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2012届重庆市万州区高三第一次诊断性考试(数学文)


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高 2012 级学生学业质量调研抽测试卷(第一次) 数学(文科)参考答案及评分意见
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1~5 DADBD 6~10 CBACC

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 30°

; 12. 128; 13. 45; 14. 2; 15. 1.

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本题满分 13 分) 解: 当 log2 x ? 0 ,即 x ? 1 时,依题意知 ?

?x ? 1 ,解得 x ? 4 ;………………5 分 ?log 2 x ? 2

当 log2 x ? 0 ,即 0 ? x ? 1 时, ∵偶函数 f (x) 在区间 [0,??) 上是单调增函数

? f (x) 在 (??,0) 上为减函数
又 f (?2) ? f (2) ,

?0 ? x ? 1 1 ,解得 0 ? x ? ?? 4 ?log2 x ? ?2
1 4

…………11 分

综上所述 x 的取值范围 (0, ] ? ? 4, ?? ? . 17. (本题满分 13 分) 解: (1)分别设甲、乙经第一次选拔后合格为事件 A1 、 B1 ; 设 E 表示第一次选拔后甲合格、乙不合格,则

………………13 分

P( E) ? P( A1 ? B1 ) ? 0.5 ? 0.4 ? 0.2
P( A) ? 0.5 ? 0.6 ? 0.3 P( B) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.3
P(C ) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.2

………………………4 分

(2)分别设甲、乙、丙三人经过前后两次选拔后合格入选为事件 A、B、C,则:

………………………10 分

(3) P(? ? 2) ? 0.3 ? 0.3 ? 0.8 ? 0.7 ? 0.3 ? 0.2 ?0.3 ? 0.7 ? 0.2 ? 0.156 (或者) P(? ? 2) ? 1 ? (0.392 ? 0.434 ? 0.018) ? 0.156 18. (本题满分 13 分) (1) f ( x) ? cos x ? sin x cos x
2

…………………13 分

………………1 分



1 ? cos 2 x 1 ? sin 2 x 2 2 1 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2 2

………………3 分



………………4 分

?

2 ? 1 sin(2 x ? ) ? 2 4 2

………………6 分 ………………………7 分

最小正周期 T=π (2)? f ( A) ? cos2 x ? sin A cos A ? 1

?sin A cos A ? 1 ? cos2 A ? sin 2 A
? sin A ? cos A
在△ABC 中, ?

?A?

?
4

…………………………10 分

AC BC 2 ? ? ,? AC ? ? sin ? 6 ? sin B sin A 3 sin 4

…………13 分

19. (本题满分 13 分) 解:(1)由已知:当 n ? 1 时 a1 ? S1 ? 2 , 当 n ? 2 时 an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1 ……………………2 分 ……………………4 分

?2 ? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? ?2n ? 1

(n ? 1) (n ? 2)

……………………6 分

?1 (n ? 1) ?6 ? (2)由(1)知: bn ? ? …………8 分 1 1? 1 1 ? ? ? ? (n ? 2) ? (2n ? 1)(2n ? 1) 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? ? ? ?
当 n ? 1 时, T1 ? b1 ?

1 , 当 n ? 2 时, 6

Tn ? b1 ? b2 ? ?bn ?

1 1 1?1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ??? ? ? ? 3 ? 4n ? 2 6 2?3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 ?
……………………12 分

1 1 ? ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? ? 3 4n ? 2

20.解: (1)∵ 点 M 是线段 PB 的中点,∴OM 是△PAB 的中位线, 又∵OM⊥AB ∴PA⊥AB ……………………1 分

?c ? 1 ?1 1 ? ∴? 2 ? 2 ?1 ? a 2b ?a 2 ? b 2 ? c 2 ?
∴ 椭圆的标准方程为

解得 a2 ? 2, b2 ? 1, c2 ? 1 ……………………5 分

x2 ? y2 ? 1 2

……………………6 分

x2 ? y 2 ? 1, ? m 2 ? 2 ? y 2 ? 2my ? 1 ? 0 , (2) 设直线 EF 的方程为: ? m y ? 1 m ? 0 ) ( 代入 得 x 2
设 E( x1 ,

y1 ) , F ( x2 ,

y 2 ) ,由 ED ? 2DF ,得 y1 ? ?2y 2 .

由 y1 ? y2 ? ? y2 ?
2

2m ?1 2 , y1 y2 ? ?2 y2 ? 2 ……………………9 分 2 m ?2 m ?2

14 14 2m ? 1 ? 得 2? ? 2 ,解得 m ? , m?? (舍去)(没舍去扣 1 分) , ? ? 2 7 7 ? m ?2? m ?2
直线 EF 的方程为: x ? 21. (本题满分 12 分) 解:(1) f ?( x) ? 3x2 ? 9x ? 6 ? 3( x ? 2)( x ?1) 当 x ? 1或x ? 2 时 f ?( x) ? 0 ;当 1 ? x ? 2 ……………………2 分

14 y ? 1 即 7 x ? y 14 ? 7 ? 0 ……………………12 分 7

f ?( x) ? 0
………4 分

f ( x) 在(-∞,1)(2,+∞)上都为增函数,在(1,2)上为减函数 ,
? f (x) 的极小值为 f (2) ? ?1
(2)① 若 a ? 0, 则 f ( x) ? ?3( x ? 1) 2

……………………5 分

? f (x) 的图象与 x 轴只有一个交点
②若 a ? 0, 则

……………………6 分

2 2 ? 1 , f ?( x) ? 3a(x ? )(x ? 1) a a

?当 x ?


2 或x ? 1 时, f ?( x) ? 0 a

a 2 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , ? f ( x) 的极大值为 f (1) ? ? ? 0 2 a 2 ∵ f ( x ) 的极小值为 f ( ) ? 0 a

? f ( x) 的图象与 x 轴有三个公共点

……………………7 分

③ 若 0<a<2,则

2 2 ? 1 , f ?( x) ? 3a(x ? )(x ? 1) a a 2 2 当 x<1 或 x> 时 f ?( x) ? 0 ,当 ? x ? 1 时 f ?( x) ? 0 a a

f ( x) 极大值 f(1)<0,函数 f ( x) 图像与 x 轴只有一个交点………………8 分
2 ④ 若 a=2,则 f ?( x) ? (x ?1) ? 0 , f ( x ) 的图像与 x 轴只有一个交点 ……9 分 6

f ? ⑤ 若 a>2, f ( x ) 的极大值为 ( ) ?4( ? ) ?
2

2 a

1 a

3 4

3 ?0 4
………………10 分

? f (x) 的图像与 x 轴只有一个交点

综上所述,若 a ? 0 , f ( x ) 的图像与 x 轴只有一个公共点 若 a ? 0 , f ( x ) 的图像与 x 轴有三个公共点 ……………………12 分


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