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高一数学正弦、余弦定理的经典题目


高一数学正弦、余弦定理的经典题目
1.已知在 ?ABC 中, c ? 10 , A ? 45 , C ? 30 ,解三角形.
? ?

2 在 ?ABC 中,已知 sin A : sin B : sin C ? 1: 2 : 3 ,求 a : b : c 3 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的三边长分别为 a, b, c ,若 a

: b : c ? 求 ?ABC 的各角的大小. 4 在 ?ABC 中,若 a ? b ? c ? bc ,求角 A .
2 2 2

6 : 2( 3 ? 1 , : )

5(2009· 广东高考)已知△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c.若 a=c= 6+ 2,且∠A=75° ,则 b= A.2 B.4+2 3 C.4-2 3 D. 6- 2 ( )

6(2009· 全国卷Ⅰ)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c.已知 a2-c2=2b, 且 sinAcosC=3cosAsinC,求 b.

B a+c 7(2010· 天津模拟)在△ABC 中,cos2 = ,(a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边),则 2 2c △ABC 的形状 A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 8.在△ABC 中,已知 2sinAcosB=sinC,那么△ABC 一定是 A.直角三角形 C.等腰直角三角形 B.等腰三角形 D.正三角形 ( ) ( )

9.在△ABC 中,面积 S=a2-(b-c)2,则 cosA= 8 A. 17 15 B. 17 13 C. 15 13 D. 17

(

)

A 10.(2009· 浙江高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos = 2

? ? 2 5 ??? ??? AC =3. , AB · 5
(1)求△ABC 的面积;

(2)若 c=1,求 a 的值.

11.若△ABC 的周长等于 20,面积是 10 3,A=60° ,则 BC 边的长是 A.5 B.6 C.7 D.8

(

)

12.(文)在三角形 ABC 中,已知∠B=60° ,最大边与最小边的比为 最大角为 ( A.60° ) B.75° C.90° D.115°

3+1 ,则三角形的 2

13. 已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边, 向量 m=( 3,-1),n=(cosA, sinA),若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,则角 B=________. π π 14.(文)(2010· 长郡模拟)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, <C< 且 3 2 b sin2C = a-b sinA-sin2C (1)判断△ABC 的性状; (2)若| BA + BC |=2,求 BA · 的取值范围. BC

??? ?

??? ?

? ??? ??? ?

C 15.(理)(2010· 广州模拟)在△ABC 中, B, 分别是三边 a, c 的对角. m=(cos , A, C b, 设 2 C C C π sin ),n=(cos ,-sin ),m,n 的夹角为 . 2 2 2 3 (1)求 C 的大小; 7 3 3 (2)已知 c= ,三角形的面积 S= ,求 a+b 的值. 2 2

16.(2010· 江西)E,F 是等腰直角△ABC 斜边 AB 上的三等分点,则 tan∠ECF=( 16 A. 27 C. 3 3 2 B. 3 3 D. 4

)

π 17.(2011· 青岛模拟)△ABC 中,若 lga-lgc=lgsinB=-lg 2且 B∈?0,2?,则△ABC ? ? 的形状是( )

A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形

18.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列,∠B =30° ,△ABC 的面积为 0.5,那么 b 为( A.1+ 3 3+ 3 C. 3 B.3+ 3 D.2+ 3 )

b a 19.(2010· 江苏)在锐角△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 + =6c osC, a b tanC tanC 则 + 的值是________. tanA tanB 20.(2010· 东)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若 a= 2,b=2, 山 sinB+cosB= 2,则角 A 的大小为________.

21.(2010· 新课标全国)在△ABC 中,D 为 BC 边上一点,BC=3BD,AD= 2,∠ADB =135° AC= 2AB,则 BD=________. .若

1 1 21.(2010· 全国Ⅰ)已知△ABC 的内角 A,B 及其对边 a,b 满足 a+b=a +b , tanA tanB 求内角 C. 22.(2010· 辽宁)在△A BC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asinA=(2b+ c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求 A 的大小; (2)若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状.

23.(2010· 陕西)如图,在△ABC 中,已知 B=45° ,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC =14,DC=6,求 AB 的长.

9.(2010· 新课标全国)在△ABC 中,D 为 BC 边上一点,BC=3BD,AD= 2,∠ADB =135° AC= 2AB,则 BD=________. .若 1 2 解析:如图,设 AB=c,AC=b,BC=a,则由题设可知 BD= a,CD= a,所以根据 3 3 2 1 2 1 余弦定理可得 b2=( 2)2+?3a?2-2× 2× acos45° 2=( 2)2+?3a?2-2× 2× acos135° ,c , ? ? ? ? 3 3 由题意知 b= 2c,

1 可解得 a=6+3 5,所以 BD= a=2+ 5. 3 答案:2+ 5 1 10.(2010· 新课标全国)在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,BD= DC,∠ADB=12 0° , 2 AD=2.若△ADC 的面积为 3- 3,则∠BAC=________. 1 解析:由∠ADB=120° 知∠ADC=60° ,又因为 AD=2,所以 S△ADC= AD· DCsin60° =3 2 1 - 3,所以 DC=2( 3-1),又因为 BD= DC,所以 BD= 3-1,过 A 点作 AE⊥BC 于 E 2 1 点,则 S△ADC= DC· AE=3- 3,所以 AE= 3,又在直角三角形 AED 中,DE=1,所以 BE 2 = 3,在直角三角形 ABE 中,BE=AE,所以△ABE 是等腰直角三角形,所以∠ABC=45° , 在直角三角形 AEC 中,EC=2 3-3,所以 tan∠ACE= =75° ,所以∠BAC=180° -75° -45° =60° . 答案:60° 三、解答题:(本大题共 3 小题,11、12 题 13 分,13 题 14 分,写出证明过程或推演步 骤.) 11.(2010· 全国Ⅰ)已知△ABC 的内角 A,B 及其对边 a,b 满足 a+b=a 求内角 C. 解:由 a+b=a 1 1 +b 及正弦定理得 tanA tanB 1 1 +b , tanA tanB AE 3 = =2+ 3,所以∠ACE EC 2 3-3

sinA+sinB=cosA+cosB, 即 sinA-cosA=cosB-sinB, π π π π 从而 sinAcos -cosAsin =cosBsin -sinBcos , 4 4 4 4 π π 即 sin?A-4?=si n?4-B?. ? ? ? ? 又 0<A+B<π, π π π 故 A- = -B,A+B= , 4 4 2

π 所以 C= . 2 12.(2010· 辽宁)在△A BC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,且 2asinA=(2b+ c)sinB+(2c+b)sinC. (1)求 A 的大小; (2)若 sinB+sinC=1,试判断△ABC 的形状. 解:(1)由已知,根据正弦 定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即 a2=b2+c2+bc. 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA, 1 故 cosA=- ,又 A∈(0,π),故 A=120° . 2 (2)由(1)得 sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC. 1 又 sinB+sinC=1,得 sinB=sinC= . 2 因为 0° <B<90° <C<90° ,0° ,故 B=C. 所以△ABC 是等腰的钝角三角形. 13.(2010· 陕西)如图,在△ABC 中,已知 B=45° ,D 是 BC 边上的一点,AD=10,AC =14,DC=6,求 AB 的长.

AD2+DC2-AC2 解: 在△ADC 中, AD=10, AC=14, DC=6, 由余弦定理得 cos∠ADC= 2AD· DC 100+36-196 1 = =- , 2 2×10×6 ∴∠ADC=120° ,∠ADB=60° . 在△ABD 中,AD=10,B=45° ,∠ADB=60° , AB AD 由正弦定理得 = , sin∠ADB sinB AD· sin∠ADB 10sin60° ∴AB= = = sinB sin45° 10× 2 2 3 2

=5 6.


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