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立体几何—空间向量及其坐标运算 复习课件


高考数学复习 强化双基系列课件

《立体几何 - 空间向量及其坐标运算》

【教学目标】 教学目标】
掌握空间点的坐标及向量的坐标和 向量的坐标运算法则, 向量的坐标运算法则,空间中两点 间距离及两向量的夹角公式的坐标, 间距离及两向量的夹角公式的坐标, 的坐标表示; ‖ a 的坐标表示; ⊥ b, a b, 会求平面的法向量. 会求平面的法向量.培养学生的建 系意识, 系意识,并能用空间向量知识解决 有关问题. 有关问题.

【知识梳理】 1.空间向量的直角坐标运算律 知识梳理】 .

若a = (a1 , a2 , a3 ), = (b1 , b2 , b3 ) b
则: a + b = (a1 + b1 , a2 + b2 , a3 + b3 )

a b = (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 )

λ a = (λ a1 , λ a2 , λ a3 )(λ ∈ R)

a b = a1b1 + a2b2 + a3b3
a // b a1 = λb1 , a2 = λb2 , a3 = λb3 (λ ∈ R)

a ⊥ b a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

【知识梳理】 1.空间向量的直角坐标运算律 知识梳理】 .

若A( x1 , y1 , z1 ),B( x2 , y2 , z2 )

则 AB = ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表 示这个向量的有向线段的终点的坐标减 去起点的坐标

【知识梳理】 知识梳理】

2 模长公式

若a = (a1 , a2 , a3 ), = (b1 , b2 , b3 ) b
则 | a |= a a = a + a2 + a3
2 1 2 2

| b |= b b = b + b2 + b3
2 1 2

2

【知识梳理】 知识梳理】

3.夹角公式 .

cos a b =

ab |a ||b|

=

a1b1 + a2 b2 + a3 b3 a12 + a2 2 + a3 2 b12 + b2 2 + b3 2

【知识梳理】 知识梳理】

4.两点间的距离公式 .

若A( x1 , y1 , z1 ),B( x2 , y2 , z2 )
则 | AB |= AB
2 2

= ( x2 x1 ) + ( y2 y1 ) + ( z2 z1 )
2

2

或d A, B = ( x2 x1 ) + ( y2 y1 ) + ( z2 z1 )
2 2

2

C

2.在空间直角坐标系中,已知点P(x,y,z),下列叙 在空间直角坐标系中,已知点 ( , , ),下列叙 在空间直角坐标系中 ), 点击双基 1 【 述中正确的个数是 C . 关于x轴对称点的坐标是 ,-y, ) ①点P关于 轴对称点的坐标是 1(x,- ,z) ②点P 关于 轴对称点的坐标是P ,- 若 ③点 关于yOz平面对称点的坐标是 2(x,- ,- ) 平面对称点的坐标是P ,-y,- 关于 平面对称点的坐标是 ,- ,-z) a 关于 ,-y, ) P关于 轴对称点的坐标是 3(x,- ,z) ④点P关于 关于y轴对称点的坐标是 关于 轴对称点的坐标是P ,- 原点对称的点的坐标是P4(-x,- ,-z) = 原点对称的点的坐标是 (- ,-y,- ) ,- ,- A.3 B.2 C.1 D.0 (

2

【点击双基】 点击双基】

4.已知空间三点 (1,1,1), 已知空间三点A( , , ), 已知空间三点 B(- ,0,4), (2,- ,3), (-1, , ), ),C( ,- ,-2, ), (- 则 ° 的夹角θ的大小是 的大小是_________. CA 的夹角 的大小是 120°

AB



5.已知点 (1,2,1), (- ,3,4), 已知点A( , , ), (-1, , ), ),B(- 已知点 D(1,1,1), D(1,1,1),若 AP=2 PB ,则| PD | ),若 的值是__________. 的值是 77

3

【典例剖析】 典例剖析】

【例1】 已知 AB =(2,2,1), 】 ( , , ), 量. ),求平面 ( , , ),求平面ABC的单位法向 的单位法向 AC =(4,5,3),求平面

【典例剖析】 典例剖析】

【例2】 在三棱锥 】 在三棱锥S— ABC中, 中 ∠SAB=∠SAC=∠ACB ∠ ∠ =90°,AC=2, ° , BC= 13,SB= 29 . (1)求证:SC⊥BC; )求证: ⊥ ; (2)求SC与AB所成角 ) 与 所成角 的余弦值. 的余弦值

z S

A x C

B

y

【典例剖析】 典例剖析】 【例3】 如下图,直棱柱 】 如下图, z 的底面△ ABC—A1B1C1的底面△ABC C1 中,CA=CB=1,∠BCA=90°, , ° 分别是A 棱AA1=2,M,N分别是 1B1, , , 分别是 M A1 A1A的中点 的中点. 的中点 的长; (1)求 ) 的长; N (2)求cos〈 ) BN 〈 〉的值 C CB (3)求证:ABA1,C1 M. )求证: 1B⊥ 1 ⊥ A x

B1

B

y

【典例剖析】 典例剖析】 , 【例4】 如下图,在正方体 】 如下图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E, F分别是 1,CD的中点 分别是BB 的中点. 分别是 的中点 (1)证明 ⊥D1F; )证明AD⊥ ; 所成的角; (2)求AE与D1F所成的角; ) 与 所成的角 (3)证明面 )证明面AED⊥面A1D1F. D 1 ⊥ C
1

A1

B1

E D A F B C

【知识方法总结】 知识方法总结】

立体几何中的平行与垂直的问题, 立体几何中的平行与垂直的问题, 利用向量解决,书写较长, 利用向量解决,书写较长,但思维力 度不大, 度不大,特别是建立一个合适的空 间直角坐标系,利用坐标来计算, 间直角坐标系,利用坐标来计算,更 能体现出优越性

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