kl800.com省心范文网

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题三 函数与导数 第16练


第 16 练

导数的综合应用

题型一 利用导数研究函数图象 1 例 1 下面四个图象中,有一个是函数 f(x)= x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数 y=f′(x) 3 的图象,则 f(-1)=________.

破题切入点 先求出函数 f(x)的导函数,确定导函数图象,从而求出 a 的值.然后代入-1 求 得函数值. 5 1 答案 或- 3 3 解析 ∵f′(x)=x2+2ax+a2-1, ∴f′(x)的图象开口向上,则②④排除. 若图象不过原点,则 f′(x)的图象为①, 5 此时 a=0,f(-1)= ; 3 若图象过原点,则 f′(x)的图象为③, 此时 a2-1=0, 又对称轴 x=-a>0,∴a=-1, 1 ∴f(-1)=- . 3 题型二 利用导数研究函数的零点或方程的根 1 例 2 设函数 f(x)= x3-ax2-ax,g(x)=2x2+4x+c. 3 (1)试判断函数 f(x)的零点个数; (2)若 a=-1,当 x∈[-3,4]时,函数 f(x)与 g(x)的图象有两个公共点,求 c 的取值范围. 破题切入点 (1)对 f(x)求导找出极值点、对 a 讨论看图象与 x 轴交点的个数. (2)结合两个函数的图象求解. 1 1 解 (1)f(x)= x3-ax2-ax=x( x2-ax-a), 3 3 1 2 令 f(x)=0,得 x=0 或 x -ax-a=0.(*) 3 1 显然方程(*)的根的判别式 Δ=(-a)2-4× ×(-a) 3
-1-

4 4 =a2+ a=a(a+ ). 3 3 4 当 a<- 或 a>0 时,Δ>0,方程(*)有两个非零实根, 3 此时函数 f(x)有 3 个零点; 4 当 a=- 时,Δ=0,方程(*)有两个相等的非零实根, 3 此时函数 f(x)有 2 个零点; 当 a=0 时,Δ=0,方程(*)有两个相等的零实根, 此时函数 f(x)有 1 个零点; 4 当- <a<0 时,Δ<0,方程(*)没有实根, 3 此时函数 f(x)有 1 个零点. 4 综上所述:当 a<- 或 a>0 时,函数 f(x)有 3 个零点; 3 4 当 a=- 时,函数 f(x)有 2 个零点; 3 4 当- <a≤0 时,函数 f(x)只有 1 个零点. 3 1 (2)设 f(x)=g(x),则 x3-ax2-ax=2x2+4x+c, 3 1 因为 a=-1,所以 c= x3-x2-3x. 3 1 3 2 设 F(x)= x -x -3x,x∈[-3,4], 3 则 F′(x)=x2-2x-3,令 F′(x)=0, 解得 x1=-1,x2=3. 当 x 变化时,F′(x)和 F(x)的变化情况如下表: x F′(x) F(x) -3 + -9 (-3, -1) + ? -1 0 5 3 (-1,3) - ? 3 0 -9 (3,4) + ? 4 + 20 - 3

由此可知 F(x)在[-3,-1],[3,4]上是增函数, 在[-1,3]上是减函数. 5 当 x=-1 时,F(x)取得极大值 F(-1)= ; 3 当 x=3 时,F(x)取得极小值 F(3)=-9, 20 而 F(-3)=-9,F(4)=- . 3 如果函数 f(x)与 g(x)的图象有两个公共点, 则函数 F(x)与 y=c 的图象有两个公共点,

-2-

20 5 所以- <c< 或 c=-9. 3 3 题型三 导数在实际问题中的应用 例 3 某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形, 80π 左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为 立方米,且 l≥2r.假设该容器的建造费 3 用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米建 造费用为 c(c>3)千元.设该容器的建造费用为 y 千元. (1)写出 y 关于 r 的函数表达式,并求该函数的定义域; (2)求该容器的建造费用最小时的 r.

破题切入点

考查圆柱及球的表面积与体积求法,函数关系式的建立及实际问题中定义域的

求解,通过求导判断函数的单调性,从而确定函数的最值等问题. 解 (1)设容器的容积为 V, 4 80π 由题意知 V=πr2l+ πr3,又 V= , 3 3 4 3 V- πr 3 80 4 4 20 故 l= = 2- r= ( 2 -r). πr2 3r 3 3 r 由于 l≥2r,因此 0<r≤2. 4 20 所以建造费用 y=2πrl×3+4πr2c=2πr× ( 2 -r)×3+4πr2c, 3 r 160π 因此 y=4π(c-2)r2+ ,0<r≤2. r 160π (2)由(1)得 y′=8π(c-2)r- 2 r = 8π?c-2? 3 20 (r - ),0<r≤2. r2 c-2

由于 c>3,所以 c-2>0. 3 20 20 当 r3- =0 时,r= . c-2 c-2 令 3 20 c-2 =m,则 m>0,

8π?c-2? 所以 y′= (r-m)(r2+rm+m2). r2 9 ①当 0<m<2,即 c> 时, 2 当 r=m 时,y′=0;当 r∈(0,m)时,y′<0;
-3-

当 r∈(m,2)时,y′>0, 所以 r=m 是函数 y 的极小值点,也是最小值点. 9 ②当 m≥2,即 3<c≤ 时, 2 当 r∈(0,2)时,y′<0,函数单调递减, 所以 r=2 是函数 y 的最小值点. 9 综上所述,当 3<c≤ 时,建造费用最小时 r=2; 2 3 20 9 当 c> 时,建造费用最小时 r= . 2 c-2 总结提高 (1)利用导数研究函数图象或方程的根、零点等问题,一般都是先求导得出函数的

单调性与极值,然后再画出函数的大致图象. (2)利用导数解决实际问题要注意:①函数的定义域;②极值和最值的区别;③最后还原到实 际问题中作答.

1.已知 f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且 f(a)=f(b)=f(c)=0,现给出如下结论: ①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0; ④f(0)f(3)<0. 其中正确结论的序号是________. 答案 ②③ 解析 f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c, f′(x)=3x2-12x+9=3(x2-4x+3) =3(x-1)(x-3), 函数 f(x)和导函数 f′(x)的大致图象如图所示:

由图得 f(1)=1-6+9-abc=4-abc>0, f(3)=27-54+27-abc=-abc<0, 且 f(0)=-abc=f(3)<0, 所以 f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0.
-4-

2.若函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示,则 y=f(x)的图象可能为________.

答案 ③ 解析 根据 f′(x)的符号,f(x)图象应该是先下降后上升,最后下降,排除①④;从适合 f′(x) =0 的点可以排除②. 1-x 1 3.已知 a≤ +ln x 对任意 x∈[ ,2]恒成立,则 a 的最大值为________. x 2 答案 0 1-x -x+x-1 1 x-1 1 解析 设 f(x)= +ln x,则 f′(x)= + = 2 .当 x∈[ ,1)时,f′(x)<0,故函数 x x2 x x 2 1 f(x)在[ , 1)上单调递减; 当 x∈(1,2]时, f′(x)>0, 故函数 f(x)在(1,2]上单调递增, ∴f(x)min=f(1) 2 =0,∴a≤0,即 a 的最大值为 0. 4.函数 f(x)的定义域是 R,f(0)=2,对任意 x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式 ex· f(x)>ex+1 的 解集为________. 答案 (0,+∞) 解析 构造函数 g(x)=ex· f(x)-ex, 因为 g′(x)=ex· f(x)+ex· f′(x)-ex =ex[f(x)+f′(x)]-ex>ex-ex =0, 所以 g(x)=ex· f(x)-ex 为 R 上的增函数. 又因为 g(0)=e0· f(0)-e0=1, 所以原不等式转化为 g(x)>g(0),解得 x>0. 5.关于 x 的方程 x3-3x2-a=0 有三个不同的实数解,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (-4,0) 解析 由题意知使函数 f(x)=x3-3x2-a 的极大值大于 0 且极小值小于 0 即可, 又 f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),
-5-

令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=2. 当 x<0 或 x>2 时,f′(x)>0; 当 0<x<2 时,f′(x)<0. 所以当 x=0 时,f(x)取得极大值, 即 f(0)=-a, 当 x=2 时,f(x)取得极小值,即 f(2)=-4-a.

?-a>0, ? 所以? 解得-4<a<0. ?-4-a<0, ?
6.已知函数 f(x)的定义域为[-1,5],部分对应值如下表,f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图, 下列关于函数 f(x)的四个命题: x f(x) -1 1 0 2 4 2 5 1

①函数 y=f(x)是周期函数; ②函数 f(x)在[0,2]上是减函数; ③如果当 x∈[-1,t]时,f(x)的最大值是 2,那么 t 的最大值为 4; ④当 1<a<2 时,函数 y=f(x)-a 有 4 个零点. 其中真命题的个数是________. 答案 1 解析 首先排除①,不能确定周期性;f(x)在[0,2]上时,f′(x)<0,故②正确;当 x∈[-1,t]

时,f(x)的最大值是 2,结合原函数的单调性知 0≤t≤5,所以排除③;不能确定在 x=2 时函 数值和 a 的大小,故不能确定几个零点,故④错误. 7.已知函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,则 a 的取值范围是________. 答案 (-∞,2ln 2-2] 解析 函数 f(x)=ex-2x+a 有零点,即方程 ex-2x+a=0 有实根,即函数 g(x)=2x-ex,y=a 有交点,而 g′(x)=2-ex,易知函数 g(x)=2x-ex 在(-∞,ln 2)上递增,在(ln 2,+∞)上递 减,因而 g(x)=2x-ex 的值域为(-∞,2ln 2-2],所以要使函数 g(x)=2x-ex,y=a 有交点, 只需 a≤2ln 2-2 即可.
-6-

1 39 8.某名牌电动自行车的耗电量 y 与速度 x 之间有如下关系:y= x3- x2-40x(x>0),为使耗 3 2 电量最小,则速度应定为________. 答案 40 解析 ∵y′=x2-39x-40,令 y′=0. 即 x2-39x-40=0,解得 x=40 或 x=-1(舍). 当 x>40 时,y′>0,当 0<x<40 时,y′<0, 所以当 x=40 时,y 最小. 9.把一个周长为 12 cm 的长方形围成一个圆柱,当圆柱的体积最大时,该圆柱的底面周长与 高的比为________. 答案 2∶1 解析 设圆柱高为 x,底面半径为 r,则 r= 6-x ?6-x?2 1 ,圆柱体积 V=π? x= (x3-12x2+ ? 2π 4π ? 2π ?

36x)(0<x<6), 3 V′= (x-2)(x-6). 4π 当 x=2 时,V 最大.此时底面周长为 6-x=4,4∶2=2∶1. 10.(2013· 重庆)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100 元 /平方米, 底面的建造成本为 160 元/平方米, 该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. 解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh=200πrh 元,底面的总成本为 160πr2 元. 所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元. 又根据题意得 200πrh+160πr2=12 000π, 1 所以 h= (300-4r2), 5r π 从而 V(r)=πr2h= (300r-4r3). 5 因为 r>0,又由 h>0 可得 r<5 3, 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3). π (2)因为 V(r)= (300r-4r3), 5 π 故 V′(r)= (300-12r2), 5 令 V′(r)=0,解得 r1=5,r2=-5(因为 r2=-5 不在定义域内,舍去).
-7-

当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r∈(5,5 3)时,V′(r)<0,故 V(r)在(5,5 3)上为减函数. 由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8. 即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积最大. 11.(2013· 江苏)已知函数 f(x)=ex+e x,其中 e 是自然对数的底数.


(1)证明:f(x)是 R 上的偶函数; (2)若关于 x 的不等式 mf(x)≤e x+m-1 在(0,+∞)上恒成立,求实数 m 的取值范围;


3 (3)已知正数 a 满足:存在 x0∈[1,+∞),使得 f(x0)<a(-x0 +3x0)成立.试比较 ea

-1

与 ae 1 的


大小,并证明你的结论. (1)证明 因为对任意 x∈R,都有 f(-x)=e-x+e-(-x) =e-x+ex=f(x), 所以 f(x)是 R 上的偶函数. (2)解 由条件知 m(ex+e-x-1)≤e-x-1 在(0,+∞)上恒成立. 令 t=ex(x>0),则 t>1, t-1 1 所以 m≤- 2 =- 对任意 t>1 成立. 1 t -t+1 t-1+ +1 t-1 1 1 因为 t-1+ +1≥2 ?t-1?· +1=3, t-1 t-1 1 1 所以- ≥- , 1 3 t-1+ +1 t-1 当且仅当 t=2,即 x=ln 2 时等号成立. 1? 因此实数 m 的取值范围是? ?-∞,-3?. 1 (3)解 令函数 g(x)=ex+ x-a(-x3+3x), e 1 x 2 则 g′(x)=e - x+3a(x -1). e 1 当 x≥1 时,ex- x>0,x2-1≥0, e 又 a>0,故 g′(x)>0. 所以 g(x)是[1,+∞)上的单调增函数, 因此 g(x)在[1,+∞)上的最小值是 g(1)=e+e-1-2a. 由于存在 x0∈[1,+∞), 使 ex0+e-x0-a(-x3 0+3x0)<0 成立,
-8-

当且仅当最小值 g(1)<0. 故 e+e-1-2a<0,即 e+e-1 a> . 2

令函数 h(x)=x-(e-1)ln x-1, e-1 则 h′(x)=1- . x 令 h′(x)=0,得 x=e-1. 当 x∈(0,e-1)时,h′(x)<0, 故 h(x)是(0,e-1)上的单调减函数; 当 x∈(e-1,+∞)时,h′(x)>0, 故 h(x)是(e-1,+∞)上的单调增函数, 所以 h(x)在(0,+∞)上的最小值是 h(e-1). 注意到 h(1)=h(e)=0, 所以当 x∈(1,e-1)?(0,e-1)时, h(e-1)≤h(x)<h(1)=0; 当 x∈(e-1,e)?(e-1,+∞)时,h(x)<h(e)=0. 所以 h(x)<0 对任意的 x∈(1,e)成立. ①当 a∈?

?e+e-1 ? ??(1,e)时, ? 2 ,e?

h(a)<0,即 a-1>(e-1)ln a, 从而 ea-1<ae-1; ②当 a=e 时,ea-1=ae-1; ③当 a∈(e,+∞)?(e-1,+∞)时, h(a)>h(e)=0,即 a-1>(e-1)ln a, 故 ea-1>ae-1. 综上所述,当 a∈?

?e+e-1 ? ?时,ea-1<ae-1; ? 2 ,e?

当 a=e 时,ea-1=ae-1; 当 a∈(e,+∞)时,ea-1>ae-1. 12.(2013· 陕西)已知函数 f(x)=ex,x∈R. (1)求 f(x)的反函数的图象在点(1,0)处的切线方程; 1 (2)证明:曲线 y=f(x)与曲线 y= x2+x+1 有唯一公共点; 2
-9-

(3)设 a<b,比较 f?

a+b? f?b?-f?a? ? 2 ?与 b-a 的大小,并说明理由.

(1)解 f(x)的反函数为 g(x)=ln x,设所求切线的斜率为 k, 1 ∵g′(x)= ,∴k=g′(1)=1. x 于是在点(1,0)处的切线方程为 y=x-1. 1 1 (2)证明 方法一 曲线 y=ex 与 y= x2+x+1 公共点的个数等于函数 φ(x)=ex- x2-x-1 零 2 2 点的个数. ∵φ(0)=1-1=0,∴φ(x)存在零点 x=0. 又 φ′(x)=ex-x-1,令 h(x)=φ′(x)=ex-x-1, 则 h′(x)=ex-1, 当 x<0 时,h′(x)<0,∴φ′(x)在(-∞,0)上单调递减; 当 x>0 时,h′(x)>0,∴φ′(x)在(0,+∞)上单调递增. ∴φ′(x)在 x=0 处有唯一的极小值 φ′(0)=0, 即 φ′(x)在 R 上的最小值为 φ′(0)=0. ∴φ′(x)≥0(仅当 x=0 时等号成立), ∴φ(x)在 R 上是单调递增的, ∴φ(x)在 R 上有唯一的零点, 1 故曲线 y=f(x)与 y= x2+x+1 有唯一的公共点. 2 1 方法二 ∵ex>0, x2+x+1>0, 2 1 2 x +x+1 2 1 x 2 ∴曲线 y=e 与 y= x +x+1 公共点的个数等于曲线 y= 与 y=1 公共点的个数, 2 ex 1 2 x +x+1 2 设 φ(x)= ,则 φ(0)=1,即 x=0 时,两曲线有公共点. ex 1 1 ?x+1?ex-? x2+x+1?ex - x2 2 2 又 φ′(x)= = x ≤0(仅当 x=0 时等号成立), e2x e ∴φ(x)在 R 上单调递减, ∴φ(x)与 y=1 有唯一的公共点, 1 故曲线 y=f(x)与 y= x2+x+1 有唯一的公共点. 2 f?b?-f?a? ?a+b? eb-ea (3)解 -f? -e ?= ? 2 ? b-a b-a
a ?b 2

- 10 -



e -e -be
b a

a ?b 2

+ae

a ?b 2

b-a



e

a ?b 2

b-a

[e

b?a 2

错误!未定义书签。-e

a ?b 2

错误!未定义书签。-(b-

a)]. 1 设函数 u(x)=ex- x-2x(x≥0), e 1 1 则 u′(x)=ex+ x-2≥2 ex·x-2=0, e e ∴u′(x)≥0(仅当 x=0 时等号成立), ∴u(x)单调递增. 当 x>0 时,u(x)>u(0)=0. b-a 令 x= ,则 e 2 ∴
b?a 2 a ?b 2

-e

-(b-a)>0,

f?b?-f?a? ?a+b? >f? ?. ? 2 ? b-a

- 11 -


赞助商链接

...高考必会题型:专题三 函数与导数 第17练

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题三 函数与导数 第17练_数学_高中教育_教育专区。第 17 练 存在与恒成立问题 题型一 不等式的恒...

【考前三个月】2015届高考数学(人教通用,文科)练透高考...

【考前三个月】2015高考数学(人教通用,文科)练透高考必会题型:专题3 第16练_数学_高中教育_教育专区。第 16导数的综合应用 [内容精要] 在高考中, ...

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题...

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题7 解析几何 第33...1 + 2 k ? 1 2 k S1 9 1 =λ==≥, S2 16 16 16 9 则λ 的...

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题...

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题7 解析几何 第34练_数学_高中教育_教育专区。第 34 练 圆锥曲线中的探索性问题 题型一 定值、...

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题...

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题8 概率与统计 第...题型二 茎叶图的应用 例 2 从甲、乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机...

【考前三个月】2015届高考数学(人教通用,文科)练透高考...

【考前三个月】2015高考数学(人教通用,文科)练透高考必会题型:专题2 第4练...4 16 16 2 ? ?x+1,x≤0, 4. 已知函数 f(x)=? 2 若关于 x 的...

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题...

【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)高考必会题型:专题6 立体几何 第27...___. 答案 16π 解析 由题意,圆柱的高为 4,则 V=π·22· 4=16π. ...

【考前三个月】2015届高考数学(人教通用,文科)练透高考...

【考前三个月】2015高考数学(人教通用,文科)练透高考必会题型:专题7 第34...(1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0, 则Δ=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-8)=8(8...

【考前三个月】2015届高考数学(人教通用,文科)练透高考...

【考前三个月】2015高考数学(人教通用,文科)练透高考必会题型:专题1 第3练_数学_高中教育_教育专区。第3练 突破充要条件的综合性问题 [内容精要] 有关充...

【考前三个月】2015届高考数学(人教通用,文科)练透高考...

【考前三个月】2015高考数学(人教通用,文科)练透高考必会题型:专题6 第27练_数学_高中教育_教育专区。第 27 练 完美破解立体几何证明题 [内容精要] 立体...