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专题圆的方程


戴氏中考·高考

戴氏教育集团 高中数学专用讲义

开阳校区 主讲:胡老师

专题二圆的方程
1 知识填空
1、知识精讲.①圆的方程 (1)标准式:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中 r 为圆的半径,(a,b)为圆心。 (2)一般式:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F

>0),其中圆心为(-

1 D E ,- ),半径为 2 2 2

D 2 ? E 2 ? 4F

(3)直径式:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0,其中点(x1,y1),(x2,y2)是圆的一条直径的两个端(用向量法证之) (4)半圆方程: y ?

r 2 ? ?x ? a ? ? b, y ? ? c ? bx ? x 2 ? d 等
2

(5)圆系方程: i)过圆 C:x2+y2+Dx+Ey+F=0 和直线 l:Ax+By+C=0 的交点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ (Ax+By+C)=0 ii)过两圆 C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0 的交点的圆的方程为 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ (x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ ≠-1)该方程不包括圆 C2; ( ? ? ?1 时为一条直线方程,相交两圆时为公共弦方程;两等圆时则为两圆的对称轴方程) (6)圆的一般方程与二元二次方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 的关系; 二元二次方程表示圆的充要条件 A=C≠0,B=0 ,D2+E2-4AF>0。 二、基础知识疏理:点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

?圆上 ? ?x0 ? a ?2 ? ? y 0 ? b ?2 ? r 2 ? 2 2 2 1、 若圆(x-a)2+(y-b) 2=r2,那么点(x0,y0)在 ?圆内 ? ? x0 ? a ? ? ? y 0 ? b ? ? r ?圆外 ? ?x ? a ?2 ? ? y ? b ?2 ? r 2 0 0 ?
2、直线与圆的位置关系 直线与圆有三种位置关系:相离、相切和相交。有两种判断方法:

?? ? 0 ? 相交 ?d ? r ? 相交 ? ? (1) 代数法(判别式法) ? ? ? 0 ? 相切 (2)几何法,圆心到直线的距离 ?d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ? 相离 ?d ? r ? 相离 ? ?
一般宜用几何法。 3、弦长与切线方程,切线长的求法

?l? (1)弦长求法一般采用几何法:弦心距 d,圆半径 r,弦长 l,则 d ? ? ? ? r 2 ? 2?
2

2

(2) 圆的切线方程: 0,y0)为切点的圆的切线方程, (x 分别以 x0 x , y0 y ,

x0 ? x y 0 ? y 2 , 改写圆方程中的 x , 2 2

y2 , x , y
(3)切线长:过圆外一点 P( x0 , y0 ) 引圆:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 或(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的切线

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则切线长: d ?

2 2 x0 ? y 0 ? Dx0 ? Ey0 ? F ?

?x0 ? a ?2 ? ? y0 ? b?2 ? r 2

4、圆与圆的位置关系:

O1O2 ? r1 ? r2 ? 相离 r1 ? r2 ? O1O2 ? r1 ? r2 ? 相交 O1O2 ? r1 ? r2 ? 内含
5、圆系方程

O1O2 ? r1 ? r2 ? 外切 O1O2 ? r1 ? r2 ? 内切

(1)以(a,b)为圆心的圆系方程: ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ?r ? 0? 。
2 2

(2)过两圆 C1 : x ? y ? D1 x ? E1 y ? F1 ? 0 和 C2 : x ? y ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 的交点的圆系方程:
2 2 2 2

x 2 ? y 2 ? D1 x ? E1 y ? F1 ? ? x 2 ? y 2 ? D2 x ? E2 y ? F2 ? 0 但不含 C2

?

?

? ? ?1 时, l : ?D1 ? D2 ?x ? ?E1 ? E2 ?y ? ?F1 ? F2 ? ? 0 为两圆公共弦所在直线方程,其中当两圆相切时,
L 为过两圆公共切点所在直线的方程。

2 重点点拨
例 1、根据下列条件,求圆的方程。(1)和圆 x2+y2=4 相外切于点 P(-1, 3 ),且半径为 4; (2)经过坐标原点和点 P(1,1),并且圆心在直线 2x+3y+1=0 上;(3)已知一圆过 P(4,-2)、Q(-1,3)两点, 且在 y 轴上截得的线段长为 4 3 ,求圆的方程。 解:(1)设圆心 Q 的坐标为(a,b) ∴O、P、Q 共线,且λ = ∵⊙O 与⊙Q 相外切于 P 由定比分点公式求得 a=-3,b=3 3

OQ 6 3 =- =QP 4 2

∴所求圆的方程为(x+3)2+(y-3 3 )2=16 (2)显然,所求圆的圆心在 OP 的垂直平分线上,OP 的垂直平分线方程为:

x 2 ? y 2 = ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2
解方程组

即 x+y-1=0

x+y-1=0 2x+3y+1=0 得圆心 C 的坐标为(4,-3)。又圆的半径 r=|OC|=5 2 ∴所求圆的方程为(x-4) +(y+3)2=25 (3)设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ① 将 P、Q 点的坐标分别代入①,得: 4D-2E+F=-20 ② D-3E-F=10 ③ 令 x=0,由①得 y2+Ey+F=0 ④

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由已知|y1-y2|=4 3 ,其中 y1、y2 是方程④的两根。 ∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=E2-4F=48 ②、③、⑤组成的方程组,得 D=-2 E=0 或 D= -10 E= -8 ⑤

F= -12 F=4 2 故所求圆的方程为 x +y2-2x-12=0 或 x2+y2-10x-8y+4=0 例 2、 设 A(?c,0), B(c,0)(c ? 0) 为两定点,动点 P 到 A 点的距离与到 B 点的距离的比为定值 a(a ? 0) , 求 P 点的轨迹。 解:设动点 P 的坐标为(x,y).
2 2 由 | PA | ? a(a ? 0),得 ( x ? c) ? y ? a . | PB | ( x ? c) 2 ? y 2

化简得 (1 ? a 2 ) x 2 ? 2c(1 ? a 2 ) x ? c 2 (1 ? a 2 ) ? (1 ? a 2 ) y 2 ? 0.

2c(1 ? a 2 ) 1? a2 2 2ac x ? c 2 ? y 2 ? 0 ,整理得 ( x ? 2 c) ? y 2 ? ( 2 ) 2 . 2 1? a a ?1 a ?1 当 a=1 时,化简得 x=0.
当 a ? 1时, 得x 2 ? 所以当 a ? 1 时,P 点的轨迹是以 ( 当 a=1 时,P 点的轨迹为 y 轴。 例 3、 一圆与 y 轴相切, 圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上, 且直线 y ? x 截圆所得的弦长为 2 7 , 求此圆的方程。 解:因圆与 y 轴相切,且圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,故设圆方程为 ( x ? 3b) ? ( y ? b) ? 9b ,由于直线
2 2 2

a2 ?1 2ac | 为半径的圆; c,0) 为圆心, | 2 2 a ?1 a ?1

y ? x 截圆所得的弦长为 2 7 ,则有 (

3b ? b 2

) 2 ? ( 7 ) 2 ? 9b 2 解得 b ? ?1 ,故所求圆方程为

( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9 或 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 9
例 4、已知⊙O 的半径为 3,直线 l 与⊙O 相切,一动圆与 l 相切,并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径, 求动圆圆心的轨迹方程。 y 解:取过 O 点且与 l 平行的直线为 x 轴,过 O 点且垂直于 l 的直线为 y 轴,建立直角坐标系。 ⊙O 与⊙M 的公共弦为 AB,⊙M 与 l 切于点 C,则 MA ? MC ⊙O 的直径,

? MO 垂直
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A M O B C x

平分 AB 于 O。

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2 2

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由勾股定理得 MA

2

? MO ? AO ? x 2 ? y 2 ? 9
2

? x 2 ? y 2 ? 9 ? y ? 3 即: y 2 ? 6 x 这就是动圆圆心的轨迹方程
例 5、 已知圆 x2+y2+x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 相交于 P,Q 两点,O 为原点,且 OP?OQ,求该圆的圆心 坐标及半径。 y1 y2 解法一:设 P(x1,y1), Q(x2,y2),由 OP?OQ, 得: kOP ? kOQ= -1 即 = -1 即 x1x2+y1y2=0 ① x1 x2
? x+2y-3=0 另一方面(x1,y1),(x2,y2)是方程组? x2+y2+x-6y+m=0 的实数解, ?

即 x1,x2 是 5x2+10x+4m-27=0

4m-27 ② 的两个实数根,∴x1+x2=-2,x1x2= 5 1 1 (3-x1)(3-x2)= [9-3(x1+x2)+x1x2] 4 4



又 P,Q 在直线 x+2y-3=0 上,∴y1y2= 将③代入得 y1y2= m+12 5 ④

将③④代入①知:m=3. ∴m=3 圆心坐标为 (?

代入方程②检验?>0成立.

1 5 ,3) ,半径为 r ? 2 2
整理得:(12+m)x2+4(m-3)x

解法二:将 3=x+2y 代入圆的方程知:x2+y2+ y+(4m-27)y2=0 由于 x≠0 可得(4m-27)( 知:

1 m (x+2y)(x-6y)+ (x+2y)2=0, 3 9

y 2 y ) +4(m-3) +12+m=0, OP, kOQ 是上方程的两根, 由 kOPkOQ= -1 ∴k x x

m+12 =-1, 解得:m=3. 检验知 m=3 满足. ?>0 4m-27

∴ 圆心坐标为 (?

1 5 ,3) ,半径为 r ? 2 2

备用题: 例 7、设定点 M(-3,4),动点 N 在圆 x2+y2=4 上运动,以 OM、ON 为两边作平行四边形 MONP,求点 P 的轨迹。 解:本题关键是找出动点 P 与定点 M 及已知动点 N 之间的联系,用平行四边形对角线互相平分这一定理 即可。 设 P(x, N(x0, 0), y), y 则线段 OP 的中点坐标为(

x y x ? 3 y0 ? 4 , ), 线段 MN 的中点坐标为( 0 , )。 2 2 2 2

因为平行四边形对角线互相平分,故

x x0 ? 3 y y 0 ? 4 = , = 2 2 2 2

从而 ?

? x0 ? x ? 3 ? y0 ? y ? 4

又 N(x+3,y-4)在圆上,故(x+3)2+(y-4)2=4

因此所求轨迹为圆:(x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点:(-

9 12 21 28 , )和(, ) 5 5 5 5

例 6、已知圆的方程是:x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0,其中 a≠1,且 a∈R。 (1)求证:a 取不为 1 的实数时,上述圆恒过定点; (2)求与圆相切的直线方程; 第 4 页 共 8 页 心有多大,舞台就有多大。

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(3)求圆心的轨迹方程。 解:将方程 x2+y2-2ax+2(a-2)y+2=0 整理得 x2+y2-4y+2-a(2x-2y)=0

? x2 ? y 2 ? 4 y ? 2 ? 0 ? 令 ?x ? y ? 0

解之得 ?

?x ? 1 ∴定点为(1,1) ?y ?1

(2)易得已知圆的圆心坐标为(a,2-a),半径为 2 |a-1|。设所求切线方程为 y=kx+b,即 kx-y+b=0 则圆心到直线的距离应等于圆的半径,即

| ka ? (a ? 2) ? b | k 2 ?1

= 2 |a-1|恒成立。

整理得 2(1+k)2a2-4(1+k2)a+2(1+k2)=(k+1)2a2+2(b-2)(k+1)a+(b-2)2 恒成立。比较系数可得 2(1+k2)=(k+1)2 -4(1+k2)=2(b-2)(k+1) 2(1+k2)=(b-2)2

解之得 k=1,b=0。所以,所求的切线方程是 y=x。

(3)圆心坐标为(a,a-2),又设圆心坐标为(x,y),则有 ? 方程。

?x ? a 消去参数得 x+y=2 为所求的圆心的轨迹 ?y ? 2? a

3 当堂检测
一、选择题
2 2 1.圆 ( x ? 2) ? y ? 5 关于原点 P(0, 0) 对称的圆的方程为 (

)

A. ( x ? 2) ? y ? 5
2 2 2 2

B. x ? ( y ? 2) ? 5
2 2

C. ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 5

D. x ? ( y ? 2) ? 5
2 2

2 2 2.若 P(2, ? 1) 为圆 ( x ? 1) ? y ? 25的弦 AB 的中点,则直线 AB 的方程是(



A. x ? y ? 3 ? 0 B. 2 x ? y ? 3 ? 0
2 2

C. x ? y ? 1 ? 0

D. 2 x ? y ? 5 ? 0 )

3.圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 2 的距离最大值是( C. 1 ?

A. 2

B. 1 ? 2

2 2

D. 1? 2 2

2 2 4.将直线 2 x ? y ? ? ? 0 ,沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 相切,则实数 ?

的值为( A. ?3或7

) B. ?2或8

C. 0或10

D. 1或11 )

5.在坐标平面内,与点 A(1, 2) 距离为 1 ,且与点 B(3,1) 距离为 2 的直线共有( A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 第 5 页 共 8 页 心有多大,舞台就有多大。

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6.圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为( A. x ? 3 y ? 2 ? 0 B. x ? 3 y ? 4 ? 0

) D. x ? 3 y ? 2 ? 0

C. x ? 3 y ? 4 ? 0

二、填空题
1 . 若 经 过 点 P(?1, 0) 的 直 线 与 圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 3 ? 0 相 切 , 则 此 直 线 在 y 轴 上 的 截 距 是 __________________. 2.由动点 P 向圆 x 2 ? y 2 ? 1引两条切线 PA, PB ,切点分别为 A, B, ?APB ? 600 ,则动点 P 的轨迹方程 为 。

3 . 圆 心 在 直 线 2 x ? y ? 7? 0上 的 圆 C 与 y 轴 交 于 两 点 A( 0 ? 4B , ? 0 ,, 则 圆 C 的 方 程 , ) ( 2) 为
2

.

4.已知圆 ?x ? 3? ? y 2 ? 4 和过原点的直线 y ? kx 的交点为 P, Q 则 OP ? OQ 的值为________________。 5. 已知 P 是直线 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点,PA, PB 是圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的切线,A, B 是切点,
2 2

C 是圆心,那么四边形 PACB 面积的最小值是________________。
三、解答题 1.点 P ? a, b? 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上,求 a 2 ? b 2 ? 2a ? 2b ? 2 的最小值。

2.求以 A(?1, 2), B(5, ?6) 为直径两端点的圆的方程。

3.求过点 A ?1, 2 ? 和 B ?1,10? 且与直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的圆的方程。

4.已知圆 C 和 y 轴相切,圆心在直线 x ? 3 y ? 0 上,且被直线 y ? x 截得的弦长为 2 7 程。

,求圆 C 的方

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4.能力测试题:
一、选择题
1.若直线 x ? y ? 2 被圆 ( x ? a) 2 ? y 2 ? 4 所截得的弦长为 2 2 ,则实数 a 的值为( A. ?1 或 3 B. 1 或 3 C. ?2 或 6 D. 0 或 4 ) )

2. 直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与圆 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 9 交于 E , F 两点, ? EOF( O 是原点) 则 的面积为 (

A.

3 2

B.

3 4

C. 2 5
2 2

D.

6 5 5
)

( 0) 3.直线 l 过点 ? 2, , l 与圆 x ? y ? 2 x 有两个交点时,斜率 k 的取值范围是(

( 2 A. ? 2 2, 2)

( B. ? 2,2)

C. ? (

1 1 2 2 ( , ) D. ? , ) 8 8 4 4


4. 已知圆 C 的半径为 2 , 圆心在 x 轴的正半轴上, 直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 与圆 C 相切, 则圆 C 的方程为 ( A. x ? y ? 2x ? 3 ? 0
2 2

B. x ? y ? 4 x ? 0
2 2

C. x 2 ? y 2 ? 2x ? 3 ? 0

D. x 2 ? y 2 ? 4x ? 0
2 2

5.若过定点 M (?1 , 0) 且斜率为 k 的直线与圆 x ? 4x ? y ? 5 ? 0 在第一象限内的部分有交点,则 k 的 取值范围是( A. 0 ? k ? )

5

B. ? 5 ? k ? 0
2 2

C. 0 ? k ? 13

D. 0 ? k ? 5 ) D. ? 3

6.设直线 l 过点 (?2,0) ,且与圆 x ? y ? 1相切,则 l 的斜率是( A. ? 1 B. ?

1 2

C. ?

3 3

二、填空题
1.直线 x ? 2 y ? 0 被曲线 x ? y ? 6 x ? 2 y ? 15 ? 0 所截得的弦长等于
2 2

2.圆 C : x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 的外有一点 P( x0 , y0 ) ,由点 P 向圆引切线的长______
2 2

2. 对于任意实数 k ,直线 (3k ? 2) x ? ky ? 2 ? 0 与圆 x ? y ? 2x ? 2 y ? 2 ? 0 的位置关系是_________
2 2

4.动圆 x ? y ? (4m ? 2) x ? 2my ? 4m ? 4m ? 1 ? 0 的圆心的轨迹方程是
2 2 2

.

5. P 为圆 x ? y ? 1 上的动点,则点 P 到直线 3x ? 4 y ? 10 ? 0 的距离的最小值为_______.
2 2

三、解答题
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1.求过点 A(2, 4) 向圆 x 2 ? y 2 ? 4 所引的切线方程。

2.求直线 2 x ? y ? 1 ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 所截得的弦长。

3.已知实数 x, y 满足 x 2 ? y 2 ? 1 ,求

y?2 的取值范围。 x ?1

4.已知两圆 x ? y ? 10x ? 10y ? 0, x ? y ? 6x ? 2 y ? 40 ? 0 ,
2 2 2 2

求(1)它们的公共弦所在直线的方程;(2)公共弦长。

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