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【考前三个月】2015高考数学(江苏专用文科)压轴大题突破练 导数的应用


中档大题规范练——导数的应用
1.已知函数 f(x)=x3-2x+1,g(x)=ln x. (1)求 F(x)=f(x)-g(x)的单调区间和极值; (2)是否存在实常数 k 和 m,使得 x>0 时,f(x)≥kx+m 且 g(x)≤kx+m?若存在,求出 k 和 m 的 值;若不存在,请说明理由. 解 (1)由 F(x)=x3-2x+1-ln x(x>0), 3x3-2x-1 得 F′(x)= (x>0), x 令 F′(x)=0 得 x=1,易知 F(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,从而 F(x)的极小 值为 F(1)=0. (2)易知 f(x)与 g(x)有一个公共点(1,0), 而函数 g(x)在点(1,0)处的切线方程为 y=x-1, 下面只需 ? ?f?x?≥x-1 验证? 都成立即可. ?g?x?≤x-1 ? 设 h(x)=x3-2x+1-(x-1)(x>0), 则 h′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)(x>0). 易知 h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以 h(x)的最小值为 h(1)=0, 所以 f(x)≥x-1 恒成立. 1-x 设 k(x)=ln x-(x-1),则 k′(x)= (x>0). x 易知 k(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 所以 k(x)的最大值为 k(1)=0, 所以 g(x)≤x-1 恒成立. 故存在这样的实常数 k=1 和 m=-1,使得 x>0 时,f(x)≥kx+m 且 g(x)≤kx+m. 2.设函数 f(x)=ax3+bx2+cx 在区间[0,1]上单调递增,在区间(-∞,0),(1,+∞)上单调递 1 3 减,又 f′( )= . 2 2 (1)求 f(x)的解析式; (2)若在区间[0,m](m>0)上恒有 f(x)≤x 成立,求 m 的取值范围. 解 (1)f′(x)=3ax2+2bx+c, 由已知 f′(0)=f′(1)=0,
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? ? ?b=-2a, ?c=0, ? 即 解得? ?3a+2b+c=0, ? ? ?c=0.
所以 f′(x)=3ax2-3ax, 1 3a 3a 3 所以 f′( )= - = , 2 4 2 2 所以 a=-2,b=3, 所以 f(x)=-2x3+3x2. (2)令 f(x)≤x,即-2x3+3x2-x≤0, 所以 x(2x-1)(x-1)≥0, 1 所以 0≤x≤ 或 x≥1. 2 又 f(x)≤x 在区间[0,m]上恒成立, 1 所以 0<m≤ . 2 3.已知函数 f(x)=ax3+x2+bx(其中常数 a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数. (1)求 f(x)的表达式; (2)讨论 g(x)的单调性,并求 g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值. 解 (1)由题意得 f′(x)=3ax2+2x+b, 因此 g(x)=f(x)+f′(x)=ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b. 因为函数 g(x)是奇函数,所以 g(-x)=-g(x), 即对任意实数 x, 有 a(-x)3+(3a+1)(-x)2+(b+2)(-x)+b=-[ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b], 1 从而 3a+1=0,b=0,解得 a=- ,b=0, 3 1 3 2 因此 f(x)的表达式为 f(x)=- x +x . 3 1 (2)由(1)知 g(x)=- x3+2x, 3 所以 g′(x)=-x2+2. 令 g′(x)=0,解得 x1=- 2,x2= 2, 则当 x<- 2或 x> 2时,g′(x)<0, 从而 g(x)在区间(-∞,- 2 ),( 2,+∞)上是减函数; 当- 2<x< 2时,g′(x)>0, 从而 g(x)在区间(- 2, 2)上是增函数. 由上述讨论知,g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值只能在 x=1, 2,2 时取得,
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5 4 2 4 而 g(1)= ,g( 2)= ,g(2)= , 3 3 3 4 2 因此 g(x)在区间[1,2]上的最大值为 g( 2)= , 3 4 最小值为 g(2)= . 3 4.甲方是一农场,乙方是一工厂.由于乙方生产需占用甲方的资源,因此甲方有权向乙方索 赔以弥补经济损失并获得一定净收入,在乙方不赔付甲方的情况下,乙方的年利润 x(元)与年 产量 t(吨)满足函数关系 x=2 000 t.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方 S 元(以下称 S 为赔付 价格). (1)将乙方的年利润 ω(元)表示为年产量 t(吨)的函数,并求出乙方获得最大利润的年产量; (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额 y=0.002t2(元),在乙方按照获得最大利润的产量 进行生产的前提下,甲方要在索赔中获得最大净收入,应向乙方要求的赔付价格 S 是多少? 解 (1)因为赔付价格为 S 元/吨, 所以乙方的实际年利润为 ω=2 000 t-St. 1 000-S t 1 000 ω′= -S= , t t 1 000 2 令 ω′=0,得 t=t0=( ). S 当 t<t0 时,ω′>0;当 t>t0 时,ω′<0, 所以 t=t0 时,ω 取得最大值. 1 000 2 因此乙方获得最大利润的年产量 t0=( ) (吨). S (2)设甲方净收入为 v 元,则 v=St-0.002t2 1 000 2 1 0002 将 t=( ) 代入上式,得到甲方净收入 v 与赔付价格 S 之间的函数关系式:v= - S S 2×1 0003 . S4 3 1 0002 8×1 000 又 v′=- 2 + 5 S S 2 3 1 000 ×?8 000-S ? = , S5 令 v′=0,得 S=20. 当 S<20 时,v′>0;当 S>20 时,v′<0, 所以 S=20 时,v 取得最大值. 因此甲方向乙方要求的赔付价格 S=20(元/吨)时,获得最大净收入. 2a 5.已知函数 f(x)=ln x+ ,a∈R. x (1)若函数 f(x)在[2,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围;
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(2)若函数 f(x)在[1,e]上的最小值为 3,求实数 a 的值. 2a 1 2a 解 (1)∵f(x)=ln x+ ,∴f′(x)= - 2 . x x x ∵f(x)在[2,+∞)上是增函数, 1 2a ∴f′(x)= - 2 ≥0 在[2,+∞)上恒成立, x x x 即 a≤ 在[2,+∞)上恒成立. 2 x 令 g(x)= ,则 a≤g(x)min,x∈[2,+∞), 2 x ∵g(x)= 在[2,+∞)上是增函数, 2 ∴g(x)min=g(2)=1. ∴a≤1.∴实数 a 的取值范围为(-∞,1]. x-2a (2)由(1)得 f′(x)= 2 ,x∈[1,e]. x ①若 2a<1,则 x-2a>0,即 f′(x)>0 在[1,e]上恒成立, 此时 f(x)在[1,e]上是增函数. 3 ∴f(x)min=f(1)=2a=3,解得 a= (舍去). 2 ②若 1≤2a≤e,令 f′(x)=0,得 x=2a. 当 1<x<2a 时,f′(x)<0, ∴f(x)在(1,2a)上是减函数,当 2a<x<e 时,f′(x)>0, ∴f(x)在(2a,e)上是增函数. ∴f(x)min=f(2a)=ln(2a)+1=3, e2 解得 a= (舍去). 2 ③若 2a>e,则 x-2a<0,即 f′(x)<0 在[1,e]上恒成立,此时 f(x)在[1,e]上是减函数. 2a ∴f(x)min=f(e)=1+ =3,得 a=e.适合题意. e 综上 a=e. 1 6.已知函数 f(x)=aln x+ ax2+bx(a≠0). 2 3 (1)若函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程为 y=3x- b,求 a、b 的值; 2 (2)若 a=2 时,函数 f(x)是增函数,求实数 b 的取值范围; (3)设函数 g(x)=ln x 的图象 C1 与函数 h(x)=f(x)-ag(x)的图象 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ 的 中点 R 作 x 轴的垂线分别交 C1、C2 于点 M、N,问是否存在点 R,使 C1 在 M 处的切线与 C2 在 N 处的切线平行?若存在,求出 R 的横坐标;若不存在,请说明理由. 1 解 (1)函数 f(x)=aln x+ ax2+bx 的定义域为(0,+∞), 2
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ax2+bx+a a f′(x)= +ax+b= , x x 1 当 x=1 时,f′(1)=2a+b=3,f(1)= a+b, 2 1 所以函数 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程为 y-( a+b)=3(x-1), 2 1 即 y=3x+( a+b-3), 2 1 3 所以 a+b-3=- b, 2 2 2a+b=3, ? ? 解方程组?1 得 a=b=1. 3 a+b-3=- b, ? 2 ?2 2 (2)由(1)知,f′(x)= +2x+b,则 f′(x)≥0 在(0,+∞)上恒成立, x 2 即 b≥- -2x 在(0,+∞)上恒成立, x 2 2 因为 +2x≥2 · 2x=4(当且仅当 x=1 时等号成立), x x 2 所以- -2x≤-4,所以 b≥-4, x 故实数 b 的取值范围为[-4,+∞). (3)设点 P、Q 的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), x1+x2 且 0<x1<x2,则点 M、N 的横坐标均为 x= . 2 x1+x2 1 2 C1 在点 M 处的切线斜率为 k1= |x= = . x 2 x1+x2 x1+x2 a?x1+x2? C2 在点 N 处的切线斜率为 k2=(ax+b)|x= = +b. 2 2 假设 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线平行, a?x1+x2? 2 则 k1=k2,则 = +b, 2 x1+x2 2 2?x2-x1? a?x2 2-x1? 即 = +b(x2-x1) 2 x1+x2 a a =( x2 +bx2)-( x2 +bx1) 2 2 2 1 x2 =y2-y1=ln x2-ln x1=ln , x1 x2 2? -1? x1 x2 2?x2-x1? 所以 ln = = , x1 x2 x1+x2 1+ x1 x2 令 u= >1, x1 2?u-1? 则 ln u= ,u>1,① 1+u 2?u-1? 令 r(u)=ln u- ,u>1, 1+u ?u-1?2 1 4 则 r′(u)= - . 2= u ?1+u? u?u+1?2
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因为 u>1,所以 r′(u)>0,所以 r(u)在(1,+∞)上单调递增, 2?u-1? 故 r(u)>r(1)=0,则 ln u> ,这与①矛盾,故假设不成立. 1+u 即不存在满足题意的点 R.

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