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湖北省黄冈中学高考数学压轴题精编精解(五)


湖北省黄冈中学高考数学压轴题精编精解五 41.已知数列 的首项 (1)证明: (2)设 的首项 , ( (a 是常数,且 ) 。 ) , ( ) ,数列

从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列; 的前 n 项和,且 的最小项。 上任意一点到焦点 F 的距离比到 y 轴的距离大 1。 是等比数列,求实数 a 的值;

为数列
<

br />(3)当 a>0 时,求数列 42.已知抛物线 C:

(1)求抛物线 C 的方程; (2)若过焦点 F 的直线交抛物线于 M、N 两点,M 在第一象限,且|MF|=2|NF|,求直线 MN 的方程; (3)求出一个数学问题的正确结论后,将其作为条件之一,提出与原来问题有关的新问题,我们把它称 为原来问题的一个“逆向”问题. 例如,原来问题是“若正四棱锥底面边长为 4,侧棱长为 3,求该正四棱锥 的体积” .求出体积 后,它的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为 4,体积为 ,求所有侧面面积之和的最小值”. ,求侧棱长”;

也可以是“若正四棱锥的体积为

现有正确命题:过点

的直线交抛物线 C:

于 P、Q 两点,设点 P 关于 x 轴的

对称点为 R,则直线 RQ 必过焦点 F。 试给出上述命题的“逆向”问题,并解答你所给出的“逆向”问题。

43.已知函数 f(x)= (I)写出 , 的值;

,设正项数列

满足

=l,



(Ⅱ)试比较



的大小,并说明理由;

(Ⅲ)设数列

满足

=



,记 Sn=

.证明:当 n≥2 时,Sn<

(2n-1).

44.已知函数 f(x)=x3-3ax(a∈R). (I)当 a=l 时,求 f(x)的极小值; (Ⅱ)若直线菇 x+y+m=0 对任意的 m∈R 都不是曲线 y=f(x)的切线,求 a 的取值 范围; (Ⅲ)设 g(x)=|f(x)|,x∈[-l,1],求 g(x)的最大值 F(a)的解析式. 45.在平面直角坐标系中,已知三个点列{An},{Bn},{Cn},其中

,满足向量 线上 (1)试用 a 与 n 表示

与向量

共线,且点(B,n)在方向向量为(1,6)的



(2)若 a6 与 a7 两项中至少有一项是 an 的最小值,试求 a 的取值范围。 46.已知 (1)求轨迹 E 的方程; (2)若直线 l 过点 F2 且与轨迹 E 交于 P、Q 两点. (i)无论直线 l 绕点 F2 怎样转动,在 x 轴上总存在定点 ,使 恒成立,求实数 m 的值. ,记点 P 的轨迹为 E.

(ii)过 P、Q 作直线 47.设 x1、 (1)若 (2)若 (3)若 48 {an} (1)求{an}的通项 an; . 已

的垂线 PA、OB,垂足分别为 A、B,记 的两个极值点. ,求函数 f(x)的解析式; 的最大值;

,求 λ 的取值范围.

,求证: 知 , 成等差数列. 若 数 列

(2)设

若{bn}的前 n 项和是 Sn,且

49 . 点 P 在 以

为焦点的双曲线

上,已知



,O 为坐标原点. (Ⅰ)求双曲线的离心率 ;

(Ⅱ)过点 P 作直线分别与双曲线渐近线相交于 双曲线 E 的方程; (Ⅲ)若过点 (

两点,且



,求

为非零常数)的直线 与(2)中双曲线 E 相交于不同于双曲线顶点的两点 M、

N,且



为非零常数) ,问在 轴上是否存在定点 G,使

?若存在,

求出所有这种定点 G 的坐标;若不存在,请说明理由. 50.已知函数 (Ⅰ)求 的值; (Ⅱ)是否存在 的值,使直线 值;如果不存在,说明理由. (Ⅲ)如果对于所有 的 ,都有 成立,求 的取值范围. 既是曲线 的切线,又是 的切线;如果存在,求出 的 , ,和直线 ,又 .

黄冈中学 2011 年高考数学压轴题汇总 详细解答 41.解: (1)∵ ∴ (n≥2) …………3 分 由 ∵ 即 得 ,∴ , ,…………4 分 ,

从第 2 项起是以 2 为公比的等比数列。…………5 分

(2

…………8 分

当 n≥2 时,



是等比数列, ∴

(n≥2)是常数,

∴3a+4=0,即 (3)由(1)知当

。…………11 分 时, ,

所以 所以数列

,…………13 分 为 2a+1,4a,8a-1,16a,32a+7,……

显然最小项是前三项中的一项。????15 分



时,最小项为 8a-1;



时,最小项为 4a 或 8a-1;………16 分



时,最小项为 4a;



时,最小项为 4a 或 2a+1;…………17 分

当 42. 解: (1)

时,最小项为 2a+1。…………18 分 …………4 分

(2)设

(t>0) ,则

,F(1,0)。 ,…………6 分

因为 M、F、N 共线,则有

所以

,解得

,…………8 分

所以

,…………10 分 。…………11 分

因而,直线 MN 的方程是 (3) “逆向问题”一: ①已知抛物线 C:

的焦点为 F,过点 F 的直线交抛物线 C 于 P、Q 两点,设点 P 关于 x 轴

的对称点为 R,则直线 RQ 必过定点

。…………13 分

证明:设过 F 的直线为 y=k(x

),



,则





,所以

,…………14 分

,????15 分

= 所以直线 RQ 必过焦点 A。????17 分 [注:完成此解答最高得 6 分。] ②过点

,????16 分

的直线交抛物线 C 于 P、Q 两点,FP 与抛物线交于另一点 R,则 RQ 垂直于 x 轴。

[注:完成此解答最高得 6 分。] ③已知抛物线 C: ,过点 B(m,0 )(m>0)的直线交抛物线 C 于 P、Q 两点,设点 P 关于 x

轴的对称点为 R,则直线 RQ 必过定点 A(-m,0)。 [注:完成此解答最高得 7 分,其中问题 3 分。]

“逆向问题”二:已知椭圆 C:

的焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),过 F2 的直线交椭圆 C 于 P、Q 两

点,设点 P 关于 x 轴的对称点为 R,则直线 RQ 必过定点 [注:完成此解答最高得 9 分,其中问题 4 分。] “逆向问题”三:已知双曲线 C:



的焦点为 F1(-c,0),F2(c,0),过 F2 的直线交双曲线 C 于 P、Q

两点,设点 P 关于 x 轴的对称点为 R,则直线 RQ 必过定点 [注:完成此解答最高得 9 分,其中问题 4 分。] 其它解答参照给分。



43.(1) (2)因为

,因为 所以

所以

……………………………… 2 分 …………………………………3 分

,?????????????????5 分

因为

所以



同号,………………………………………………6 分

因为



?,



……………………………………………………………………8 分

(3)当

时,

,??????????????????????????10 分 所以 ,……………………………………………12 分

所以 44. (1)∵当 a=1 时 当 ∴ ∴ 在 时 ,当 上单调递减,在 ,令

…………14 分 =0,得 x=0 或 x=1………………………2 分 时 上单调递增,

的极小值为 (2)∵ ∴要使直线

=-2.………………………………………………………………4 分 ………………………………………………………………6 分 =0 对任意的 总不是曲线 的切线,当且仅当-1<-3a,

∴ (3)因 ① 当

.…………………………………………………………………………………………8 分 在[-1,1]上为偶函数,故只求在 [0,1]上最大值,…………9 分 时, , 在 上单调递增且 ,

∴ ② 当 i . 当 时 , 即

,∴

.…………………………………………10 分







上 单 调 递 增 , 此 时

……………………………………………………………………12 分 ii. 当 ,即 时, 在 上单调递减,在> 上单调递增.

10 当 减,故



时, .……………………………………14 分



上单调递增,在>

上单调递

20 当



时,

( ⅰ ) 当



14425"

src="05.files/image173.gif"> 即

时 ,

(ⅱ) 当即

时,

综上

………………………………………………16 分

45. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分 (1)

又∵{Bn}在方向向量为(1,6)的直线上,

(2)∵二次函数

是开口向上,对称轴为

的抛物线

又因为在 a6 与 a7 两项中至少有一项是数列{an}的最小项,

∴对称轴 46. (本题满分 14 分)本题共 2 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分 解: ( 1 )由 知,点 P 的轨迹 E 是以 F1 、 F2 为焦点的双曲线右支,由

,故轨迹 E 的方程为 (2)当直线 l 的斜率存在时,设直线方程为 得 ,

…………4 分 ,与双曲线方程联立消 y

解得 k2 >3 ??????????????????????????????5 分

(i)

, 故得 恒成立, 对任意的

∴当 m =-1 时,MP⊥MQ. 当直线 l 的斜率不存在时,由 知结论也成立,

综上,当 m =-1 时,MP⊥MQ. ????????????????????8 分

(ii)

是双曲线的右准线,……………………………9 分

由双曲线定义得:



方法一:

???10 分

,????????????????12 分

注意到直线的斜率不存在时,



综上,

………………………………………………………………14 分

方法二:设直线 PQ 的倾斜角为θ ,由于直线 PQ 与双曲线右支有二个交点,

,过 Q 作 QC⊥PA,垂足为 C,则

????12 分



故:

………………14 分

47. (本题满分 16 分)本题共 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分 解: (1) ………1 分 是函数 f(x)的两个极值点, ????????????????????????2 分 ?????????3 分 ??????????????????????4 分 (2)∵x1、x2 是 f(x)是两个极值点, ∴x1、x2 是方程 的两根. 恒成立.

∵△= 4b2 + 12a3, ∴△>0 对一切 a > 0,

????????6 分



??????7 分 ???????????????? 8 分

令 在(0,4)内是增函数; ∴h (a)在(4,6)内是减函数. ∴a = 4 时,h(a)有极大值为 96, ∴b 的最大值是 上的最大值是 96,

?????????????????????????10 分 的两根,

(3)证法一:∵x1、x2 是方程

,???????????????????? 12 分

???? 14 分

??????????????16 分 证法二:∵x1、x2 是方程 的两根, .???????????????????? 12 分

∵x1 < x < x2,

??????????????????? 14 分

?????????????????16 分 48. (14 分)解:设 2,f(a1), f(a2), f(a3),??,f(an),2n+4 的公差为 d,则 2n+4=2+(n+2-1)d d=2,??????????(2 分)

????????(4 分) (2) ,

49.解: (I)

(II)

渐近线为





代入

化简

(III)假设在 轴上存在定点 设

使 联立 与 的方程得





由 ∴(3)即为 ,将(4)代入(1) (2)



代入(5)得

故在 轴上存在定点 50.解: (Ⅰ)因为 (Ⅱ)因为直线 先求直线

使 ,所以

。 即 ,所以 a=-2.

恒过点(0,9). ,因为 ,将点(0,9)代入得 . .

是 y=g(x) 的切线.设切点为

所以切线方程为

当 由 当 当 又由 当 当

时,切线方程为 y=9, 当 得 时, 时, 得 时 时 时 的切线为 的切线为 的切线 的切线方程为

时,切线方程为 y=12x+9. ,即有 , 是公切线, 或 , , ,不是公切线 ,

综上所述 (Ⅲ).(1)

是两曲线的公切线 得 ,当 ,不等式恒成立, .



时,不等式为





当 当 (2)由

时,不等式为 时, 得

, 恒成立,则



时,

恒成立,

,当

时有



=



当 要使

时 在 ,

为增函数, 上恒成立,则

也为增函数

由上述过程只要考虑

则当 在

时 时 ,即 . ,在

= 时 而当 , 时 在 , 时有极大值即 在 一定成立 上的

最大值,又 综上所述


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