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2011创新方案高考数学复习精编(人教新课标)--10.9条件概率、事件的独立性与二项分布(理) 2


第十章

第九节

条件概率、 事件的独立性与二项分布 (理)

题组一

条 件 概 率

1.已知盒中装有 3 只螺口与 7 只卡口灯泡,这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着, 现需要一只卡口灯泡,电工师傅每次从中任取一只并不放回,则在他第 1 次抽到的是螺 口灯泡的条件下,第 2 次抽到的是卡口灯泡的概率为 3 A. 10 2 B. 9 7 C. 8 7 D. 9 ( )

解析:设事件 A 为“第 1 次抽到是螺口灯泡”,事件 B 为“第 2 次抽到是卡口灯泡”, 3 3 7 21 7 则 P(A)= ,P(AB)= × = = .在已知第 1 次抽到螺口灯泡的条件下,第 2 次抽 10 10 9 90 30 7 P(AB) 30 7 到卡口灯泡的概率为 P(B|A)= = = . P(A) 3 9 10 答案:D 3 2.设 A、B 为两个事件,若事件 A 和 B 同时发生的概率为 ,在事件 A 发生的条件下,事 10 1 件 B 发生的概率为 ,则事件 A 发生的概率为________________. 2 3 1 解析:由题意知,P(AB)= ,P(B|A)= , 10 2 3 P(AB) 10 3 ∴P(A)= = = . P(B|A) 1 5 2 3 答案: 5 3. 有一批种子的发芽率为 0.9, 出芽后的幼苗成活率为 0.8, 在这批种子中, 随机抽取一粒, 则这粒种子能成长为幼苗的概率为________. 解析:设种子发芽为事件 A,种子成长为幼苗为事件 AB(发芽,又成活为幼苗),出芽后 的幼苗成活率为: P(B|A)=0.8,P(A)=0.9. 根据条件概率公式 P(AB)=P(B|A)· P(A)=0.9×0.8=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的 概率为 0.72. 答案:0.72

1

题组二

相互独立事件

1 1 1 4.国庆节放假,甲去北京旅游的概率为 ,乙、丙去北京旅游的概率分别为 , .假定三人的 3 4 5 行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少有 1 人去北京旅游的概率为 59 A. 60 3 B. 5 1 C. 2 1 D. 60 ( )

1 1 1 解析:因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为 , , .因此,他们不去北京旅游的概率 3 4 5 2 3 4 2 3 4 3 分别为 , , ,所以,至少有 1 人去北京旅游的概率为 P=1- × × = . 3 4 5 3 4 5 5 答案:B 1 5.如图所示的电路,有 a,b,c 三个开关,每个开关开或关的概率都是 ,且 2 是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为 1 A. 8 1 B. 4 1 C. 2 1 D. 16 ( )

解析:理解事件之间的关系,设“a 闭合”为事件 A,“b 闭合”为事件 B,“c 闭合”


为事件 C,则灯亮应为事件 ABC,且 A,C, B 之间彼此独立,且 P(A)=P( B )=P(C)
- 1 1 = ,所以 P(AB C)=P(A)· P( B )· P(C)= . 2 8

答案:A 6.甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的 10 道试题中,甲能答对其中的 6 题, 乙能答对其中的 8 题,规定每次考试都从备选题中随机抽出 3 题进行测试,至少答对 2 题才算合格. (1)分别求甲、乙两人考试合格的概率; (2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 解:(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为 A、B,则
1 3 C2 2 6C4+C6 P(A)= = . C3 3 10 1 3 C2 14 8C2+C8 P(B)= = . 3 C10 15

(2)因为事件 A、B 相互独立,所以甲、乙两人考试均不合格的概率为
-- - - 2 14 1 P(AB)=P(A)P(B)=(1- )(1- )= , 3 15 45

所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为
- - 1 44 P=1-P(A· B)=1- = . 45 45

2

题组三

独立重复试验

7.某人射击一次击中目标的概率为 0.6,经过 3 次射击,此人至少有两次击中目标的概率为 ( 81 A. 125 54 B. 125 36 C. 125 27 D. 125 )

81 2 3 3 解析:所求的概率为 C2 . 30.6 ×0.4+C30.6 =0.648= 125 答案:A 8.位于坐标原点的一个质点 P 按下列规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为 1 向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是 ,质点 P 移动五次后位于点(2,3)的概率 2 是 1 A.( )3 2 15 B.C2 5( ) 2
3 1 3 C.C5 ( ) 2 3 1 5 D.C2 5C5( ) 2

(

)

解析:质点由原点移动到(2,3),需要移动 5 次,且必须有 2 次向右,3 次向上,所以质 1 2 1 5 点的移动方法有 C2 5种,而每一次移动的概率都是 ,所以所求的概率等于 C5( ) . 2 2 答案:B 9.2009 年 12 月底,一考生参加某大学的自主招生考试,需进行书面测试,测试题中有 4 道题, 每一道题能否正确做出是相互独立的, 并且每一道题被该考生正确做出的概率都 3 是 . 4 (1)求该考生首次做错一道题时,已正确做出了两道题的概率; (2)若该考生至少正确作出 3 道题,才能通过书面测试这一关,求这名考生通过书面测 试的概率. 3 解:(1)记“该考生正确做出第 i 道题”为事件 Ai(i=1,2,3,4),则 P(Ai)= ,由于每一道 4 题能否被正确做出是相互独立的, 所以这名考生首次做错一道题时, 已正确做出了两道 题的概率为 P(A1A2 A3 )=P(A1)· P(A2)· P( A3 ) 3 3 1 9 = × × = . 4 4 4 64 (2)记“这名考生通过书面测试”为事件 B, 则这名考生至少正确做出 3 道题, 即正确做 出 3 道题或 4 道题, 3 1 3 189 3 4 故 P(B)=C4 ×( )3× +C4 ×( )4= . 4 4 4 256

3

题组四

二项分布问题

65 10.在 4 次独立重复试验中事件 A 出现的概率相同, 若事件 A 至少发生一次的概率为 , 则 81 事件 A 在 1 次试验中出现的概率为________. 65 解析:A 至少发生一次的概率为 ,则 A 的对立事件 A :事件 A 都不发生的概率为 1 81 - 65 16 2 4 2 1 = =( ) ,所以,A 在一次试验中出现的概率为 1- = . 81 81 3 3 3

1 答案: 3 11.某公交公司对某线路客源情况统计显示,公交车从每个停靠点出发后,乘客人数及频 率如下表: 人数 频率 0~6 0.1 7~12 0.15 13~18 0.25 19~24 0.20 25~30 0.20 31 人以上 0.1

(1)从每个停靠点出发后,乘客人数不超过 24 人的概率约是多少? (2)全线途经 10 个停靠点,若有 2 个以上(含 2 个),乘客人数超过 18 人的概率大于 0.9, 公交公司就要考虑在该线路增加一个班次,请问该线路需要增加班次吗? 解:(1)每个停靠点出发后,乘客人数不超过 24 人的概率约为 0.1+0.15+0.25+0.20= 0.7. (2)从每个停靠点出发后,乘客人数超过 18 人的概率为 0.20+0.20+0.1=0.5, 1 途经 10 个停靠点,没有一个停靠点出发后,乘客人数超过 18 人的概率为(1- )10, 2 11 19 途经 10 个停靠点,只有一个停靠点出发后,乘客人数超过 18 人的概率 C1 10( ) (1- ) . 2 2 所以,途经 10 个停靠点,有 2 个以上(含 2 个)停靠点出发后,乘客人数超过 18 人的概 率 1 11 19 P=1-(1- )10-C1 10( ) (1- ) 2 2 2 1 5 1 013 =1- 10- 9= >0.9. 2 2 1024 ∴该线路需要增加班次. 2 3 12.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 和 .假设两人射击是否击中目标相互 3 4 之间没有影响;每人各次射击是否击中目标,相互之间也没有影响. (1)求甲射击 4 次,至少有 1 次未击中目标的概率; (2)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率; (3)假设某人连续 2 次未击中目标,则中止其射击.问:乙恰好射击 5 次后,被中止射
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击的概率是多少? 解:(1)记“甲连续射击 4 次至少有 1 次未击中目标”为事件 A1.由题意,射击 4 次,相 当于作 4 次独立重复试验. 2 65 故 P(A1)=1-P( A1 )=1-( )4= , 3 81 65 所以甲连续射击 4 次至少有一次未击中目标的概率为 . 81 (2)记“甲射击 4 次,恰有 2 次击中目标”为事件 A2,“乙射击 4 次,恰有 3 次击中目 标”为事件 B2,则 22 2 4-2 8 P(A2)=C2 = , 4×( ) ×(1- ) 3 3 27 33 3 4-3 27 P(B2)=C3 = . 4×( ) ×(1- ) 4 4 64 由于甲、乙射击相互独立,故 8 27 1 P(A2B2)=P(A2)· P(B2)= × = . 27 64 8 1 所以两人各射击 4 次,甲恰有 2 次击中目标且乙恰有 3 次击中目标的概率为 . 8 (3)记“乙恰好射击 5 次后被中止射击”为事件 A3, “乙第 i 次射击未击中”为事件 Di(i =1,2,3,4,5),则 A3=D5D4·D3 · ( D2D1 ), 1 且 P(Di)= . 4 由于各事件相互独立,故 P(A3)=P(D5)· P(D4)· P( D3 )· P( D2D1 ) 1 1 3 1 1 45 = × × ×(1- × )= . 4 4 4 4 4 1 024 所以乙恰好射击 5 次后被中止射击的概率为 45 . 1 024

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