ? 3? t ? 6 ? (t

为参数)
? ? x ? 2 ? 5 cos? ? ? ? y ? 1 ? 5 sin ?

4.已知曲线 C 的参数方程为

( ? 为参数),

以直角坐标系原点为极点,Ox 轴正半轴为极轴建立极坐标系。 1)求曲线 c 的极坐标方程 2)若直线 l 的极坐标方程为 ? (sinθ+cosθ)=1,求直线 l 被曲线 c 截得的弦长。
? ? x ? 2 ? 5 cos? ? ? ? y ? 1 ? 5 sin ?
2 2

解:(1)∵曲线 c 的参数方程为

(α 为参数)

∴曲线 c 的普通方程为(x-2) +(y-1) =5

? x ? ? cos? ? 将 ? y ? ? sin ? 代入并化简得: ? =4cosθ+2sinθ
即曲线 c 的极坐标方程为 ? =4cosθ+2sinθ (2)∵ l 的直角坐标方程为 x+y-1=0 2 ∴圆心 c 到直线 l 的距离为 d= 2 = 2 ∴弦长为 2 5 ? 2 =2 3 .

5. 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位, 以原点 O 为极点, 以 x 轴正半轴为极轴. 已 知曲线 C1 的极坐标方程为ρ=2 2 sin(θ+ 4 ) ,曲线 C2 的极坐标方程为ρsinθ=a (a>0) ,射线θ= ? ,θ= ? + 4 ,θ= ? - 4 ,θ= 2 + ? 与曲线 C1 分别交异于极 点 O 的四点 A,B,C,D. (1)若曲线 C1 关于曲线 C2 对称,求 a 的值,并把曲线 C1 和 C2 化成直角坐标方程; (2)求|OA|·|OC|+|OB|·|OD|的值. 解: (1) C1 : ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2 , C 2 : y ? a ,
2 2

?

?

?

?

因为曲线 C1 关于曲线 C 2 对称, a (2)
| OA |? 2 2 sin(? ?

? 1 , C2 : y ? 1

?

) 4 ;

| OB |? 2 2 sin(? ?

?
2

) ? 2 2 cos ?

| OC |? 2 2 sin ? ,
2

| OD |? 2 2 sin(? ?

3? ? ) ? 2 2 cos( ? ? ) 4 4

| OA | ? | OC | ? | OB | ? | OD |? 4 2
【题型 2】直线参数方程几何意义的应用
x ? 1 ? 3t 1.已知直线 l1 : ? (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) ,则 AB ? ? ? y ? 2 ? 4t
2 2 x ? ?2 ? t 2.直线 ? (t为参数) 被圆 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? 25 所截得的弦长为( ?

5 2



? y ? 1? t

C



A. 98

B. 40

1 4

C. 82

D. 93 ? 4 3
1 ? x ? ?2 ? t ? 2 ? ? ?y ? 2 ? 3 t ? 2 ( t 为参数) 的参数方程为 ? , 直线 l

3. 在平面直角坐标系 xOy 中, 直线 l

与曲线 C :

( y ? 2)2 ? x2 ? 1交于 A , B 两点.
(1)求

AB

的长;
? 2 2, 3? ? ? 4 ? ,求

? (2)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,设点 P 的极坐标为 ?

点 P 到线段 AB 中点 M 的距离.
1 ? x ? ?2 ? t, ? 2 ? ? ? y ? 2 ? 3 t, ? 2 的参数方程为 ? (t

解: (1)直线 l

为参数) ,

2 代入曲线 C 的方程得 t ? 4t ? 10 ? 0 .

t2 ,则 t1 ? t2 ? ?4 , t1t2 ? ?10 , 设点 A,B 对应的参数分别为 t1,

所以 | AB |?| t1 ? t2 |? 2 14 . (2)由极坐标与直角坐标互化公式得点 P 的直角坐标为 (?2,2) ,
t1 ? t2 ? ?2 所以点 P 在直线 l 上,中点 M 对应参数为 2 ,

由参数 t 的几何意义,所以点 P 到线段 AB 中点 M 的距离 | PM |? 2 . 4.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? ? ,
6

(1)写出直线 l 的参数方程。 (2)设 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。
3

x ? 1 ? t cos ,即 ? x ? 1 ? 解: (1)直线的参数方程为 ? ? ? 6 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? 6 ?

?

?

?

3 t 2 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2

x ? 1? (2)把直线 ? ?

?

3 t 代入 x 2 2 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2

? y 2 ? 4 得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 2 2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2
5.设经过点 P(?1, 0) 的直线 l 交曲线 C: ( ? 为参数)于 A、B 两点. (1)写出曲线 C 的普通方程; ? (2)当直线 l 的倾斜角 ? ? 60 时,求 | PA | ? | PB | 与 | PA | ? | PB | 的值. 解: (1) C
x2 y 2 ? ?1 :4 3 .
1 ? x ? ?1 ? t ? 2 ? ? ?y ? 3 t ? 2 :?
2

? ? x ? 2 cos ? ? ? ? y ? 3 sin ?

(2)设 l

(t 为参数)
2

联立得: 5t ? 4t ? 12 ? 0
| PA | ? | PB |?| t1 ? t2 |?

? t1 ? t2 ?

? 4t1t2 ?

16 12 | PA | ? | PB |?| t1t2 |? 5 , 5

6.以直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点 P 的直角坐标
? ? (3, ) l ,点 M 的极坐标为 2 ,若直线 过点 P ,且倾斜 角为 6



(1, 2)

,圆 C 以 M 为圆心,3 为半径.

(1)求直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (2)设直线 l 与圆 C 相交于 A, B 两点,求
? x ?1? ? ? ? ?y ? 2 ? ? 解: (1)直线 l 的参数方程为 ? 3 t, 2 1 t, 2

PA ? PB



(t为参数) , (答案不唯一,可酌情给分)

圆的极坐标方程为 ? ? 6 sin ? .
? x ?1? ? ? ? ?y ? 2 ? ? (2)把 ? 3 t, 2 1 2 t, 2 代入 x

? ( y ? 3)2 ? 9 ,得 t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 7 ? 0 , PA ? t1 , PB ? t2

?t1 t2 ? ?7

,设点 A, B 对应的参数分别为 t1 , t2 , 则

,?

PA ? PB ? 7.

7.以平面直角坐标系的坐标原点 O 为极点,以 x 轴的非负半轴为极轴,以平面直角坐标系的
4

? x ? 2 ? 3t ? 长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线 l 的参数方程为 ? y ? ?1 ? 2t ( t 为参数) ,曲线 C 的极
2 坐标方程为 ? sin ? ? 4cos? .

(1)求曲线 C 的直角坐标方程;

(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,求

AB

.

2 2 2 解:(1)? 由 ? sin ? ? 4 cos? ,既 ? sin ? ? 4? cos?

2 ? 曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 4x .

2 t1t2 ? ? 2 4 (2)? l 的参数方程为代入 y ? 4x ,整理的 4t ? 8t ? 7 ? 0 ,所以 t1 ? t2 ? ?2 ,

7

所以

AB ? (?3) 2 ? 2 2 t1 ? t2 ? 13 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 13 ? 4 ? 7 ? 143

.

【题型 3】两类最值问题
x2 ? y2 ? 1 1.已知曲线 C : 9 ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的

极坐标方程为

? ? sin(? ? ) ? 2
4

.

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的直角坐标方程; (2)设 P 是曲线 C 上任一点,求 P 到直线 l 的距离的最大值.

? x ? 3cos ? ? 解: (1)曲线 C 的参数方程为 ? y ? sin ? ( ? 为参数) ,
直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 (2)设 P(3cos ? ,sin ? ) ,
d? 3cos ? ? sin ? ? 2 2 ? 10 cos(? ? ? ) ? 2 2

P 到直线 l 的距离

tan ? ? 3) (其中 ? 为锐角,且

1

当 cos(? ? ? ) ? 1 时, P 到直线 l 的距离的最大值 dmax ? 5 ? 2
C1 : ? 2.已知曲线 C 的极坐标方程为 2? sin ? ? ? cos? ? 10 ,曲线 ? y ? 2sin ? ( ? 为参数) . ? x ? 3cos ?

(1)求曲线 C1 的普通方程; (2)若点 M 在曲线 C1 上运动,试求出 M 到曲线 C 的距离的最小值.
x2 y2 ? ?1 C 解: (1)曲线 1 的普通方程是: 9 4

(2)曲线 C 的普通方程是: x ? 2 y ? 10 ? 0 设点 M (3cos ? , 2sin ? ) ,由点到直线的距离公式得:
5

d?

3cos ? ? 4sin ? ? 10 5

?

1 3 4 5cos(? ? ? ) ? 10 cos ? ? ,sin ? ? 5 5 5 其中

M( , ) ?? ? ? ? 0 时, dmin ? 5 ,此时 5 5
? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 ? ?y ? 2 t ? ? 2

9 8

3.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是

(t 为参数) ,以原点 O 为极点, ? ? ? 4 2 cos(? ? ) 4 . 以 x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知圆 C 的极坐标方程为 (1)将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;
1 ? 1 PB

(2)若直线 l 与圆 C 交于 A,B 两点,点 P 的坐标为 (2, 0) ,试求 PA
? ? ? 4 2 cos(? ? ) 4 ,展开化为 解: (1)由

的值.

?2 ? 4 2 ?

2 ( ? cos ? ? ? sin ? ) ? 4( ? cos ? ? ? sin ? ) 2 ,

? x ? ? cos ? ? 2 2 将 ? y ? ? sin ? 代入,得 x ? y ? 4x ? 4y ? 0 ,
2 2 所以,圆 C 的直角坐标方程是 x ? y ? 4x ? 4y ? 0 .

(2)把直线 l

? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 ? ?y ? 2 t ? 2 的参数方程 ?

(t 为参数)代入圆的方程并整理,

2 可得: t ? 2 2t ? 4 ? 0 .

设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t 2 , 则 t1 ? t 2 ? ?2 2,t1 ?t 2 ? ?4 ? 0 , 所以
t1 ? t 2 ? (t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? 2 6

.



1 1 1 1 t1 ? t 2 2 6 6 ? ? ? ? ? ? PA PB t1 t 2 t1 ? t 2 4 2

.

?x ? 2cos? (?为参数) ? y ? 3sin ? C ? 1 4.已知曲线 的参数方程是 ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极
轴建立坐标系,曲线 C 2 的坐标系方程是 ? ? 2 ,正方形 ABCD 的顶点都在 C 2 上, 且 A, B, C , D 依逆时针次序排列,点 A 的极坐标为 (1)求点 A, B, C , D 的直角坐标;
6
(2, ) 3

?

PA ? PB ? PC ? PD (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 的取值范围.

2

2

2

2

解: (1)点 A, B, C , D 的极坐标为

? 5? 4? 11? (2, ), (2, ), (2, ), (2, ) 3 6 3 6

点 A, B, C , D 的直角坐标为 (1, 3),(? 3,1),(?1, ? 3),( 3, ?1)
? x0 ? 2cos? (?为参数) ? y0 ? 3sin? P ( x , y ) ? 0 0 (2)设 ;则
t ? PA ? PB ? PC ? PD ? 4 x 2 ? 4 y 2 ? 16 ? 32 ? 20sin 2 ? ?[32,52]
2 2 2 2

7


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