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2014人教数学必修五【课件】 2.3等差数列的前n项和(二)


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§2.3(二)

【学习目标】 1.熟练掌握等差数列前 n 项和的性质,并能灵活运用. 2.掌握等差数列前 n 项和的最值问题. 3.理解 an 与 Sn 的关系,能根据 Sn 求 an. 【学法指导】 1. 任何一个数列{an}与它的前 n 项和 Sn 之间都有一个等量关 ? ?n=1?, ?S1 ? 系式,此公式为:an= ,题中已知 ? ?Sn-Sn-1 ?n≥2? 一个数列的前 n 项和,则可利用此公式求得此数列的通 项公式, 同时要注意此公式是一个分段的函数, 所以在使 用此公式求解时,要分类讨论.

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§2.3(二)

2.数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解, 这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用. 3.等差数列的前 n 项和与二次函数联系十分紧密,要辨析 它们之间的关系,从更高境界处理等差数列的前 n 项和 问题.

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填一填·知识要点、记下疑难点

§2.3(二)

1.前n项和Sn与an之间的关系 对任意数列{an},Sn是前n项和,Sn与an的关系可以表示为 ? ?n=1?, ? S1 an=?S -S ? n-1 ?n≥2?. ? n 2.等差数列前n项和公式 n?n-1? n?a1+an? Sn= 2 = na1+ 2 d . 3.若等差数列{an}的前n项和公式为Sn=An2+Bn+C,则A= d d ___ 2 ,B= a1-2 ,C= 0 .

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填一填·知识要点、记下疑难点

§2.3(二)

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4.已知数列{an}的通项公式是an=2n-48,则Sn取得最小值 时,n为________ 23或24 .
解析 ∵a24=0,∴a1,a2,…,a23<0,故S23=S24最小.

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§2.3(二)

[问题情境] 1.如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式,那么这个数列确 定了吗?如果确定了,那么如何求它的通项公式?应注 意一些什么问题? 2.如果一个数列的前n项和的公式是Sn=an2+bn+c(a,b, c为常数),那么这个数列一定是等差数列吗? 3.如果{an}是一个等差数列,那么{|an|}还是等差数列吗?如 果不再是等差数列,如何求{|an|}的前n项和? 这一节课我们就来解答上面的问题.

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§2.3(二)

探究点一

数列{an}的前n项和Sn与an的关系

问题 我们已经知道,如果通项公式an已知,就能求出Sn;反 过来,如果已知数列{an}的前n项和Sn,能否求出它的通项公 式an?
答 对所有数列都有:Sn=a1+a2+…+an-1+an,Sn-1=a1+a2

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+…+an-1(n≥2).因此,当 n≥2 时,有 an=Sn-Sn-1;当 n=1 ? ?S1,n=1, 时, 有 a1=S1.所以 an 与 Sn 的关系为 an=? 注意 ? S - S , n ≥ 2. ? n n-1 这一关系适用于所有数列,并且如果能统一用一个解析式 an= f(n)(n∈N+)来表示,应当统一表示.

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§2.3(二)

探究 如果数列{an}的前n项和的公式是Sn=an2+bn+c(a,b, c为常数),求通项公式an,并判断这个数列一定是等差数列 吗?
答案 当n=1时,a1=S1=a+b+c; 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(an2+bn+c)-[a(n-1)2+b(n-1) +c]=2an-a+b. ? ?a+b+c ∴an=? ? ?2an-a+b 才是等差数列. ?n=1? . ?n≥2?

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只有当c=0时,a1=a+b+c才满足an=2an-a+b,数列{an}

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§2.3(二)

探究点二

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等差数列前 n 项和的最值 n?n-1? d 2 d 问题 由于 Sn=na1+ d= n +(a1- )n,当 d=0 时,Sn 2 2 2 d =na1;当 d≠0 时,此解析式可以看作二次项系数为 2 ,一次 d 项系数为 a1-2 ,常数项为 0 的二次函数,其图象为抛物线 y d d = x2+(a1- )x 上的点集,坐标为(n,Sn)(n∈N*). 2 2 因此,由二次函数的性质立即可以得出结论:当 d>0 时,Sn 有最 小值;当 d<0 时,Sn 有最大值;且 n 取最接近对称轴的 正整数时,Sn 取到最值.

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探究 和Sn取到最值时序号n的规律. 序号 1 等差数列 …, -5,-3, 2 -1,1,3, …, 3 -4,…, -1,-2, 4 -3,-4, -5,…, 基本量 d= 2 . a1= -5 , d= 2 . 前n项和Sn Sn= n
2

§2.3(二)

按要求,把下列表格填充完整,并观察使等差数列前n项 Sn的最值 (Sn)min=1, 此时n= 1 . (Sn)min= -9 , 此时n= 3 (Sn)max=6 ,

1,3,5,7,9, a1=1 ,

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Sn= n -6n Sn=

2

4,2,0,-2, a1= 4 , d= -2 . a1= -1 , d= -1 .

-n2+5n 此时n= 2或3

Sn= (Sn)max= -1 , 1 2 1 -2n -2n 此时n=1

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§2.3(二)

通过上面的例子,我们看到等差数列前n项和的最值在项的符号 分界点处取到,据此完善下列结论: (1)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为 正 项(或0),所以将这 些项相加即得{Sn}的最 大 值. (2)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为 负 项(或0),所以将这 些项相加即得{Sn}的最 小 值; 特别地,若a1>0,d>0,则S1是{Sn}的最 小 值;若a1<0,d<0, 则S1是{Sn}的最 大 值.

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§2.3(二)

【典型例题】 例 1 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n2-3n,求通项 公式 an.
解 当n=1时,a1=S1=-1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-5.
又∵a1=-1适合an=4n-5,∴an=4n-5 (n∈N*).
小结 已知前n项和Sn求通项an,先由n=1时,a1=S1求得a1, 再由n≥2时,an=Sn-Sn-1求an,最后验证a1是否符合an,若符 合则统一用一个解析式表示.

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§2.3(二)

跟踪训练 1 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3n,求 an.
解 当n=1时,a1=S1=3;
?n=1? . ?n≥2?
n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2· 3n-1.
? ?3 ∴an=? n-1 ? 3 ?2·

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n 项和 Sn 的最小值.
解 方法一 ∵an=2n-14,∴a1=-12,d=2.

§2.3(二)

例 2 在等差数列{an}中,an=2n-14,试用两种方法求该数列前

∴a1<a2<…<a6<a7=0<a8<a9<…. ∴当n=6或n=7时,Sn取到最小值.

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易求S7=-42,∴(Sn)min=-42. 方法二 ∵an=2n-14,∴a1=-12. ? n?a1+an? 2 13?2 169 ∴Sn= =n -13n=?n- 2 ? - 4 . 2 ? ?
∴当n=6或n=7时,Sn最小,且(Sn)min=-42.

小结 在等差数列中,求Sn的最大(小)值,其思路是找出某一 项,使这项及它前面的项皆取正(负)值或零,而它后面的各项皆 取负(正)值,则从第1项起到该项的各项的和为最大(小).由于Sn 为关于n的二次函数,也可借助二次函数的图象或性质求解.

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§2.3(二)

跟踪训练 2 在等差数列{an}中,a1=25,S17=S9,求 Sn 的最大值.
解 方法一 利用前n项和公式和二次函数性质. 17 9 由S17=S9,得25×17+ 2 ×(17-1)d=25×9+2×(9-1)d, n 解得d=-2,所以Sn=25n+2(n-1)(-2)=-(n-13)2+169,
由二次函数性质可知,当n=13时,Sn有最大值169.
方法二 先求出d=-2,因为a1=25>0,
1 ? n ≤ 13 , ? ? 2 ?an=25-2?n-1?≥0, 由? 得? ? ?an+1=25-2n≤0, ?n≥121. 2 ? 所以当n=13时,Sn有最大值. 13×?13-1? S13=25×13+ ×(-2)=169. 2 因此Sn的最大值为169.

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§2.3(二)

方法三 由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0,
而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,
故a13+a14=0.由方法一知d=-2<0, 又因为a1>0,所以a13>0,a14<0, 故当n=13时,Sn有最大值.

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13×?13-1? S13=25×13+ ×(-2)=169. 2
因此Sn的最大值为169.

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+|an|,求 Tn.
解 ∵a1=13,d=-4,∴an=17-4n.
当n≤4时, n?n-1? Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=na1+ 2 d n?n-1? =13n+ ×(-4)=15n-2n2; 2

§2.3(二)

例 3 若等差数列{an}的首项 a1=13, d=-4, 记 Tn=|a1|+|a2|+…

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当n≥5时, Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+a3+a4)-(a5+a6+…+an) ?13+1?×4 2 =S4-(Sn-S4)=2S4-Sn=2× - (15 n - 2 n ) 2 =56+2n2-15n.
2 ? ?15n-2n ,n≤4; ∴Tn=? 2 ? ?2n -15n+56,n≥5.

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§2.3(二)

小结 等差数列{an}前n项的绝对值之和,由绝对值的意义,应首 先分清这个数列的哪些项是负的,哪些项是非负的,然后再分段 求出前n项的绝对值之和.

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§2.3(二)

跟踪训练3 已知等差数列{an}中,记Sn是它的前n项和,若S2= 16,S4=24,求数列{|an|}的前n项和Tn.
? ?2a +2×1d=16, 2 ? 1 由S2=16,S4=24,得? 4×3 ? 4a + 2 d=24. ? ? 1
? ?a1=9, 解得? ? ?d=-2.



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? ?2a1+d=16, 即? ? ?2a1+3d=12.

所以等差数列{an}的通项公式为an=11-2n (n∈N*). ①当n≤5时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2 +10n.

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§2.3(二)

②当n≥6时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+a5-a6-a7 -…-an=2S5-Sn
=2×(-52+10×5)-(-n2+10n)=n2-10n+50,
2 ? ?-n +10n 故Tn=? 2 ? ?n -10n+50

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?n≤5?, ?n≥6?.

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§2.3(二)

1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则an等于 A.n C.2n+1 B.n2 D.2n-1

( D )

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§2.3(二)

2.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2 +λ,则λ的值是 A.-2
∴λ=-1.

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( B ) B.-1 C.0 D.1

解析 等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn,

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§2.3(二)

3.设数列{an}的通项为an=2n-7(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+

25 |a7|=________.
解析 |a1|+|a2|+|a3|+…+|a7|
=(-a1)+(-a2)+(-a3)+(a4+a5+a6+a7)
=-(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6+a7)
=-(-5-3-1)+(1+3+5+7) =5+3+1+1+3+5+7=25.

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§2.3(二)

4.首项为正数的等差数列,前n项和为Sn,且S3=S8,当n=

5或6 时,Sn取到最大值. ________
解析 ∵S3=S8,∴S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=0,
∴a6=0. ∵a1>0,∴a1>a2>a3>a4>a5>a6=0,a7<0. 故当n=5或6时,Sn最大.

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§2.3(二)

1.公式an=Sn-Sn-1并非对所有的n∈N*都成立,而只对n≥2 的正整数才成立.由Sn求通项公式an=f(n)时,要分n=1和 n≥2两种情况分别计算,然后验证两种情况可否用统一解 析式表示,若不能,则用分段函数的形式表示. 2.求等差数列前n项和的最值 (1)二次函数法:用求二次函数的最值方法来求其前n项和 的最值,但要注意n∈N*,结合二次函数图象的对称性来 确定n的值,更加直观.

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§2.3(二)

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? ?an≥0, (2)通项法:当a1>0,d<0,? ? ?an+1≤0 ? ?an≤0, 当a1<0,d>0,? ? ?an+1≥0

时,Sn取得最大值;

时,Sn取得最小值.

3.求等差数列{an}前n项的绝对值之和,关键是找到数列{an} 的正负项的分界点.


...(人教A版,必修五)作业:2.3 等差数列的前n项和(2)

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