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2015-2016高中数学北师大版必修2同步练习:1.4空间图形的基本关系与公理(含答案)


第一章

§4

一、选择题 1.已知点 A,直线 a,平面 α: ①A∈a,a?α?A?α ③A?a,a α?A?α ②A∈a,a∈α?A∈α ④A∈a,a α?A α ) B.1 D.3

以上命题表述正确的个数是( A.0 C.2 [答案] A

[解析] ①中若 a 与 α 相交,且交点为 A

,则不正确;②中“a∈α”符号不对;③中 A 可以在 α 内,也可以在 α 外,故不正确;④符号“A α”错. 2.在空间中,下列命题成立的有________个( ①两组对边都平行的四边形是平行四边形 ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ③顺次连接空间四边形各边中点所得的一定是平行四边形 ④对角线互相平分的四边形是平行四边形 A.1 C.3 [答案] C [解析] ②错误. 3.在空间中,可以确定一个平面的条件是( A.两两相交的三条直线 B.三条直线,其中一条直线与另外两条直线分别相交 C.三个点 D.三条直线,它们两两相交,但不交于同一点 [答案] D [解析] A 中两两相交的三条直线,它们可能交于同一个点,也可能不交于同一个点, 若交于同一个点,则三条直线不一定在同一个平面内,故排除 A;B 中的另外两条直线可能 共面, 也可能不共面, 当另外两条直线不共面时, 则三条直线不能确定一个平面, 故排除 B; 对于 C 来说,三个点的位置可能不在同一条直线上,也可能在同一条直线上,只有前者才 能确定一个平面,因此,排除 C;只有条件 D 中的三条直线,它们两两相交且不交于同一 点,因而其三个交点不在同一条直线上,由公理 1 知其可以确定一个平面. ) B.2 D.4 )

4.如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 BB1 和 BC 的中点分别是 E,F,各棱所在 的直线与直线 EF 互为异面直线的条数是( )

A.4 C.8 [答案] C

B.6 D.10

[解析] AB,AD,AA1,A1B1,A1D1,D1D,D1C1,DC 与直线 EF 都是异面直线. 5.如图,M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点,给出下列四个命题:

①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB,B1C1 都相交; ②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB,B1C1 都垂直; ③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB,B1C1 都相交; ④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB,B1C1 都平行. 其中真命题是( A.②③④ C.①②④ [答案] C [解析] ①若还能作一条线,则两相交线确定一平面,从而证明 AB,B1C1 共面与它们 异面矛盾,从而假设不正确,①正确,②④也是同样的方法证明.将过点 M 的平面 CDD1C1 绕直线 DD1 旋转任意非零的角度,所得的平面与直线 AB,B1C1 都相交,故③错误.故选 C. 6.已知 α、β 为平面,A、B、M、N 为点,a 为直线,下列推理错误的是( A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β?a β B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β?α∩β=MN C.A∈α,A∈β?α∩β=A D.A、B、M∈α,A、B、M∈β,且 A、B、M 不共线?α、 β 重合 [答案] C ) ) B.①③④ D.①②③

[解析] ∵A∈α, A∈β.∴A∈α∩β 由公理 3 知 α∩β 为经过 A 的一条直线而不是 A.故 α∩β =A 写法错误. 二、填空题 7.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与直线 CC1 平行的棱的条数是________. [答案] 3 [解析] 与 CC1 平行的棱有 AA1,BB1,DD1. 8.空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有________ 个. [答案] 1 或 4 [解析] 四点共面时,为一个平面;四点不共面时,可作 4 个平面. 三、解答题 9.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 D1C1、C1B1 的中点,AC∩BD=P, A1C1∩EF=Q. 求证:(1)D、B、F、E 四点共面; (2)若 A1C 交平面 DBFE 于 R 点,则 P、Q、R 三点共线. [解析] 如图

(1)∵EF 是△D1B1C1 的中位线,∴EF∥B1D1. 在正方体 AC1 中,B1D1∥BD, ∴EF∥BD.∴EF、BD 确定一个平面,即 D、B、F、E 四点共面. (2)正方体 AC1 中, 设 A1ACC1 确定的平面为 α,又设平面 BDEF 为 β. ∵Q∈A1C1,∴Q∈α,又 Q∈EF,∴Q∈β, 则 Q 是 α 与 β 的公共点, 同理,P 点也是 α 与 β 的公共点,∴α∩β=PQ. 又 A1C∩β=R,∴R∈A1C,∴R∈α,且 R∈β, 故 R∈PQ.所以 P、Q、R 三点共线.

一、选择题 1. 若 P 是两条异面直线 l、m 外的任意一点,则( A.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都平行 B.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都垂直 C.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都相交 D.过点 P 有且仅有一条直线与 l、m 都异面 [答案] B [解析] 对于 A,若正确,则 l∥m,这与已知矛盾,由此排除 A.对于 B,由于 l 和 m 有 且只有一条公垂线 a,而过 P 有且只有一条直线与直线 a 平行,故 B 正确. 2.如图所示,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别为 AA1,AB,BB1, B1C1 的中点,则异面直线 EF 与 GH 所成的角等于( ) )

A.45° C.90° [答案] B

B.60° D.120°

[解析] 取 A1B1 的中点 M,连接 GM,HM. ∵在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,H,G 分别为 A1B1,B1C1,B1B 的中点, ∴△GMH 为正三角形, EF∥MG.于是∠MGH 为异面直线 EF 与 GH 所成的角, 即为 60° 角. 二、填空题 3.如图表示一个正方体表面的一种展开图,图中的四条线段 AB、CD、EF 和 GH 在原 正方体中相互异面的有________对.

[答案] 3 [解析] 将展开图恢复成正方体后,得到 AB 与 CD,EF 与 GH,AB 与 GH 三对异面直

线. 4.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别为棱 C1D1,C1C 的中点,有以下四 个结论:

①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线; ④直线 AM 与 DD1 是异面直线. 其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论的序号都填上). [答案] ③④ 三、解答题 5.如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,P 为棱 BB1 的中点,画出由 A1,C1,P 三点所确定的平面 α 与长方体表面的交线.

[解析] 因为点 P 既在平面 α 内又在平面 AB1 内, 所以点 P 在平面 α 与平面 AB1 的交线 上.同理,点 A1 在平面 α 与平面 AB1 的交线上.因此,PA1 就是平面 α 与平面 AB1 的交线.

同理可得:交线 A1C1 与交线 PC1. 所以由 A1,C1,P 三点所确定的平面 α 与长方体表面的交线如图所示. 6.如图所示,在四边形 ABCD 中,已知 AB∥CD,直线 AB,BC,AD,DC 分别与平 面 α 相交于点 E,G,H,F.

求证:E,F,G,H 四点必定共线.

[解析] ∵AB∥CD,∴AB,CD 确定一个平面 β. 又∵AB∩α=E,AB β,∴E∈α,E∈β, 即 E 为平面 α 与平面 β 的一个公共点. 同理可证,F,G,H 为平面 α 与平面 β 的公共点. ∵两个平面有公共点,它们有且只有一条通过公共点的公共直线, ∴E,F,G,H 四点必定共线. 7.如图,两个三角形 ABC 和 A′B′C′的对应顶点的连线 AA′、BB′、CC′交于 同一点 O,且 OA BO CO 2 = = = . OA′ OB′ OC′ 3

(1)求证:A′B′∥AB,A′C′∥AC,B′C′∥BC; (2)求 的值. S△A′B′C′ S△ABC

[解析] (1)证明:∵AA′与 BB′交于点 O, 且 AO BO 2 = = ,∴AB∥A′B′. OA′ OB′ 3

同理 AC∥A′C′,BC∥B′C′. (2)∵A′B′∥AB,AC∥A′C′且 AB 和 A′B′、AC 和 A′C′方向相反, ∴∠BAC=∠B′A′C′. ∴同理∠ABC=∠A′B′C′. AB AO 2 ∴△ABC∽△A′B′C′,且 = = . A′B′ OA′ 3 ∴ 2 4 =( )2= . 9 S△A′B′C′ 3 S△ABC


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