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广东省深圳市高级中学2014—2015学年度高二上学期期中考试数学(理) Word版含答案.doc


高级中学 2014-2015 学年第一学期期中测试

高二数学(理科)
命题人:聂玉芬 审题人:孙东波 本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷为 1-8 题,共 40 分,第Ⅱ卷为 9-20 题,共 110 分,满分 150 分.考试用时 l20 分钟.

第Ⅰ卷 (选择题共 40 分)
一.选择题: (本大题共 8 小题;每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有
且只有一项是符合题目要求的) 1.若 a∈R,则“a=2”是“(a-1)(a-2)=0”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 2. 抛物线 y 2 ? 16 x 的焦点为 A.(0,2) B.(4,0) B.必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件 ( C. ) ( )

?

2, 0

?

D. 2 2,0

?

?
)

3.若{a,b,c}为空间的一组基底,则下列各项中,能构成基底的一组向量是( A.a,a+b,a-b B.b,a+b,a-b C.c,a+b,a-b D.a+b,a-b,a+2b 4. 若点 P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9 的弦 MN 的中点, 则弦 MN 所在的直线方程为 A.2x+y-3=0 B.x-2y+1=0 C.x+2y-3=0 D.2x-y-1=0 (

)

5.命题 p:不等式 x( x ? 1) ? 0 的解集为{x|0<x<1},命题 q:“A=B”是“sinA=sinB”成立的 必要非充分条件,则 A.p 真 q 假 B.p 且 q 为真 C.p 或 q 为假 D.p 假 q 真 ( )

6. 若向量 a=(1,λ,1),b=(2,-1,1)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 A.2 B.-2 C.-2 或

26 5

1 ,则 λ 等于 ( 6 26 D.2 或 5

)

2 7. 若点 A 的坐标为 (3, 2), F 是抛物线 y ? 2 x 的焦点,点 M 在抛物线上移动时,使

MF ? MA 取得最小值的 M 的坐标为(
A
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) D
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?0,0?

B

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?1 ? ? ,1? ?2 ?

C

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?1, 2 ?

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?2,2?

8.已知圆 O:x2+y2=r2,点 P(a,b)(ab≠0)是圆 O 内一点,过点 P 的圆 O 的最短弦所在的 直线为 l1,直线 l2 的方程为 ax+by+r2=0,那么( )

A.l1∥l2,且 l2 与圆 O 相离 C.l1∥l2,且 l2 与圆 O 相交

B.l1⊥l2,且 l2 与圆 O 相切 D.l1⊥l2,且 l2 与圆 O 相离

第Ⅱ卷 (非选择题共 110 分)
二.填空题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分)
9.已知下列四个命题: ①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题;②“面积相等的三角形全 等”的否命题;③“若 m≤1,则方程 x2-2x+m=0 有实根”的逆否命题;④“若 A∩B=B,则 A ? B”的逆否命题.其中真命题的是_________(填写对应序号即可). 10.命题“对任何 x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是_________________________. 11. 若直线 y = x - m 与曲线 y = 1-x2 有两个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 ____________. 12. 如图,在多面体 ABCDEF 中,四边形 ABCD 是矩形,AB∥EF,∠ EAB=90° ,AB=4,AD=AE=EF=1,平面 ABFE⊥平面 ABCD.则点 D 到平面 BCF 的距离为_____________ 13.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,若在双曲线的右支上 a2 b2


存在一点 P ,使得 PF 1 ? 3 PF 2 ,则双曲线的离心率 e 的取值范围为 ______

14. 已 知 P 是 椭 圆

x2 y2 ? ? 1 上 的 点 , F1 、 F2 分 别 是 椭 圆 的 左 、 右 焦 点 , 若 25 9

PF1 ? PF2 | PF1 | ? | PF2 |

?

1 ,则△ F1 PF2 的面积为____________. 2

三.解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
?x2-x-6≤0, ? 15.设 p:实数 x 满足 x2-4ax+3a2<0,其中 a>0,q:实数 x 满足? 2 若p是q ?x +2x-8>0. ?

的必要不充分条件,求实数 a 的取值范围.

16.如图,正方形 AMDE 的边长为 2,B、C 分别为 AM、MD 的中点.在五棱锥 P-ABCDE 中,F 为棱 PE 的中点,平面 ABF 与棱 PD、PC 分别交于点 G、H. (1)求证:AB∥FG; (2)若 PA⊥底面 ABCDE,且 PA=AE,求直线 BC 与平面 ABF 所 成角的大小.
F G H E C A B M D P

17.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y=x2-6x+1 与坐标轴的交点都在圆 M 上. (1)求圆 M 的方程; (2)若圆 M 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值.

18.已知动点 P 与平面上两定点 A(? 2,0), B( 2,0) 连线的斜率的积为定值 ? (1)试求动点 P 的轨迹方程 C. (2)设直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 C 交于 M、N 两点,当|MN|=

1 . 2

4 2 时,求直线 l 的方程. 3

19.如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,H 是正方形 AA1B1B 的中心,AA1=2 2,C1H⊥平面 AA1B1B,且 C1H= 5.

(1)求异面直线 AC 与 A1B1 所成角的余弦值; (2)求二面角 A-A1C1-B1 的正弦值;

20.已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F(0, 2),且长轴长与短轴长的比 是 2:1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 上在第一象限的一点 P 的横坐标为 1,过点 P 作倾斜角互补的 两条不同的直线 PA,PB 分别交椭圆 C 于另外两点 A,B,求证:直线 AB 的斜 率为定值; (3)在(2)的条件下,求△PAB 面积的最大值.

高级中学 2014-2015 学年第一学期期中考试

高二数学(理科)答题卷

一、选择题(每题 5 分,8 题共 40 分)

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

二、填空题(每题 5 分,6 题共 30 分) 9. 11. 13. 10. 12. 14.

三、解答题:(本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤) 15. (本小题满分 12 分)

16. (本小题满分 12 分)

P

F

G H E C D

A

B

M

17. (本小题满分 14 分)

18. (本小题满分 14 分)

19. (本小题满分 14 分)

20.(本小题满分 14 分)

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高二数学(理科)答题卷

16 .(本小题满分 12 分) (1)在正方形 AMDE 中,因为 B 是 AM 的中点,所以 AB∥DE.又因为 AB?平面 PDE, 所以 AB∥平面 PDE. 因为 AB?平面 ABF,且平面 ABF∩平面 PDE=FG, 所以 AB∥FG………………………5 分 (2)因为 PA⊥底面 ABCDE,所以 PA⊥AB,PA⊥AE. 如图建立空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),B(1,0,0), → C(2,1,0),P(0,0,2),F(0,1,1),BC=(1,1,0)…………7 分 设平面 ABF 的法向量为 n=(x,y,z),则 → ? ? AB=0, ?n· ?x=0, ? 即? ?y+z=0. → ? ?n· AF=0, ?
F y G H E C A B M x D P z

令 z=1,则 y=-1,所以 n=(0,-1,1).……………………….9 分 设直线 BC 与平面 ABF 所成角为 α,则 → n· BC 1 → sinα=|cos〈n,BC〉|=| |= …………………………………11 分 2 → |n||BC|

π 因此直线 BC 与平面 ABF 所成角的大小为 . ……………………..12 分 6 17. (本小题满分 14 分) 解:(1)曲线 y=x2-6x+1 与 y 轴的交点为(0,1),与 x 轴的交点为(3+2 2,0),(3-2 2,0) 故可设 M 的圆心为(3,t),则有 32+(t-1)2=(2 2)2+t2,解得 t=1.∴圆 M 的半径为 32+?t-1?2=3. ∴圆 M 的方程为(x-3)2+(y-1)2=9…………………………………..6 分 (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),其坐标满足方程组: ? ?x-y+a=0,
? 2 2 ??x-3? +?y-1? =9. ?

消去 y,得到方程 2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0. 由已知可得,判别式 Δ=56-16a-4a2>0. a2-2a+1 因此 x1+x2=4-a,x1x2= . ① 2 由于 OA⊥OB,可得 x1x2+y1y2=0. 又 y1=x1+a,y2=x2+a,∴2x1x2+a(x2+x2)+a2=0. ② 由①②,得 a=-1,满足 Δ>0,故 a=-1……………………………………14 分 18. (本小题满分 14 分) (1)解:设点 P( x, y ) ,则依题意有

y y 1 ? ? ? ,…………………3 分 2 x? 2 x? 2

x2 ? y 2 ? 1. 由 于 x ? ? 2 , 所 以 求 得 的 曲 线 C 的 方 程 为 整 理 得 2 x2 ? y 2 ? 1( x ? ? 2). ………………………………………6 分 2
? x2 ? y 2 ? 1, (Ⅱ)由 ? 消去y得 : (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kx ? 0. ?2 ? y ? kx ? 1. ?

? 4k ( x1 , x 2 分别为 M,N 的横坐标).………………………10 分 1 ? 2k 2 4k 4 2 2 |? 2, 由 | MN |? 1 ? k | x1 ? x 2 |? 1 ? k | 2 3 1 ? 2k
解得 x1=0, x2=

解得 : k ? ?1. ……………………………………………………………………12 分
所以直线 l 的方程 x-y+1=0 或 x+y-1=0.………………………………………14 分 19. (本小题满分 14 分) 如图所示 ,建立空间直角坐标系,点 B 为坐标原点.依题 意得 A(2 2,0,0),B(0,0,0),C( 2,- 2, 5),A1(2 2,2 2, 0),B1(0,2 2,0),C1( 2, 2, 5).

→ → AC· A1B1 → → → → (1)易得AC=(- 2, - 2, 5), A1B1=(-2 2, 0,0), 于是 cos 〈AC, A1B1〉 = → → |AC|· |A1B1| = 4 2 = 3 . 3×2 2 所 以 异 面 直 线 AC 与 A1B1 所 成 角 的 余 弦 值 为

2 3.

………………………………………6 分 → → (2)易知AA1=(0,2 2,0),A1C1=(- 2,- 2, 5). 设平面 AA1C1 的法向量 m=(x,y,z),则 → ? A1C1=0, ?m· ?- 2x- 2y+ 5z=0, ? 即? → ?2 2y=0. ? ?m、AA1=0. 不妨令 x= 5,可得 m=( 5,0, 2). 同样的,设平面 A1B1C1 的法向量 n=(x,y,z),则 → ? A1C1=0, ?n· ?- 2x- 2y+ 5z=0, ? 即? → ?-2 2x=0. ? A1B1=0. ?n· 不妨令 y= 5,可得 n=(0, 5, 2).………………………………………10 分 m· n 2 2 于是 cos〈m,n〉= = = , |m|· |n| 7· 7 7 3 5 从而 sin〈m,n〉= . 7 3 5 所以二面角 A-A1C1-B1 的正弦值为 7 .………………………………………14 分

20. (本小题满分 14 分) 解

y2 x2 (1)设椭圆 C 的方程为a2+b2=1(a>b>0).
2 2 2

?a =b +c , 由题意,得?a:b= 2:1, ?c= 2,
解得 a2=4,b2=2. y2 x2 所以椭圆 C 的方程为 4 + 2 =1. ………………………………………4 分

(2)由题意知,两直线 PA,PB 的斜率必存在,设 PB 的斜率为 k.又由(1)知, P(1, 2), 则直线 PB 的方程为 y- 2=k(x-1). - 2=k (x- ?y2 由?y x2 ? 4 + 2 =1, ),

得(2+k2)x2+2k( 2-k)x+( 2-k)2-4=0. ……6 分

设 A(xA,yA),B(xB,yB),则 k2-2 2k-2 xB=1· xB= , 2+k2 k2+2 2k-2 同理可得 xA= . 2+k2 4 2k 8k 则 xA-xB= . 2,yA-yB=-k(xA-1)-k(xB-1)= 2+k 2+k2
yA-yB 所以 kAB= = 2为定值.………………………………………9 分 xA-xB

(3)由(2),设直线 AB 的方程为 y= 2x+m. ?y= 2x+m, ? 由?y2 x2 + =1, ? ?4 2 得 4x2+2 2mx+m2-4=0.

由 Δ=(2 2m)2-16(m2-4)>0,得 m2<8. m2-4 2m 此时 xA+xB=- 2 ,xA· xB= 4 . |m| 点 P 到直线 AB 的距离 d= , 3 2 2 |AB|= (xA-xB) +(yA-yB) 3 = - m2+12. 2 24-3m2 1 1 1 |m| ∴S△PAB=2d· |AB|=2 · =2 2 3

m2(8-m)2 2

当且仅当 m2=8-m2 即 m2=4 时,Smax= 2.…………………………………14 分


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