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湖南省长郡中学2015届高三第五次月考数学(理)试题(PDF高清扫描版)


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炎德英才大联考长郡中学# 五 $ " %届高三月考试卷

数 ! 学 理科 
长郡中学高三数学命题组组稿

得分  !!!!!!! 填空题和解答题三部分 共&页时量" # $分钟  !!本试题卷包括选择题 满分" % $分  一 选择题  本大题共! 每小题#分 共# 在每小题给出的四个选 "小题 "分 ! 项中 只有一项是符合题目要求的$ ' 所对应的点位于复平面内 复数 # " ! # ! ' 第一象限 () 第三象限 +) 已知离散型随机变量 # ! " 的分布列为

学!号!

密!!封!!线!!内!!不!!要!!答!!题

姓!名!

第二象限 * ) 第四象限 ,) # " $ " " $

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则 " 的数学期望$ " .

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班!级!

% * ) # +) ,) () # # # 已知 % 是定义在 % 上的奇函数 当 &#$ 时 则函数 ! & & .& !& %

& . & ! &/ -的零点的集合为 ' %         () " * ) ! ! " "       +) # !槡 0 " ,) ! # !槡 0 " 2 1 ) * 在 记&( 项的系数为%  则%   1 ! " / & " / ) * $ / ( 的展开式中       # " / " # / $ . % % % () 1 % * ) 2 $ 已知命题   % ! + &$,%- 则非 + 是 () & 不属于,&+) & 不属于, 且& 不属于+) " # $ ,) # " $

* ) & 不属于, 或& 不属于-

学!校!

,) &$,&若执行如图所示的程序框图  输出 的值为  则判断框中 2 ! . 应填入的条件是  () /' 2  * ) /' 0  +) /' &  ,) /' 3

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已知三棱锥的底面是边长为"的正三角形% 其正视图与俯视图如图所示% 0 ! 则其侧视图的面积为

槡 () 1

槡 * ) #

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& " & 已知函数%! % & ! &" . 4 &" . 5 6 / 的图象分别与直线 (.) 交于 ,% '! # # 两点% 则 的最小值为 , ( (
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 % 设函数%! ! ! 且其图象关于直线 ! &" .槡 7 ' 6 # &/ / 8 9 7 # &/ 3 ( ' " "(  # 则 &. $对称 %

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! "  上为增函数 的最小正周期为 % 且在 ! % * ) &" $ (. %! # 1"  上为减函数 的最小正周期为  % 且在 ! % +) &" $ (. %! #"  上为减函数 的最小正周期为 % 且在 ! % ,) &" $ (. %! # 1"
 上为增函数 的最小正周期为  % 且在 $ % () &" (. %! #
# 对于三次函数%! " % 给出定义# 设% 是函 " $ ! &" . 0 & / 1 & / 2 &/ 3! 0) $ 4! &" 数(. 的导数% 是% 的导数 % 若方程 % 5! 4! 5! &" &" &" &" .$ 有实数解 %! %

则称点! " 为函数(.%! 的* 拐点 + 某同学经过探究发现# & & & &" ! %! $% $% $" 任何一个三次函数都有* 拐点+ , 任何一个三次函数都有对称中心% 且* 拐 " - " # % 则 " 就是对称中心 ! 设函数'! 点+ &" . & ! & /&! % / ' # " # #$ " %

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# #$ " 1 /-/ . '! ! #$ " %" #$ " %" * ) #$ " 1 +) #$ " % ,) #$ " 2

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选择题答题卡
题!号 答!案 " # 1 % 2 0 & 3 " $ 得分

炎德英才大联考理科数学! 长郡版" !# !

二$ 填空题 # 本大题共&小题% 考生作答#小题 % 每小题#分% 共' 把答案 #分 ! 填在答题卡中对应题号后的横线上! ! 一" 选做题! 请考生在第! % % 如果全做% 则按前 ! ! ' ! (三题中任选两题作答% 两题记分" 如图 % 点 7 在半圆上% 垂足为 8% 且, " " ! , - 是半圆6 的直径% 7 8*, -% 8. 设 +7 % 则: % 8 -% 6 8. ; 6  的值为!!!!!!!

&.槡 -/ 8 9 7  已知 在 平 面 直 角 坐 标 系 & 圆 7 的 参 数 方 程 为, % " # ! 6 ( 中% " / 7 ' 6 .  (. ! % 以6 直 线9 的 极 坐 标 方 程 为 & 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系% 为参数"
 % 则圆 7 截直线9 所得的弦长为 !!!!!! 8 9 7 / . $  2 不等式 &/ " # 则实数0 " ! 0! # / 7 ' 6( 对一切非零实数&% ( ( ( 均成立% & 的取值范围为!!!!!! ! 二" 必做题! ! ) ! &题" 

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&! " $ / (/ 已知点 是不等式组 " 1 ! , &/ $ 所表示的平面区域内的一个动点% / (! ,

. &# " 10 10 点 -! % " % 则6 ! " " 6 为坐标原点% ,.6 -的取值范围是!!!!!!
# # ( 如 图% 已 知 过 椭 圆& ! 12$" 的左顶点 " % ! # / # ." 02 0 1

" 作直 线9 交( 轴 于 点 #% 交 椭 圆 于 点 :% 若 ,! ! 0% $ 1 1 0 0 且# 则椭圆的离心率 6 # 是等腰三角形% :.#: ,% 3, 为 !!!!!! 等边 3, % 取各边的三等分点并连线 % 可以将 3, " 2 ! 7 的边长为# 7 分成 如图所示的3个全等的小正三角形% 记这 3 个小正三角形的重心分别为

1; 1; 1; 1; 1; 1; 0 /0" 0 /0" 0 /0" -% 则 ! ; ; ; ; , , , ( "% #% -% 3% " " /! # # /-/! 3 3 (
. !!!!!!

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三$ 解答题 # 本大题共&小题% 共* 解答应写出文字说明$ 证明过程或演 #分 ! 算步骤 ! ! 本小题满分" " 0 ! #分" 某车间甲组有" 其中有1名女工人, 乙组有 % 名工人% 其中有 $名工人% 名女工人 % 现采用分层抽样方法 ! 层内采用不放回简单随机抽样 " 从甲$ 乙两组中共抽取-名工人进行技术考核! ! " 求从甲 $ 乙两组各抽取的人数, " ! " 记表示抽取的-名工人中男工人数% 求的分布列及数学期望 ! #

! 本小题满分" " & ! #分" 在 3, 角 ,% % % 若槡 7 中% -% 7 的对边分别是0% 1 2 0 8 9 77. 2 7 ' 6,! ! " 求角 7 的大小, " -槡 -% 10 10 ! " 若0. % 求7 # 7 的面积为 ,., -的值! 3, #

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! 本小题满分" " 3 ! #分" 如图 % 在四棱锥 #!, 底面 , 7 8 中% 7 8 为矩 形% % # ,* 平面 , 7 8% , -.# ,. " , 8.槡 -% < 是# -中 点% $ 为7 上一点! ! " 求证# " , <* 平面 # 7, ! " 当二面角 7!# # $ 为何值时% $!8 为1 % < !

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! 本小题满分" # $ ! -分" # 已知数列' 的前* 项和为. " 0 . # ! / "0 *# " ! *( *% *. *! *
* ! " 求证# 数列 0 是等比数列, " *

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" " " - " 试比较 * " 设数列' 的前* 项和为=*% ! # # 0 , / / / / ! *( *. = = = = " # * # 的大小 , ! * 与 * 0 *

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! 本小题满分" # " ! -分"
# 如图% 点 < 为抛物线7"# 6 为坐标原点% & .

" 的焦点% 且抛物线 7 # $ + (! +2 " 上点 # 处的
# # 切线与圆7## & / "相切于点 :! (.

! " 当直线 # 求 " : 的方程为&! #.$ 时% (!槡 抛物线 7 " 的方程 ,
" ! " 当正数 + 变化时 % 记. 求. 的最 # . < # :% 6 : 的面积% 3< "% # 分别为 3 . #

小值 !

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! 本小题满分" # # ! -分"
# 已知函数%! &" . # 5 6&! & ! 0 &!

! " 当0# 讨论函数%! 在 "% " -时 % &" /= 上的单调性 , #

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" 如果& ! 的两个零点% 且& 是函数 ! # & &" & 1 & 4! &" % "% # 是函数 % "' #' "% # & & "/ # 的导函数% 用& &" & 4 $ ! 2 %! % "% # 表示0 并证明 # -

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炎德  英才大联考 长郡中学 # 五" $ " % 届高三月考试卷 !
数学 ! 理科 " 参考答案
一# 选择题 题!号 答!案 二# 填空题 % 解析% # % " 槡 令圆 " 的半径为#& 即" " " ! !$ $0" %0" &0#& 1$ '0 % ' %& 2" '0 #& $ '0 #& % '0 #! & & & # % # # 由相交弦定理可得' & ' 0$ '% '0 # & + % 槡 # % & ' & % 故答案为槡 % 槡 槡 2 & '0 #& 2 3 4 5 0 0 0 & !  & " ' # # # # & 解析% 由 " # ! '槡 #!$ " , # & . ' / % / ( / ) / * , + / " $ ,

(0槡 &6 & 7 8 9 &0 & 7 8 9   & 得 (!槡 & 两式平方相加得' " 6 & 9 : 5 " 0 & 9 : 5   )0 )! # # ! " " & (!槡 & 6! " 0 + )!    由 & 得' & 7 8 9 0 $ 0 $ 9 : 5 6 8 9 7 8 9 ! 9 : 5   7 ( ( ( 即槡 & (! $ & )0

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&;槡 &! " 槡 " " 如图圆心 &! " 到直线槡 & " (! $的距离为 0 " && & 槡 )0 # # ! " " & 6! ! " 槡 槡
# # 所以直线*被圆& 所截得的弦长为 $ % 0 #槡 & 0 '槡 #! ! " " " 故答案为'槡 #!

" ) & * 解析% * & & " & ! " & 1 (6 #! !<& ! # # 6<" !$ $) ( " & & 其最小值为# & 2 (6 # 6<" #) ( 又1 & 故不等式 (6 " % 有 & 解得+# ) & * & 故答 9 : 5 +! # 6 9 : 5 +! # " " & " " " " & ) 的最大值为" ) 恒成立时& ( 案为) & * " & ! ) & * 解析% 作出不等式组对应的平面区域如图' " ' !! "" !$ ( (' ' 设 $! & " & ( ) ,0" $" %0! (6 )& 由,0! & 得 表示斜率为 (6 (6 , "纵截距为, 的一组平行直线& ) )0 平移直线)0 & 当直线 经过点 直线)0 (6 , (6 , ' 时& (6 , 的截距最 )0 小& 此时, 最小& 当直线)0 直线)0 此时, 最大& (6 , 经过点% 时& (6 , 的截距最大& (0 " (0 " 由 & 解得 & 即 %! & " & 此时, " # " 6 # 0 " ! = 4 >0! (6 & 0 $ # )! )0 (! & " 0 $ (0 # )6 由 & 解得 & 即 '! & " 此时, # " # 6 " 0! " ! = : 50! (6 & 0 $ " )! )0 故! & 故答案为) & * " ,& " ! " " ! &

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#槡 % 解析% " & & " % ! !$ 1)$ " - 是等腰三角形& $! ! +& $ 2-! $ +" ! % ( ' ( ' 设 .! & ! ( 1.0 #. $& 2! ( +" 0 # ! +! ( ! ! $& $" $& $! $& $" ) ) ) 炎德英才大联考理科数学参考答案! 长郡版" !" !

# + ( + $0! ( # +! # ( & $0! $  解得* 2 ! " +0! # $! $ ) ) + $0 ) , &



' # " # + + # # " 1 / #槡 % 故答案为#槡 % 代入椭圆方程得 +# 6 +# 0  化为/ " ! 2 0 0 0 " ! #0 ! ! #0 % + % % + / + + 解析 边长为#  " ( ! (槡 &! 1)$ % & 为等边三角形



# (' & 且(' (' 槡  3 4 0  $ '6% 20  " " " + & (4 ' (4 ' (4 ' (4 '  2 $ % 6  6 $ % " " "6 " +6 + " (' (' % (' (' % (' (' " (' (' 0 $ '63 4 % 263 4 $ '63 4 % 263 4 "6 " 66 "6 " # # # # ' (4 故答案为(槡 0 % ' (槡 &! &! 3 " 0 三 解答题 解   因为甲组有" 乙组有%名工人 从甲 乙两组中共抽取&名工人进行技术考核 根据分层抽 " ) ! " $名工人 样的原理可直接得到 在甲中抽取#名 乙中抽取"名!   '分   的可能取值为     # $ " # &  # " / / ( ' &   - 0 $ 0 #  "0  ) % / / " $ % " " " # " / / / / / # * ' ( & ' #  - 0 " 0 #  "6 #  "0   ) % / / / / " % " % $ $ # " / / " $ ( #  - 0 & 0 #  "0   ) % / / " % $ & "     - 0 # 0 " !- 0 $ !- 0 " !- 0 & 0 !     ) % 的分布列为 2$ '0% 20









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( # * & " " $ * 故3 0 $ ; 6 " #分 " ; 6 # ; 6 & ; 0 !   ) % ) % ) % ) % % 解   " * ! " 1槡 & + 7 8 9 &0 1 9 : 5$ 由正弦定理得   7 8 9 &0 9 : 5& 9 : 5$ 1 $ 2 9 : 5$. $ & 9 : 5$ 槡 -$- 即3 又$  2槡 & 7 8 9 &0 9 : 5& 4 5&0槡 & &- 2 &0    分 ! ( &

&槡 & " " &  &槡     # 1 +0 & % & 的面积为 2 50 + / 9 : 5&0 ; & / 9 : 5 0 2 / 0 # )$ # # # & # # # #  # 6 ) ! & ) 槡 槡 # 由余弦定理得  即1 1 0 ' 6 + ! ( 0 ) 0槡 ) 7 8 9$0 0  " ' # ; # ;槡 ) ) 0! (' (' 则  & $$ %0 / 1 7 8 9 !$ 0 #槡 ); !槡 " !  " #分  " ' 解   证明 以 $ 为原点 建立空间直角坐标系 " + ! " $ ' 为( 轴 $ % 为) 轴 $ - 为, 轴                    1$ %0$0 " $ '0槡 & 2 是% 中点 2$ $ $ $ - $ $ " % $ " $ & " $ ' $ $ & & 槡 槡 " "  " "  (' (' (' (' (' (' ('            %0 $ " ! " &0 " ! " 2$ $ 20 $ 1$ 2 %0 $ $ 2&0 $ & 槡 # # # # 2$ 2/% $ 2/& 2$ 2/平面 % &!   (分 ( ' ( '   设%          # 30 + 23 + " $ ' 30 +!槡 & " $ '0 $ ! " & 槡 设平面   ' 3 的法向量0 ( , ) 则

 










('  ' 30 +!槡 & (6 $ )0  取(0  得0    " " + &! & 槡 槡 ( ' '0槡 & (! ,0 $
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"& " & 二面角 (' 平面 & & & 3 的法向量为 $ 20 $ 1 &!3!' 为' % ? # # " &! + 槡 # 解得 %槡 && # 槡 (' + 0 & 2 7 8 9 & $ 2,0 +0 # ( # # 槡 +! #槡 & +6 ) 槡 # %槡 &时& 二面角 &!2当 % 30 3!' 为' % ? !  ! " #分" ( "& 解' ! " 由+ # $ ! " 5 # ! & + "0 "0 " 得+ "0 # # # 由5 # ! # ! 6 "+ 6 "+ 60 6 得5 6 ! "0 6 ! "& 6 6! " # # 于是+ 5 5 6 "+ 6 "+ 60 6! 6 ! "0 6 ! "! 6& 6! " 6 " + 6 6 ! " 6 整理得+ ! " & 所以数列 + 是首项及公比均为 " 的等比数列! ! 0 ; 6% # %分" # 6 # 6! " 6 6 ! " " " " 6 ! " 由! " 得+ # " 0 ; 0 6! # 6 # # "" 6! 66 " " " & 6 于是# & 0 # 0 + 6& 7 " 6 # 6 & 66 60 60 60 ! " # 6! # 7 66 " 66 " 6 6 " " " 6 " " " # $ # " ! ! 0 #" ! 0 6 ! 66 ! 60 # # & 6 66 " 66 " 66 " 6 6 " 6 6 " 6 6 的大小& 又 # 0# # & 问题转化为比较# # 与 # 即# 与 6 的大小! # 6 + " 66 " 6 6 66 6 6 6 # 6 设8! 6" 0 #& 6" 0 ! 9! 66 " 6 6) ! " * # 66! # ! " " & 1 66 " ! 6" 0 )! 8! 8! # " * 666 " 当6% " & &时 & 66 " ! 6" $ . 8! 8! 单调递增& 2当6% &时8! 6" " & 而9! & & 2当6% '时 & 6" ' 0 " 6" " 2当6% '时8! 6" 6" % . 8! 8! 9! 经检验60 & & 时 & 仍有 ! " ! " & "#& 86 . 96 # 因此& 对任意正整数6& 都有8! & 即$ 6" 6" !  ! " &分" . 69! 6 + 6 # # ( ( 求导 ( $ # 解' ! " 设点 - ( & 由( " 得& ;0 & # " ! " 0 # $ : )! :. )0# & ) $& # : : : # ( $ $ 因为直线 & 所以( & 解得 :0 . 的斜率为" 0 "且 ( !槡 #0 $ #槡 #& $! # : : # 所以抛物线 &  ! '槡 # %分" "的方程为 ( 0 )! # ( ( $ $ # ! " 因为点 - 处的切线方程为' & 即# & # (! ( ( (! # ( $ $" $ $0 )!# 0 ! : )! : : # ! ( " $ ' # #& 根据切线与圆切& 得<0 & 即 " & 化简得( = 0 " ' ( ' $0 $6 : # # ' ( ' $6 槡 : # # ( (! # ( $ $0 $ : )! # + ' ! ( $ # # 由方程组* & 解得 . # & & (6 " )0 ( # $ : ' # # , ( ' ( ' $ $! $! :0

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湖南省长郡中学2015届高三上学期第五次月考数学(理)试题 Word版含解析

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湖南省长郡中学2015届高三第五次月考数学文试题

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湖南省长沙市长郡中学2015届高三上学期第五次月考数学试卷(文科)

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湖南省长沙市长郡中学2015届高三数学上学期第二次月考试卷 理(含解析)

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