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1.4三角函数的图象与性质(5课时)


1.4 三角函数的图象与性质

1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.在单位圆中,角α 的正弦线、余弦线 分别是什么?
y

sinα =MP cosα =OM
O M

P (x ,y )

x

2.任意给定一个实数x,对应的正弦值 (sinx)、余弦值(cosx)是否存在?惟一?

3.设实数x对应的角的正弦值为y,则对 应关系y=sinx就是一个函数,称为正弦 函数;同样y= cosx也是一个函数,称为 余弦函数,这两个函数的定义域是什么?

4.一个函数总具有许多基本性质,要直 观、全面了解正、余弦函数的基本特性, 我们应从哪个方面人手?

知识探究(一):正弦函数的图象

思考1:作函数图象最原始的方法是什么?

思考2:用描点法作正弦函数y=sinx在[0, 2π ]内的图象,可取哪些点? 思考3:如何在直角坐标系中比较精确地 描出这些点,并画出y=sinx在[0,2π ] 内的图象?

y 1

y ? sin x, x[0, 2??
π
3p 2

O -1

p 2



x

思考4:观察函数y=sinx在[0,2π ]内的 图象,其形状、位置、凸向等有何变化 规律?

思考 5 :在函数 y=sinx ,x∈[0 , 2π ] 的 图象上,起关键作用的点有哪几个?
y 1 O -1
3p 2

p 2

π

2π x

思 考 6 : 当 x∈[2π , 4π ], [-2π , 0],?时,y=sinx的图象如何?
y
1 -6π -4π -5π -3π -1 -2π -π
O

π





5π 6π x

思考7:函数y=sinx,x∈R的图象叫做正 弦曲线,正弦曲线的分布有什么特点?
y 1 -6π -4π -5π -3π -1 -2π -π
O

π 2π

3π 4π

5π 6π x

思考8:你能画出函数y=|sinx|, x∈[0,2π ]的图象吗?
y 1

O -1

π



x

知识探究(二):余弦函数的图象

思考 1 :观察函数 y=x2与 y=(x + 1)2 的图 象,你能发现这两个函数的图象有什么 内在联系吗?
y

-1

o

x

思考 2 :一般地,函数 y=f(x + a)(a>0) 的图象是由函数 y=f(x) 的图象经过怎样 的变换而得到的? 向左平移a个单位. 思考3:设想由正弦函数的图象作出余弦 函数的图象,那么先要将余弦函数 y=cosx 转化为正弦函数,你可以根据哪 个公式完成这个转化?

思考4:由诱导公式可知,y=cosx与 p y = sin( + x ) 是同一个函数,如何作函 2 p 数 y = sin( 2 + x )在[0,2π ]内的图象?
y 1

y=sinx
?? 2

? ? 2

O -1

π



x

思考 5 :函数 y=cosx ,x∈[0 , 2π ] 的图 象如何?其中起关键作用的点有哪几个?
y 1

O -1

? 2

π

?? 2



x

思考6:函数y=cosx,x∈R的图象叫做余 弦曲线,怎样画出余弦曲线,余弦曲线 的分布有什么特点?
?? ? 2

?? ? 2
?? ? 2 ?? ? 2

? ? 1 2
O

y

? 2
?? 2

?? 2
?? 2

?? 2

x

??? ? 2

-1

??? 2

理论迁移

例 1 用“五点法”画出下列函数的 简图: (1)y=1+sinx,x∈[0,2π ]; (2)y=-cosx,x∈[0,2π ] .

x sinx

0
0

p 2

p
0

3p 2

2p
0

1

-1

1+sinx
y 2 1 O -1

1

2

1

0

1

y=1+sinx
3p 2

p 2

π

2π x

x cosx -cosx
y

0 1 -1

p 2

p
-1 1

3p 2

2p
1 -1

0 0

0 0

y=-cosx
1 O -1
3p 2

p 2

2π x

π

例2 当x∈[0,2π ]时,求不等式
1 的解集. cos x ? y 2
1

y =
O -1

? 2

π

?? 2

1 2



x

p 5p [0, ] U [ , 2p ] 3 3

小结作业

1.正、余弦函数的图象每相隔2π 个单位 重复出现,因此,只要记住它们在 [0 , 2π ] 内的图象形态,就可以画出正弦曲 线和余弦曲线. 2. 作与正、余弦函数有关的函数图象, 是解题的基本要求,用“五点法”作图 是常用的方法.

3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研 究函数性质的基础,也是解决有关三角 函数问题的工具,这是一种数形结合的 数学思想.

作业:P34练习:2 P46习题1.4 A组: 1

1.4.2

正弦函数、余弦函数的性质

第一课时

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1. 正弦函数和余弦函数的图象分别是什 么?二者有何相互联系?
1 -6π y

y=sinx
π 3π 2π 4π 5π

-4π
-5π -3π

-2π


O

x 6π

-1
?? ? 2

?? ? 2
?? ? 2 ?? ? 2

? ? 1 2
O

y

? 2
?? 2

y=cosx
?? 2
?? 2

?? 2

x

??? ? 2

-1

??? 2

2. 世界上有许多事物都呈现“周而复始” 的变化规律,如年有四季更替,月有阴 晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性, 在函数领域里,周期性是函数的一个重 要性质.

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

知识探究(一):周期函数的概念

思考1:由正弦函数的图象可知, 正弦曲 线每相隔 2π 个单位重复出现, 这一规 律的理论依据是什么?
.

sin( x ? 2k? ) ? sin x (k ? Z )

思考2:设f(x)=sinx,则sin( x ? 2k? ) ? sin x
可以怎样表示?其数学意义如何?

思考3:为了突出函数的这个特性,我们 把函数f(x)=sinx称为周期函数,2kπ 为 这个函数的周期.一般地,如何定义周期 函数? 对于函数 f(x) ,如果存在一个非 零常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一 个值时,都有 f(x+T)=f(x), 那么函数 f(x)就叫做周期函数,非零常数 T就叫 做这个函数的周期.

思考4:周期函数的周期是否惟一?正弦 函数的周期有哪些?

思考5:如果在周期函数f(x)的所有周期 中存在一个最小的正数 , 则这个最小正 数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函 数的最小正周期是多少?为什么?

思考 6 :就周期性而言,对正弦函数有 什么结论?对余弦函数呢? 正、余弦函数是周期函数,2kπ (k∈Z, k≠0 )都是它的周期,最小 正周期是2π .

知识探究(二):周期概念的拓展

思考1:函数f(x)=sinx(x≥0)是否为 周期函数?函数 f(x)=sinx (x≤0 )是 否为周期函数? 思考 2 :函数 f(x)=sinx ( x>0 )是否为 周期函数?函数f(x)=sinx(x≠3kπ ) 是否为周期函数? 思考 3 :函数 f(x)=sinx ,x∈[0 , 10π ] 是否为周期函数?周期函数的定义域有 什么特点?

思考 4 :函数 y=3sin(2x + 4) 的最小正 周期是多少? 思考5:一般地,函数 y = A sin( wx + j )
(A ? 0, w 0) 的最小正周期是多少?

思考 6 :如果函数 y=f(x) 的周期是 T ,那 么函数y=f(ω x+φ )的周期是多少?

理论迁移

例1 求下列函数的周期: (1)y=3cosx; x∈R (2)y=sin2x,x∈R x p (3) y = 2 sin( 2 - 6 ) , x∈R ; (4)y=|sinx| x∈R.


例2 已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x+2)+f(x)=0,试判断f(x)是否为周 期函数?

例3 已知定义在R上的函数f(x)满足 f(x + 1)=f(x - 1) ,且当x∈[0 , 2] 时, f(x)=x-4,求f(10)的值.

小结作业

1. 函数的周期性是函数的一个基本性质, 判断一个函数是否为周期函数,一般以 定义为依据,即存在非零常数 T ,使 f(x +T)=f(x)恒成立.

2. 周期函数的周期与函数的定义域有关, 周期函数不一定存在最小正周期. 3.周期函数的周期有许多个,若T为周期 函数f(x)的周期,则T的整数倍也是f(x) 的周期.

4.函数 y = A sin( wx + j ) 和 y = A cos(wx + j )
(A ? 0, w

,这 是正、余弦函数的周期公式,解题时可 以直接应用.

0)的最小正周期都是

2p w

作业:P36练习:1,2,3.

1.4.2

正弦函数、余弦函数的性质 第二课时

问题提出

1.周期函数是怎样定义的? 对于函数 f(x) ,如果存在一个非 零常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一 个值时,都有 f(x +T)=f(x), 那么函 数f(x)就叫做周期函数,非零常数 T 就 叫做这个函数的周期.

2.正、余弦函数的最小正周期是多少? y = A cos(wx + j ) y = A sin(wx和 +j) 函数
(A ? 0, w 0)

的最小正周期是多少?

3.周期性是正、余弦函数所具有的一个 基本性质,此外,正、余弦函数还具有 哪些性质呢?我们将对此作进一步探究.

探究(一):正、余弦函数的奇偶性和单调性

思考1:观察下列正弦曲线和余弦曲线的 对称性,你有什么发现?
1 -6π -4π -5π -3π -1
?? ? 2

y

y=sinx
π 3π 2π 4π 5π 6π x

-2π


O

?? ? 2
?? ? 2 ?? ? 2

? ? 1 2
O

y

? 2
?? 2

y=cosx
?? 2
?? 2

?? 2

x

??? ? 2

-1

??? 2

思考2:上述对称性反映出正、余弦函数 分别具有什么性质?如何从理论上加以 验证? 正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数.

思考3:观察正弦曲线,正弦函数在哪些 区间上是增函数?在哪些区间上是减函 数?如何将这些单调区间进行整合?
1 -6π y π
O

y=sinx
3π 2π 4π 5π 6π

-4π
-5π -3π

-2π


-1

x

正弦函数在每一个闭区间
[ ? 2k ???? ? ??

? ? [? ? 2k ???? ? 2k ??? 2 ?

上都是增函数;在每一个闭区间
? 2k ????? ? ?? 上都是减函数.

思考4:类似地,余弦函数在哪些区间上 是增函数?在哪些区间上是减函数?
?? ? 2

?? ? 2
?? ? 2 ?? ? 2

? ? 1 2
O

y

? 2
?? 2

y=cosx
?? 2
?? 2

?? 2

x

??? ? 2

-1

??? 2

余弦函数在每一个闭区间 [?? ? 2k ????2k ??? 上都是增函数;在每一个闭区间
[2k ????? ? 2k ????? ? ?? 上都是减函数.

思考5:正弦函数在每一个开区间 ? (2kπ ,2 +2kπ ) (k∈Z)上都是增函 数,能否认为正弦函数在第一象限是增 函数?

探究(二):正、余弦函数的最值与对称性

思考1:观察正弦曲线和余弦曲线,正、 余弦函数是否存在最大值和最小值?若 存在,其最大值和最小值分别为多少?
思考 2 :当自变量 x 分别取何值时,正弦 函数y=sinx取得最大值1和最小值-1?
? 正弦函数当且仅当 x ? 2k ? ? ? 时取最大 ?? 值1, 当且仅当 x ? 2k ? ? 时取最小值-1 ?

思考 3 :当自变量 x 分别取何值时,余弦 函数y=cosx取得最大值1和最小值-1?

余弦函数当且仅当 x ? 2k ? 时取最大值1, 当且仅当 x ? (2k ? 1)? 时取最小值-1.

思考4:根据上述结论,正、余弦函数的 值域是什么?函数y=Asinω x(Aω ≠0) 的值域是什么? [-|A| , |A|] 思考5:正弦曲线除了关于原点对称外, 是否还关于其它的点和直线对称?

正弦曲线关于点(kπ ,0)和直线
p x = k p + (k 2 Z ) 对称.

思考 6 :余弦曲线除了关于 y 轴对称外, 是否还关于其它的点和直线对称? 余弦曲线关于点 对称.
p (k p + , 0) 和直线 x=kπ 2

理论迁移

例1 求下列函数的最大值和最小值,并 写出取最大值、最小值时自变量x的集合 (1) y=cosx+1,x∈R; (2)y=-3sin2x,x∈R.

例2 比较下列各组数的大小:
? ? (1) sin(? )与 sin( ? ); 18 10
23? 17 ? (2) cos(? )与 cos( ? ). 5 ?

例3 求函数

1 ? y ? sin( x ? , ) 2 3

x∈[-2π ,2π ]的单调递增区间.

小结作业

1. 正、余弦函数的基本性质主要指周期 性、奇偶性、单调性、对称性和最值, 它们都是结合图象得出来的,要求熟练 掌握.

2. 正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函 数 . 一 般 地 , y=Asinω x 是 奇 函 数 , y=Acosω x(Aω ≠0)是偶函数.

3. 正、余弦函数有无数个单调区间和无 数个最值点,简单复合函数的性质应转 化为基本函数处理.

作业:P40-41练习:1,2,3,5,6.

1.4.3

正切函数的图象与性质

问题提出

1. 正、余弦函数的图象是通过什么方法 作出的?
2. 正、余弦函数的基本性质包括哪些内 容?这些性质是怎样得到的?

3. 三角函数包括正、余弦函数和正切函 数,我们已经研究了正、余弦函数的图 象和性质, 因此, 进一步研究正切函数 的性质与图象就成为学习的必然.

知识探究(一):正切函数的性质

思考1:正切函数的定义域是什么?用区 间如何表示?
? ? (? ? k ???? ? k ?? ?? ? ?? 2 ?

思考2:根据相关诱导公式,你能判断正 切函数是周期函数吗?其最小正周期为 多少? 正切函数是周期函数,周期是π.

) 思考3 :函数 y ? tan(2 x ? 的周期为多少? 8 y ? tan(? x ? ? )(? ? 0) 一般地,函数

?

的周期是什么? 思考4:根据相关诱导公式,你能判断正 切函数具有奇偶性吗? 正切函数是奇函数

思考5:观察下图中的正切线,当角x ? ? 在 ( ? 2 , 2 ) 内增加时,正切函数值发生 什么变化?由此反映出一个什么性质?
y
T2

O

O T1

A

x

思考 6 :结合正切函数的周期性,正切 函数的单调性如何?
? ? 正切函数在开区间 (? ? k ???? ? k ?? ?? ? ?? 2 ?

都是增函数 思考7:正切函数在整个定义域内是增函 数吗?正切函数会不会在某一区间内是 减函数?

思考8:当x大于 且无限接近 时,正 ? 切值如何变化?当x小于 2 且无限接近 ? 2 时 , 正切值又如何变化?由此分析, 正切函数的值域是什么?
y
T2

? ? 2

? ? 2

O

O T1

A

x

正切函数的值域是R.

知识探究(一):正切函数的图象

思考1:类比正弦函数图象的作法,可以 ? ? 利用正切线作正切函数在区间 (? 2 , 2 ) 的图象,具体应如何操作?
y

?

? 2

O

? 2

x

思考2:上图中,直线 切函数的图象的位置关系如何?图象的 凸向有什么特点?

p p x = 和 x = - 与正 2 2

思考 3:结合正切函数的周期性, 如何画 出正切函数在整个定义域内的图象?
y

?? ? 2

??

? ? 2

O

? 2

?

?? 2

x

思考4:正切函数在整个定义域内的图象 叫做正切曲线.因为正切函数是奇函数, 所以正切曲线关于原点对称,此外,正 切曲线是否还关于其它的点和直线对称? 正切曲线关于点
( kp , 0) 2

对称.

思考5:根据正切曲线如何理解正切函数 的基本性质?一条平行于x轴的直线与相 邻两支曲线的交点的距离为多少?

理论迁移

例 1 求函数 周期和单调区间.

? ? y ? tan( x ? ) 2 ?

的定义域、

例2 试比较tan8 和tan( 大小.

28? ? ?

)的

例3 若 ?1 ? tan x ? 3,求x 的取值范 围.

小结作业

1. 正切函数的图象是被互相平行的直线 所隔开的无数支相同形状的曲线组成,且 kp 关于点 ( 2 , 0) 对称 , 正切函数的性质应 结合图象去理解和记忆. 2. 正切曲线与 x 轴的交点及渐近线 , 是确 定图象形状、位置的关键要素,作图时一 般先找出这些点和线,再画正切曲线.

3.研究正切函数问题时,一般先考察
? ? (? , )的情形, 2 2

再拓展到整个定义域.

作业:P45练习:2,3,4,6.

三角函数的图象与性质 习题课

例1 求下列函数的定义域和值域:

(1)

f (x ) =

p sin(2x - ) 3



(2) f (x ) = lg(2cos x - 1) .
p 例2 已知函数 f (x ) = 4 cos(2wx + ) + 1 3

的最小正周期为 π f(x)的最大值和最小值.

p p ,当 x ? [ 3 , 6 ] 时,求

例3 确定下列函数的奇偶性: 5p (1)f (x ) = sin x + cos(2x + ) ; 2 p p f (x ) = tan(x + ) + tan(x - ) . (2 ) 4 4
x p 例4 已知函数 f (x ) = 2 sin( - ) 在区间 2 6 28p [ ,a ] 上是减函数,求 a 的取值范围 . 5

p 例5 把函数 f (x ) = sin(2x + ) 的图象向 4 右平移a个单位得曲线C,若曲线C关于直 p 线 x = 对称,求a的最小值. 4

例6 已知函数f(x)=cos2x+sinx+a, 17 若对任意x∈R都有 1 # f (x ) 成立,求实 4 数a的取值范围.

作业:

P46习题1.4A组:2,10. P47习题1.4B组: 1,2.


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