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【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题三 函数与导数 第13练


第 13 练

高考对于导数几何意义的必会题型

题型一 直接求切线或切线斜率问题 2 2 2 例 1 已知 f(x)=x3+f′( )x2-x,则 f(x)的图象在点( ,f( ))处的切线斜率是________. 3 3 3 2 2 破题切入点 先对函数求导,将 x= 代入求得 f′( )的值即是. 3 3 答案 -1 2 2 解析 f′(x)=3x2+2f′( )x-1,令 x= , 3 3 2 22 2 2 可得 f′( )=3×( ) +2f′( )× -1, 3 3 3 3 2 解得 f′( )=-1, 3 2 2 所以 f(x)的图象在点( ,f( ))处的切线斜率是-1. 3 3 题型二 转化为切线问题 1 例 2 设点 P 在曲线 y= ex 上,点 Q 在曲线 y=ln(2x)上,则 PQ 的最小值为________. 2 破题切入点 结合图形,将求 PQ 的最小值转化为函数切线问题. 答案 2(1-ln 2) 1 解析 由题意知函数 y= ex 与 y=ln(2x)互为反函数,其图象关于直线 y=x 对称,两曲线上点 2 1 1 之间的最小距离就是 y=x 与 y= ex 上点的最小距离的 2 倍.设 y= ex 上点(x0,y0)处的切线与 2 2 1 直线 y=x 平行.则 ex0=1,∴x0=ln 2,y0=1, 2 ∴点(x0,y0)到 y=x 的距离为 则 PQ 的最小值为 |ln 2-1| 2 = (1-ln 2), 2 2

2 (1-ln 2)×2= 2(1-ln 2). 2

题型三 综合性问题 例 3 (2013· 课标全国Ⅰ)已知函数 f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线 方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值. 破题切入点 先利用导数的几何意义和已知的切线方程列出关于 a,b 的方程组,求出 a,b 的值;然后确定函数 f(x)的解析式,求出其导函数,利用导函数的符号判断函数 f(x)的单调性, 进而确定极值.
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解 (1)f′(x)=ex(ax+b)+aex-2x-4 =ex(ax+a+b)-2x-4, ∵y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为 y=4x+4, ∴f′(0)=a+b-4=4,f(0)=b=4, ∴a=4,b=4. (2)由(1)知 f′(x)=4ex(x+2)-2(x+2) =2(x+2)(2ex-1), 1 令 f′(x)=0 得 x1=-2,x2=ln , 2 列表: x f′(x) f(x) (-∞, -2) + ? -2 0 极大值

?-2,ln 1? 2? ?


ln 0

1 2

?ln 1,+∞? ? 2 ?
+ ?

? 1 ? ∴y=f(x)的单调增区间为(-∞,-2),? ?ln 2,+∞?; 1? 单调减区间为? ?-2,ln 2?. f(x)极大值=f(-2)=4-4e-2. 总结提高

极小值

(1)熟练掌握导数的几何意义,审准题目,求出导数,有时需要设切点,然后根据

直线的点斜式形式写出切线方程. (2)一般两曲线上点的距离的最小值或一曲线上点到一直线上点的距离的最小值的求法都是转 化为求曲线的切线,找出平行线然后求出最小值. (3)已知切线方程求参数的值或范围时要验证.

1.设 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0 的值为________. 答案 e 解析 由 f(x)=xln x 得 f′(x)=ln x+1. 根据题意知 ln x0+1=2,所以 ln x0=1,因此 x0=e. 2.若曲线 y=x4 的一条切线 l 与直线 x+4y-8=0 垂直,则 l 的方程为________. 答案 4x-y-3=0 解析 切线 l 的斜率 k=4,设 y=x4 的切点的坐标为(x0,y0),则 k=4x3 0=4,∴x0=1,∴切点 为(1,1),
-2-

即 y-1=4(x-1),整理得 l 的方程为 4x-y-3=0. x 3.曲线 y= 在点(-1,-1)处的切线方程为________. x+2 答案 2x-y+1=0 x+2-x 2 解析 易知点(-1,-1)在曲线上,且 y′= = , 2 ?x+2? ?x+2?2 2 所以切线斜率 k=y′|x=-1= =2. 1 由点斜式得切线方程为 y+1=2(x+1),即 2x-y+1=0. 4.曲线 y=xln x 在点(e,e)处的切线与直线 x+ay=1 垂直,则实数 a 的值为________. 答案 2 解析 依题意得 y′=1+ln x,y′|x=e=1+ln e=2, 1 所以- ×2=-1,a=2. a 5.若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)=________. 答案 -2 解析 f′(x)=4ax3+2bx, ∵f′(x)为奇函数且 f′(1)=2,∴f′(-1)=-2. 6.已知函数 f(x)=x3-3x,若过点 A(0,16)且与曲线 y=f(x)相切的切线方程为 y=ax+16,则 实数 a 的值是________. 答案 9 解析 先设切点为 M(x0,y0),则切点在曲线 y0=x3 0-3x0 上,①
2 求导数得到切线的斜率 k=f′(x0)=3x0 -3,

y0-16 又切线过 A、M 两点,所以 k= , x0 y0-16 则 3x2 .② 0-3= x0 联立①②可解得 x0=-2,y0=-2, -2-16 从而实数 a 的值为 a=k= =9. -2 7.(2013· 广东)若曲线 y=ax2-ln x 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a=________. 1 答案 2 1 1 解析 y′=2ax- ,所以 y′|x=1=2a-1=0,所以 a= . x 2 8.(2013· 江西)若曲线 y=xα+1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则 α=________.
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答案 2 解析 y′=αxα-1,∴y′|x=1=α. 曲线在点(1,2)处的切线方程为 y-2=α(x-1),将点(0,0)代入得 α=2. 9.(2014· 江西)若曲线 y=e ________. 答案 (-ln 2,2) 解析 设 P(x0,y0),∵y=e-x,∴y′=-e-x, ∴点 P 处的切线斜率为 k=-e-x0=-2, ∴-x0=ln 2,∴x0=-ln 2, ∴y0=eln 2=2,∴点 P 的坐标为(-ln 2,2). b 10.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. x (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形面积为定值, 并求此定值. 7 (1)解 方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 4 1 当 x=2 时,y= . 2 b 1 2a- = , 2 2 b 又 f′(x)=a+ 2,于是 x b 7 a+ = , 4 4
-x

上点 P 处的切线平行于直线 2x+y+1=0,则点 P 的坐标是

? ? ?

? ?a=1, 3 解得? 故 f(x)=x- . x ?b=3. ?
3 (2)证明 设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程为 x 3? y-y0=? (x-x0), ?1+x2 0? 3 3 即 y-(x0- )=(1+ 2)(x-x0). x0 x0 6 令 x=0 得 y=- , x0 6 从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为(0,- ). x0 令 y=x 得 y=x=2x0, 从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 6 1 - ?|2x |=6. 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形面积为 ? 2? x0? 0
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故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为定值,此定值为 6. 11.(2014· 北京)已知函数 f(x)=2x3-3x. (1)求 f(x)在区间[-2,1]上的最大值; (2)若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,求 t 的取值范围; (3)问过点 A(-1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线 y=f(x)相切?(只需写出结论) 解 (1)由 f(x)=2x3-3x 得 f′(x)=6x2-3. 2 2 或 x= . 2 2 2 2 因为 f(-2)=-10,f?- ?= 2,f? ?=- 2,f(1)=-1, 2 2 ? ? ? ? 2 所以 f(x)在区间[-2,1]上的最大值为 f?- ?= 2. ? 2? 令 f′(x)=0,得 x=- (2)设过点 P(1,t)的直线与曲线 y=f(x)相切于点(x0,y0),
3 则 y0=2x0 -3x0,且切线斜率为 k=6x2 0-3,

所以切线方程为 y-y0=(6x2 0-3)(x-x0), 因此 t-y0=(6x2 0-3)(1-x0),
2 整理得 4x3 0-6x0+t+3=0.

设 g(x)=4x3-6x2+t+3, 则“过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切”等价于“g(x)有 3 个不同的零点”. g′(x)=12x2-12x=12x(x-1). 当 x 变化时,g(x)与 g′(x)的变化情况如下: x g′(x) g(x) (-∞,0) + ? 0 0 t+3 (0,1) - ? 1 0 t+1 (1,+∞) + ?

所以,g(0)=t+3 是 g(x)的极大值, g(1)=t+1 是 g(x)的极小值. 当 g(0)=t+3≤0,即 t≤-3 时, g(x)在区间(-∞,1]和(1,+∞)上分别至多有 1 个零点, 所以 g(x)至多有 2 个零点. 当 g(1)=t+1≥0,即 t≥-1 时, g(x)在区间(-∞,0)和[0,+∞)上分别至多有 1 个零点,
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所以 g(x)至多有 2 个零点. 当 g(0)>0 且 g(1)<0,即-3<t<-1 时, 因为 g(-1)=t-7<0,g(2)=t+11>0, 所以 g(x)分别在区间[-1,0),[0,1)和[1,2)上恰有 1 个零点. 由于 g(x)在区间(-∞,0)和(1,+∞)上单调, 所以 g(x)分别在区间(-∞,0)和[1,+∞)上恰有 1 个零点. 综上可知,当过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切时,t 的取值范围是(-3,-1). (3)过点 A(-1,2)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切; 过点 B(2,10)存在 2 条直线与曲线 y=f(x)相切; 过点 C(0,2)存在 1 条直线与曲线 y=f(x)相切. 1-a 2 12.设函数 f(x)=aln x+ x -bx(a≠1),曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 0. 2 (1)求 b; a (2)若存在 x0≥1,使得 f(x0)< ,求 a 的取值范围. a-1 a 解 (1)f′(x)= +(1-a)x-b. x 由题设知 f′(1)=0,解得 b=1. (2)f(x)的定义域为(0,+∞), 1-a 2 由(1)知,f(x)=aln x+ x -x, 2 1-a a a f′(x)= +(1-a)x-1= (x- )(x-1). x x 1-a 1 a ①若 a≤ ,则 ≤1, 2 1-a 故当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)单调递增. a 所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)< 的充要条件为 a-1 a f(1)< , a-1 即 1-a a -1< , 2 a-1

解得- 2-1<a< 2-1. 1 a ②若 <a<1,则 >1, 2 1-a 故当 x∈(1, )时,f′(x)<0, 1-a
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a

a a a 当 x∈( ,+∞)时,f′(x)>0,f(x)在(1, )单调递减,在( ,+∞)单调递增. 1-a 1-a 1-a a a a 所以,存在 x0≥1,使得 f(x0)< 的充要条件为 f( )< . a-1 1-a a-1 a a a2 a a 而 f( )=aln + + > , 1-a 1-a 2?1-a? a-1 a-1 所以不合题意. 1-a -a-1 a ③若 a>1,则 f(1)= -1= < . 2 2 a-1 综上,a 的取值范围是(- 2-1, 2-1)∪(1,+∞).

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