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数学文卷·2014届浙江省嘉兴市高二下学期期末考试(2013.06)word版


嘉兴市2012-2013学年第二学期期末检测 高二文科数学(B)试题卷(2013.6)
一、选择题

3?i ? 1.已知 i 是虚数单位,则 2 ? i 7?i B. 5 7?i C. 5

A. 1 ? i

D. 1 ? i
3

2.某物体的运动路程 S (单位: m )与

时间 t (单位: s )的关系可用函数 S (t ) ? t ? 2 表 示,则此物体在 t ? 1s 时的瞬时速度(单位: m / s )为 A.1 B.3 C. ?1 D.0

a ? 0, b ? 0, M ?
3.已知 A. M ? N

2ab , N ? ab a?b ,则
C. M ? N D. M ? N

B. M ? N

3 2 4.已知函数 f ( x) ? ? x ? 3x ? m( x ?[?2, 2]), f ( x) 的最小值为1,则 f ( x ) 的最大值为

A.5

B.22
3 2

C.21

D.2

5.函数 f ( x) ? ax ? 3x ? x ? 1 在 R 上是单调函数,则实数 a 的取值范围是 A. a ? 3 B. a ? 3 C. a ? 3 D. a ? 3

2 6.在复平面内,复数 z ? 1 ? 2i 对应的向量为 OA ,复数 z 对应的向量为 OB ,则向量 AB

??? ?

??? ?

??? ?

所对应的复数为 A. 4 ? 2i
2

B. 4 ? 2i

C. ?4 ? 2i

D. ?4 ? 2i

7.函数 f ( x) ? x ? x ? ln x 的极值点的个数是 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

8.已知 i 是虚数单位,设复数 z ? (a ? 1) ? ai(a ? R) 的共轭复数为 z ,若 为

z?

1 z ,则 a 的值

A.1 B.0 C.0或1 D.1或2 9.如下图所示,把1,3,6,10,15,21,……这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的 点可以排成一个正三角形,试求第20个三角形数是
第 1 页 共 8 页

A.208

B.209

C.210

D.211

f ( x) ? f ?( ) cos x ? sin x f ?( ) ? ? 6 3 10.设函数 f ( x ) 的导数 f ( x ) ,且 ,则

?

?

A.1

B.0

3 C. 3

3 D. 2
2

11.若直线 x ? y ? m ? 0(m ? R) 不可能是曲线 f ( x) ? ax ? ln x 的切线,则实数 a 的取值 范围是 A. a ? 0

a??
B.

1 8

a??
C.

1 8

D. a ? 0

f ( x) ?
12.已知函数

ln x x ,则下列命题正确的是 a?
B.对任意

a?
A.对任意 有两个实根

1 e ,方程 f ( x) ? a 只有一个实根

1 e ,方程 f ( x) ? a 总

a?
C.对任意

1 1 a? e ,总存在正数 x ,使得 f ( x) ? a 成立 D.对任意 e 和正数 x ,总有

f ( x) ? a 成立
二、填空题 13.已知 i 是虚数单位, z ? i ? 2i ? 3i ? 4i ,则 | z |?
2 3 4



14 . 若 曲 线 y ? x ln x 上 一 点 P 到 直 线 为 。

y?

1 x ?1 2 的距离最小,则点 P 的横坐标

f ( x) ?
15.函数

x 2 ? 3x ? 3 ex 的单调递增区间是



16.已知 i 是虚数单位,则复数

z1 ? a ? bi, z2 ? b ? ai (其中 a ? 0, b ? R )满足 z12 ? z2 ,
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z1 ?

。 。

17.已知实数 x 满足 x ? x ? a(3x ?1) 恒成立,则实数 a 的最小值为

a 2 ? 2a f ( x) ?| 2 x ? ? 4a | x 18.已知函数 ,若 f ( x ) 在 (0, ??) 上存在极大值点,则实数 a 的
取值范围是 三、解答题 19. (本题6分)已知复数 z ? 1 ? ai
(a ? R )



,且 z ? i 为实数,若复数 ( z ? mi) 在复平面内对
2

应的点在第一象限,求实数 m 的取值范围.

20. (本题6分)已知

x, y

为正实数,求证:

y x 2 ? ? 2x ? y x ? 2 y 3



3 2 (a , b ? R ) y ? f ( x) 21.本题8分) ( 设函数 f ( x) ? x ? ax ? bx , 已知曲线 在点 M(?1, f (?1))

处的切线方程是 y ? 4 x ? 3. (1)求 a, b 的值; (2)求函数
f ( x)

在区间 ?? 2,2? 的最大值.

22. (本题8分)已知函数

f ( x ) ? mx ? 2 ln x ?

m (m ? R) x

第 3 页 共 8 页

(1)若

f ?(1) ? 2

,求 m 的值; 在 ?1,? ?? 上为单调函数,求 m 的取值范围.

(2)若函数

y ? f ( x)

23. (本题8分)已知函数

f ( x) ? 2 ?

1 3 a1 ? x, 2 , an?1 ? f (an ) ( n ? N * ) .

(1)计算 a 2 , a 3 , a 4 的值,并猜想数列 ?a n ? 的通项公式(不用证明) ;

(2)试证明:对任意 n ? N , a1 , a n ,
*

1 an

不可能成等差数列.

24. (本题10分)已知函数 f ( x) ? ax ln x ,

g( x ) ? ?

1 2 x ? (a ? 1) x 2 ,其中 a ? R .

(1)令

h( x) ?

f ( x) ? g( x) x ,试讨论函数 f ( x ) 的单调区间;

2 (2)若对任意的 e ? x1 ? x 2 ? e ,总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g( x1 ) ? g( x2 ) 成立,试求实数 a

的取值范围. (其中e是自然对数的底数)

第 4 页 共 8 页

嘉兴市2012—2013学年第二学期期末检测
高二文科数学(B)参考答案(2013.6)
一.选择题(本大题有12小题,每小题3分,共36分,请从A,B,C,D四个选项中,选出 一个符合题意的正确选项,填入答题卷,不选,多选,错选均得零分.) 1.D; 7.B; 2.B; 8.C; 3.D; 9.C; 4.C; 10.B; 5.B; 11.A; 6.C; 12.C.

二.填空题(本大题有6小题,每小题3分,共18分,请将答案写在答题卷上)
1

13. 2 2

14. e

15. ?2,3?

3 1 ? 2 i 16. 2

1 17. 2

18. a ? 2

三.解答题: (本大题有6小题,共46分,请将解答过程写在答题卷上. ) 19.解: z ? i = 1 ? (a ? 1) i 为实数,所以 a ? ? 1 ,所以 z ? 1 ? i ,
2 2 而 ( z ? mi) ? (2m ? m ) ? 2(m ? 1)i 所对应的点在第一象限,

…2分

? 2m ? m 2 ? 0 ? 所以 ? m ? 1 ? 0 ,
所以 1 ? m ? 2 . 20.证明:因为
x, y

…4分 …6分

为正实数,

要证

y x 2 ? ? 2x ? y x ? 2 y 3

x ( x ? 2 y ) ? y( 2 x ? y ) 2 ? 3 ,只要证 (2 x ? y )( x ? 2 y )

…2分

2 2 即证 3 x ? 12xy ? 3 y ? 2(2 x ? y)( x ? 2 y)
2 2 即证 x ? 2 xy ? y ? 0 2 即证 ( x ? y) ? 0 ,显然成立

所以原不等式成立.

…6分

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? f ?( ?1) ? 3 ? 2a ? b ? 0 ? ? 21.解: (1) f ( x) ? 3 x ? 2ax ? b , ? f (?1) ? ?1 ? a ? 1 ? ?1 ,
2

? a ? ?1 ? 所以 ? b ? ?1 .

…3分 …4分

2 3 2 ? 2 (2) f ( x) ? x -x ? x , f ( x) ? 3 x - x ? 1 ? ( x ? 1)(3 x ? 1)

? 令 f ( x) ? 0 ,得

x??

1 3 或 x ? 1;

? 令 f ( x) ? 0 ,得

?

1 ? x?1 3

所以

f ( x)

1 1 (? ,1) ( ? ?,? ), (1,? ?) 3 的递增区间为 ,递减区间为 3

…6分

1 5 f (? ) ? 3 27 , f ( 2 ) ? 2 , 因为 x ? ?? 2,2 ? ,
所以
f ( x)

的最大值为2.

…8分

22.解: (1)

f ?( x ) ?

mx 2 ? 2 x ? m x2

,有已知, f ?(1) ? m ? 2 ? m ? 2 , …3分

所以 m ? 2 . 3) 若函数
y ? f ( x)

在 ?1,? ?? 上为单调函数,则在 ?1,? ?? 上

f ?( x ) ?


mx2 ? 2 x ? m mx 2 ? 2 x ? m ?0 f ?( x ) ? ?0 x2 x2 恒成立,或 恒成立

…4分

m?


2x 2x m? 2 x ? 1 ,或 x ? 1 对x ? ?1,? ?? 恒成立,
2

2x x ?1
2

?

2 x? 1 x,
x?

因为

而当x ? ?1,? ?? 时,

2x 1 ? (0,1] 2 x ? ?2 , ? ?? ,故 x ? 1 ,

…7分

所以 m ? 1 或 m ? 0 . 即 m 的取值范围是 m ? 1 或 m ? 0 .
第 6 页 共 8 页

…8分

23.解: (1)

a2 ?

4 5 6 , a3 ? , a4 ? 3 4 5

…4分

猜想

an ?

n?2 (n ? N ? ) n?1
1 am

6) 假设存在 m ? N ,使得 a1 , a m ,
*

成等差数列,

2( m ? 2) 5m ? 8 3 m?1 m?2 ? ? ? 2? m?1 m ? 1 ,即 2( m ? 2) 则 2 m?2
2 所以 m ? 3m ? 8 ? 0 ,该方程没有正整数解,所以假设不成立,

所以对任意 n ? N , a1 , a n ,
*

1 an

不可能成等差数列.

…8分

24.解: (1)

h( x ) ? a ln x ?

1 2 x ? (a ? 1) x 2 ,

h?( x ) ?

x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? 1)( x ? a ) a ? x ? (a ? 1) ? ? x x x
f ( x)

① 当 a ? 0 时,

的递减区间为

( 0 ,1)

,递增区间为

(1,? ?)


(a ,1)

② 当 0 ? a ? 1 时, ③ 当 a ? 1 时, ④ 当 a ? 1 时,

f ( x)

的递增区间为 (0, a), (1,? ?) ,递减区间为
( 0 , ? ?)



f ( x) f ( x)

的递增区间为 的递增区间为

; ,递减区间为
(1 , a )

( 0,1), ( a ,? ?)

.

…4分

2 4) 对任意的 e ? x1 ? x 2 ? e ,总有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g( x1 ) ? g( x2 ) 成立,

即 f ( x1 ) ? g( x1 ) ? f ( x2 ) ? g( x2 )
F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? ax ln x ? 1 2 x ? (a ? 1) x 2 ,



2 由题意得 y ? F (x) 在区间 (e, e ) 上为增函数。

…6分

F ?( x) ? a ln x ? x ? 1 ? 0 ,对 x ? (e, e 2 ) 恒成立,
a? 1? x 2 ln x 对 x ? (e, e ) 恒成立,

所以

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? ( x) ?

1? x ln x ,
? ln x ? 1? x x ? ? x ln x ? x ? 1 ? x(1 ? ln x ) ? 1 ? 0 2 (ln x ) x(ln x ) 2 x(ln x ) 2 ,

? ?( x ) ?
则 所以 所以

? ( x)

2 在区间 (e, e ) 上单调递减,

? ( x ) ? ? (e ) ? 1 ? e

, …10分

所以 a ? 1 ? e .

第 8 页 共 8 页


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