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1.4.2正弦函数、余弦函数的性质3(定义域、值域及对称性)


1.4.2
正弦函数、余弦函数的性质
第三课时

教学目标:
1.熟练正、余弦函数的性质; 2.会求函数的定义域,值域; 3.理解三角函数的对称性,会求对称轴和对称 中心。

重、难点:
正弦,余弦函数的性质及应用。

一正、余弦函数的定义域、值域
例1.求下列函数的定义域 ( )y ? 1 ? 2 sin x (2)y ? lg cos x

练习:求下列函数的定义域 y ? cos 2 x

例2.求下列函数的值域 ( )y ? 2 ? sin x ( x ? R ) 1 ( 2) y ? 3 ? 2 sin x ( x ? [ ?

? 3?
4 , 4

])

画出y ? sin x的图像 (2)解:
?

?
2

?

.
4

?

y 1
0
?

1

?
2 2

-1

2

3? 4

.

?

3? 2

2? x

2 由图像知: ? ? y ?1 2 y ? 3 ? 2 sin x的值域为: 3 ? 2 ? y ? 5
1

练习:求下列函数的值域 y ? 2 cos x ? 1 x ? [ ? , ] 4 4

? 3?

二、正弦、余弦函数的对称性
正弦函数的对称性 与x轴交点
5? 2

过最高(低)点
y
1

-3?

?

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

对称中心(k? ,0)
余弦函数的对称性
1 -3?
? 5? 2

对称轴:x ? k? ?
y

?
2

-2?

?

3? 2

-?

?

?
2

o
-1

?
2

?

3? 2

2?

5? 2

x
3?
7? 2

4?

对称中心(k? ?

?
2

,0)

对称轴:x ? k?

? 例3.函数 y ? sin(2 x ? ) 图像的对称轴方程可能是( D ) 3 ? ? ? ? A. x ? ? D. x ? C. x ? B. x ? ? 12 6 6 12

归纳:三角函数中心对称与轴对称问题:
若x ? ?使y ? A sin??x ? ? ?函数值为0, 则称??, ? 0 是其对称中心

若x ? ?使y ? A sin(?x ? ? )取得最大或最小值, 则 x ? ?是该函数的对称轴

?? ? 1.函数 y ? 3 sin? 2 x ? ? 的对称中心 3? ?

.

2.函数 y ? sin x ? a cos x 的图像关于直线 x ? 6 对称, 则x= .

?

5π 1.函数 y = sin(2x + ) 的图象的一条对称轴方程是(A) 2 ? 5? ? π
A. x=2 B. x?? 4

C.

x?

8

D.

x?

4

2.(2009·四川)已知函数f(x)=sin(x -

?
2

)(x∈R),下

面结论错误的是

( D)
[0,

A.函数f(x)的最小正周期为 2?

B.函数f(x)在区间

?
2

] 上是增函数

C.函数f(x)的图象关于直线x=0对称 D.函数f(x)是奇函数 解析 ∵y=sin(x x在 [0,
?
2 ]

?

2

)=-cos x,∴T= 2? ,A正确; x在 [0,
?
2 ]上

y=cos

上是减函数,y=-cos

是增函数,B正确; 由图象知y=-cos x关于直线x=0对称,C正确;

y=-cos x是偶函数,D错误.

小结:
1.会求正、余弦函数的定义域,值域及最大(小)值; 2.掌握用图像法解简单的三角不等式; 3.会求正、余弦函数的对称轴、对称中心。

作业: p46 2, 5, p47 1.

函数 性质

y y= sinx
?

(k∈z)
? 2

y= cosx
2? x
R [-1,1]
?

y (k∈z)
? -1 2

?
2 -1

0

?

3? 2

?
2

0

?

3? 2

x

定义域
值域 周期性 奇偶性 单调性

R [-1,1] 周期为T=2kπ 奇函数 在x∈[2kπ- 2 , 2kπ+ 2 ] 上都是增函数 π 3π 在x∈[2kπ+ 2 ,2kπ+ 2 ] 上都是减函数. x= 2kπ+ 2 时 ymax=1 x=2kπ - π 时 ymin=-1 2 (kπ,0) x = kπ+

周期为T=2kπ

π

π

偶函数 在x∈[2kπ, 2kπ+ π ] 上都是减函数 , 在x∈[2kπ- π , 2kπ ] 上都是增函数 。 x= 2kπ时 ymax=1 x= 2kπ+ π时 ymin=-1 (kπ+ π ,0) 2 x = kπ

最值

π

对称中心 对称轴

π
2

思考1:正、余弦函数的值域是什么?函数 y=Asinω x(Aω ≠0)的值域是什么?

[-|A|,|A|]


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