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2.2.4 向量的线性运算--数乘(4)


江苏新课标高一数学必修④教案

东台市第一中学高一数学备课组

第五课时
教学目标:

2.1.2

向量运算(4)

1、熟练掌握向量加法、减法及实数与向量数乘的几何定义。 2、熟练运用向量加法、减法及实数与向量数乘的运算法则解题。 教学重点、难点:向量加法、减法的几何

意义,及实数与向量数乘几何意义的运用。 教学过程: 一、创设情境: 1、向量加法、减法的定义、几何意义及运算法则。 2、实数和向量数乘的定义,运算法则。 3、向量共线的定义。 二、学生活动: 1、化简下列各式: (1) PB ? OP ? OB ? _________ (2) ? OA ? OB ? CD ? OC =___________. 2、已知向量 a, b 满足

a ? 3b a ? b 1 ? ? (3a ? 2b) ,求证向量 a 和 b 共线。 5 2 5

3、在平行四边形 ABCD 中,已知 AB ? a, DB ? b ,用 a, b 表示 AD, AC . 三、数学建构及运用: 例 1:在四边形 ABCD 中, AC ? AB ? AD ,试判断四边形的形状.

变题: (1)在例 1 题设的基础加上条件____________使四边形 ABCD 为菱形. (2)在例 1 题设的基础上,加上条件____________使四边形 ABCD 为矩形。若 使四边形 ABCD 为正方形呢?

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例 2 :如图,四边形 OADB 是以向量 OA ? a, OB ? b 为边的平行四边形,又
BM ? 1 1 BC , CN ? CD ,试用 a, b 表示 OM , ON, MN . 3 3

例 3:已知 AD、BE 分别是△ABC 的边 BC、AC 上的中线,且 AD ? a , BE ? b , 用 a, b 表示向量 BC .

例 4:设 a, b 是不共线的向量,已知 AB ? 2a ? k b, BC ? a ? b, CD ? a ? 2b ,若 A、 B、D 三点共线,求 k 的值.

四、练习: (1)若 a ? ?e1 ? 3e2 , b ? 4e1 ? 2e2 , c ? ?3e1 ? 12e2 试用 b, c 表示 a . ( 2 ) 设 c1 , c2 为 不 共 线 向 量 , 则 向 量 m ? ?c1 ? k c2 (k ? R) 向 量

n ? c2 ? 2c1 且 m 与 n 共线,则 k=________________.
五、小结: (1)向量加法、减法几何定义及应用。 (2)实数与向量数乘的几何定义及应用。 六、作业:P. 67 10、12、13 P. 89 11、12

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巩 固
班级 一、基本练习: 学号


姓名





1、已知下列各式:① AB ? BC ? CA ③ OA ? OC ? BO ? CO

② ( AB ? MB) ? BO ? OM

④ AB ? AC ? BD ? CD

其中结果为 O 的个数为_________ 。 2、在平行四边形 ABCD 中,若 | AB ? AD |?| DB |?| AB | ? AD | 则下面四个结论中 正确的有_________ 。 A. AD ? O C.ABCD 是矩形 B. AB ? O 或 AD ? O D.ABCD 是正方形

3、已知 | AB |? 10, | AC |? 7 ,则 | BC | 的取值范围是_________ 。

4、a, b, a ? b 为不共线向量,且 a ? b 平分 a 与 b 的夹角,下面四个结论中正确的有 _________ 。 A. a ? b B. a ? ?b C. | a |?| b | D.A、B、C 都不对

5、给出下列结论: ①若 a, b 不共线,则 ? a ? ?b ? 0(?, ? ? R) 成立条件必有 ? ? ? ? 0 ②若 b ? ? a ,则 a || b ③若平面内的向量 e1 与 e2 不共线,且 m ? 3e1 ? 4e2 , n ? ④若 a || b ,则存在实数 ? 使 a ? ? b 上面四个结论中正确的个数为_________个。 6、已知 O 是直线 AB 外一点,C、D 是线段 AB 的三等分点且 AC=CD=DB,已 知 OA ? 3e1 , OB ? 3e2 ,则 OD ? _________ 。 7 、 已 知 AB ? a ? 5b, BC ? ?2a ? 8b, CD ? 3(a ? b) , 则 三 点 共 线 的 是 ________ 。
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3 e1 ? 2e2 ,则 m || n 2

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8、已知 a, b 是非零向量,m, n 是非零实数,下列命题正确的有_________. ① m(a ? b) ? ma ? mb ③ ma ? nb ? a ? b ② (m ? n)a ? ma ? na ④ ma ? na ? m ? n

9、△ABC 中,DE||BC 交 AB 于 D,交 AC 于 E,BC 边上的中线交 DE 于 N,

| AC |? 3 | EC |, AB ? a, AC ? b 用 a, b 表示 AN .

二、提升练习: 4 10、已知 AP ? AB ,O 是 AB 外一点,用 OA, OB 表示 OP 的表示式为________ 3 _ 。

11、在△ABC 中, AB ? a, AC ? b ,O 为△ABC 所在平面上一点, (1)若 AO ?
1 (a ? b) 则 AO 所在直线过△ABC 的_________ 心。 2

(2)若 AO ?

a |a|

?

b |b|

则 AO 所在直线过△ABC 的_________ 心。

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