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求数列通项公式常用的七种方法


求数列通项公式常用的七种方法
林彩凡 山东省东阿县实验高中 252200 一、公式法:已知或根据题目的条件能够推出数列 ?an ? 为等差或等比数列,根据通项公 式 an ? a1 ? ?n ? 1?d 或 an ? a1q n?1 进行求解. 例 1:已知 ?an ? 是一个等差数列,且 a 2 ? 1, a5 ? ?5 ,求 ?an ? 的通项公式. 分析:设数列 ?an ? 的公差为 d ,则 ?

?a1 ? 3 ?a1 ? d ? 1 解得 ? ? d ? ?2 ?a1 ? 4d ? ?5

? an ? a1 ? ?n ? 1?d ? ?2n ? 5
二、前 n 项和法:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 sn 的解析式,求 an . 例 2:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 sn ? 2 n ? 1 ,求通项 an . 分析:当 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1 = 2n ? 3 ? 2n?1 ? 3 = 2 而 a1 ? s1 ? ?1 不适合上式,? a n ? ?

?

? ?

?

n ?1

?? 1?n ? 1? ?2
n ?1

?n ? 2?

三、 sn 与 an 的关系式法:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 sn 与通项 an 的关系式,求 an . 例 3:已知数列 ?an ? 的前 n 项和 sn 满足 a n ?1 ? 分析:? sn ? 3an?1

1 s n ,其中 a1 ? 1 ,求 an . 3


? sn?1 ? 3an
①-② 得

?n ? 2?



an ? 3an?1 ? 3an

? 4an ? 3an?1


a n ?1 4 ? an 3

?n ? 2?

1 1 s1 ? a1 不适合上式 3 3 4 ? 数列 ?an ? 从第 2 项起是以 为公比的等比数列 3
又 a2 ?

? 4? ? an ? a2 ? ? ?3?

n?2

1? 4? ? ? ? 3? 3?

n?2

?n ? 2?

?1?n ? 1? ? ? an ? ? 1 ? 4 ? n?2 ? ? ? ?n ? 2? ?3 ? 3 ?
注:解决这类问题的方法,用具俗话说就是“比着葫芦画瓢” ,由 sn 与 an 的关系式, 类比出 an?1 与 s n ?1 的关系式,然后两式作差,最后别忘了检验 a1 是否适合用上面 的方法求出的通项. 四、累加法:当数列 ?an ? 中有 an ? an?1 ? f ?n? ,即第 n 项与第 n ? 1 项的差是个有“规 律”的数时,就可以用这种方法. 例 4:

a1 ? 0, an?1 ? an ? 2?n ?1? ,求通项 an

分析:? an?1 ? an ? 2n ? 1

? a2 ? a1 ? 1
a3 ? a2 ? 3 a4 ? a3 ? 5


an ? an?1 ? 2n ? 3
以上各式相加得

?n ? 2?
2

an ? a1 ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ?? ?2n ? 3? ? ?n ?1?
又 a1 ? 0 ,所以 an ? ?n ?1?
2

?n ? 2?

?n ? 2? ,而 a1 ? 0 也适合上式,

? an ? ?n ?1?

2

?n ? N ?
?

五、累乘法:它与累加法类似 ,当数列 ?an ? 中有

an ? f ? n ? ,即第 n 项与第 n ? 1 项的 an ?1
?

商是个有“规律”的数时,就可以用这种方法. 例 5: a1 ? 1, an ?

n an ?1 n ?1

? n ? 2, n ? N ?

求通项 an

分析:? an ?

n an ?1 n ?1

?

an n ? an?1 n ? 1 a a a a1 a2 a3

? n ? 2, n ? N ?
?

故 an ? a1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ?

an 2 3 4 n ? 1? ? ? ? ?? ?n an?1 1 2 3 n ?1

? n ? 2, n ? N ?
?

? 而 a1 ? 1 也适合上式,所以 an ? n n ? N

?

?

六、构造法: ㈠、一次函数法:在数列 ?an ? 中有 an ? kan?1 ? b ( k , b 均为常数且 k ? 0 ) ,从表面 形式上来看 an 是关于 an ?1 的“一次函数”的形式,这时用下面的 方法: 一般化方法:设 an ? m ? k ? an?1 ? m? 则

an ? kan?1 ? ? k ?1? m
而 an ? kan?1 ? b

? b ? ? k ?1? m 即 m ?
故 an ?

b k ?1

b b ? ? ? k ? an ?1 ? ? k ?1 k ?1 ? ?

b ? ? ? 数列 ?an?1 ? ? 是以 k 为公比的等比数列,借助它去求 an k ? 1? ?
例 6:已知 a1 ? 1, an ? 2an?1 ? 1

? n ? 2, n ? N ?
?

求通项 an

分析:? an ? 2an?1 ? 1

? an ?1 ? 2an?1 ? 2 ? 2 ? an?1 ?1? ? 数列 ?an ?1? 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列 ? an ?1 ? ? a1 ?1? ? 2n?1 ? 2n
故 an ? 2n ? 1 ㈡、取倒数法:这种方法适用于 an ?

kan?1 man?1

? n ? 2, n ? N ? ( k , m, p 均为常数 ?p
?

m?0) , 两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于

an ? kan?1 ? b 的式子.
例 7:已知 a1 ? 2, an ?

2an ?1 an ?1 ? 2

? n ? 2, n ? N ?
?

求通项 an

? an ?

2an ?1 an ?1 ? 2

?

1 an?1 ? 2 1 1 ? ? ? an 2an?1 an?1 2
?



1 1 1 ? ? an an ?1 2

? n ? 2, n ? N ?

?1? 1 1 ? 数列 ? ? 是以 为首项,以 为公差的等差数列 2 2 ? an ?

?

1 1 1 n ? ? ? n ? 1? ? ? an 2 2 2
2 n

? an ?

㈢、取对数法:一般情况下适用于 an k ? an?1l ( k , l 为非零常数) 例 8:已知 a1 ? 3, an ? an?1 ? n ? 2?
2

求通项 an

分析:由 a1 ? 3, an ? an?12 ? n ? 2? 知 an ? 0

? 在 an ? an?12 的两边同取常用对数得
lg an ? lg an?12 ? 2lg an?1 即
lg an ?2 lg an ?1

? 数列 ?lg an ? 是以 lg 3 为首项,以 2 为公比的等比数列
故 lg an ? 2n?1 lg 3 ? lg 32
n?1

? an ? 32

n?1

七、 “ an?1 ? ban ? c m ( b, c 为常数且不为 0 , m, n ? N * ) ”型的数列求通项 an . 例 9:设数列 ?an ? 的前 n 项和为 sn ,已知 a1 ? a, an?1 ? sn ? 3n , n ? N * ,求通项 an . 解:? an?1 ? sn ? 3n

?an ? sn?1 ? 3n?1
两式相减得 即

?n ? 2?

an?1 ? an ? an ? 2 ? 3n?1

an?1 ? 2an ? 2 ? 3n?1
n ?1

上式两边同除以 3 令 cn ?



an 得 3n

c n ?1

a n ?1 2 a n 2 ? ? ? (这一步是关键) 3n ?1 3 3n 9 2 2 ? cn ? 3 9

? cn?1 ?

2 ? 3

2? 2? ? cn ? ? 3? 3?

?n ? 2?

(想想这步是怎么得来的)

2 a ?3 2 2? ? 为首项,以 为公比的等 ? 数列 ?c n ? ? 从第 2 项起,是以 c 2 ? ? 3 9 3 3? ?
比数列
n?2 n ?2

2 ? 2 ?? 2 ? 故 cn ? ? ? c2 ? ?? ? 3 ? 3 ?? 3 ?

a ?3? 2? ? ? ? 9 ?3?

? ?a ? 3?

2 n ?2 3n

2 n?2 2 ? cn ? ?a ? 3? n ? 3 3
又 cn ?

an ,所以 an ? ?a ? 3? ? 2n?2 ? 2 ? 3n?1 3n

? a1 ? a 不适合上式

?a?n ? 1? ? an ? ? n?2 n ?1 ??a ? 3? ? 2 ? 2 ? 3 ?n ? 2?
注:求 an?1 ? ban ? c m ( b, c 为常数且不为 0 , m, n ? N * ) ”型的数列求通项公式 的方法是等式的两边同除以 c
n ?1

,得到一个“ an ? kan?1 ? b ”型的数列,再用

上面第六种方法里面的“一次函数法”便可求出

an 的通式,从而求出 an .另外本 cn

题还可以由 an?1 ? sn ? 3n 得到 sn?1 ? sn ? sn ? 3n 即 sn?1 ? 2sn ? 3n ,按照上面 求 an 的方法同理可求出 sn ,再求 an .您不不妨试一试. 除了以上七种方法外,还有嵌套法(迭代法) 、归纳猜想法等,但这七种方法是经常 用的,将其总结到一块,以便于学生记忆和掌握.

地址:山东省东阿县实验高中 姓名:林彩范(收) 邮编:252200 Email:lincaifan369@163.com 电话:13780729539 036352178013


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