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集合与函数单元测试题


集合与函数单元测试题 班级 一、选择题
1. 设集合 P= ?x 0 ? x ? 4? ,Q= ? y 0 ? y ? 2? ,由以下列对应 f 中不能 构成 A 到 B 的 .. 映射的是 A. y ? x
2 1

姓名

成绩



) B. y ? x
3 1<

br />
C. y ? x
3

2

D. y ? x
8

1

2.下列四个函数: (1)y=x+1; 与值域相同的是( ) A.(1)(2) B.(1)(2)(3)
c

(2)y=x+1;

(3)y=x2-1;

(4)y= ,其中定义域
x

1

C.2)(3)

D.(2)(3)(4) )

3.已知函数 f ( x ) ? ax 7 ? bx ? ? 2 ,若 f (2006) ? 10 ,则 f ( ?2006) 的值为(
x

A.10

B. -10

C.-14

D.无法确定

( a ? b) ? ( a ? b) ? f ( a ? b) ??1( x ? 0) ( a ? b) 的值为( 4.设函数 f ( x) ? ? ,则 ) 2 ?1 ( x ? 0) A.a B.b C.a、b 中较小的数 D.a、b 中较大的数

5.已知矩形的周长为 1,它的面积 S 与矩形的长 x 之间的函数关系中,定义域为 ( ) A. x 0 ? x ?

?

1 4

?

B.

?

x 0? x?

1 2

?

C.

?

x

1 4

?x?

1 2

?

D.

?

x

1 4

? x ?1

?

6.已知函数 y=x2-2x+3 在[0,a](a>0)上最大值是 3,最小值是 2,则实数 a 的取值 范围是( ) A.0<a<1 B.0<a ? 2 C. ? a ? 2 D. 0 ? a ? 2 7.已知函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,且在(-∞,0] 上是减函数,若 f ( a ) ? f (2) , 则实数 a 的取值范围是( ) A.a≤2 B.a≤-2 或 a≥2 C.a≥-2 D.-2≤a≤2 8.已知奇函数 f ( x) 的定义域为 (??, 0) ? (0, ??) ,且对任意正实数 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,恒 有
f ( x1 ) ? f ( x2 ) x1 ? x2 ? 0 ,则一定有(

) C. f (?5) ? f (3) D.f (?3) ? f (?5) )

A. f (3) ? f ( ?5) 9.已知函数 f ( x ) ?

B. f (?3) ? f (?5)
1? x 1? x

的定义域为 A,函数 y=f(f(x))的定义域为 B,则(

A.A ? B ? B

B. A ? B ? A

C.A ? B ? ?

D.A ? B ? A

10.已知函数 y=f(x)在 R 上为奇函数,且当 x ? 0 时,f(x)=x2-2x,则 f(x)在 x ? 0 时的解析式是( ) 2 A. f(x)=x -2x B. f(x)=x2+2x C. f(x)= -x2+2x D. f(x)= -x2-2x 11 . 已 知 二 次 函 数 y=f(x) 的 图 象 对 称 轴 是 x ? x0 , 它 在 [a,b] 上 的 值 域 是 [f(b),f(a)],则 ( ) A. x0 ? b B. x0 ? a C. x0 ? [a, b] D. x0 ? [a, b] 12. 如果奇函数 y=f(x)在区间[3,7]上是增函数, 且最小值为 5, 则在区间[-7,-3] 上( ) A.增函数且有最小值-5 B. 增函数且有最大值-5 C.减函数且有最小值-5 D.减函数且有最大值-5

二、填空题
13.已知函数 f ( x ) ?
x
2 2

1? x

,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f ( ) ? f ( ) ?
2 3

1

1

. . .

14. 设 f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x-1),则 g(x)= 15.定义域为 [a 2 ? 3a ? 2, 4] 上的函数 f(x)是奇函数,则 a= 16. 关于函数 y ? log2 ( x2 ? 2x ? 3) 有以下 4 个结论:其中正确的有
① 定义域为 (??, ?3] ? (1, ??); ③ 最小值为 1; ② 递增区间为 [1, ??); ④ 图象恒在 x 轴的上方

三、解答题
17.作出函数 y ? ? x2 ? 2x ? 3 的图象,并利用图象回答下列问题: (1)函数在 R 上的单调区间; (2)函数在[0,4]上的值域.

18.定义在 R 上的函数 f(x)满足:如果对任意 x1,x2∈R,都有 f(

x1 ? x2 2

)≤

1 2

[f(x1)+f(x2)] ,则称函数 f(x)是 R 上的凹函数.已知函数 f(x)=ax2+x 且 a≠0),求证:当 a>0 时,函数 f(x)是凹函数;

(a∈R

19.设函数 f ( x) ? a ?

2 , 2 ?1
x

(1)求证:不论 a 为何实数 f ( x ) 总为增函数; (2)确定 a 的值, 使 f ( x ) 为奇函数及此时 f ( x ) 的值域.

20 . 定 义 在 ( - 1 , 1) 上 的 函 数 f(x) 满 足 : 对 任 意 x 、 y ∈ ( - 1 , 1) 都 有

f(x)+f(y)=f(

x? y 1 ? xy

).

(1)求证:函数 f(x)是奇函数; (2)如果当 x∈(-1,0)时,有 f(x)>0,求证:f(x)在(-1,1)上是单调递 减函数;

21.记函数 f(x)的定义域为 D,若存在 x0∈D,使 f(x0)=x0 成立,则称以(x0,y0) 为坐标的点是函数 f(x)的图象上的“稳定点” . (1)若函数 f(x)=
3x ? 1 x?a

的图象上有且只有两个相异的 “稳定点” , 试求实数 a 的取

值范围; (2)已知定义在实数集 R 上的奇函数 f(x)存在有限个“稳定点” ,求证:f(x)必 有奇数个“稳定点”

单元测试答案 1.C; 2. A; 3.C; 4.C; 5.B; 6.C; 7.B; 8.D; 9.B; 10.D; 11.D; 12.B; 13. 2.5; 14. g(x)=2x-3; 15. 1 或 2; 17. 解 : (1) 在 ( ??, ?1] 和 [1, 3] 上分别单调递减 ; 在 [-1,1] 和 [3, ??) 上分别单调递 增. (2) 值域是[0,4] 18.(1)证明:对任意 x1、x2∈R,∵a>0,∴f(x1)+f(x2)-2f( =ax12+x1+ax22+x2-2[a( = a(x1-x2)2≥0.∴f(
2 1 x1 ? x2 2 x1 ? x2 2 1 2

x1 ? x2 2

)

)2+

x1 ? x2 2



)≤ [f(x1)+f(x2)],∴f(x)是凹函数.

19.解: (1)

f ( x) 的定义域为 R, ? x1 ? x2 ,

2 ? (2 x1 ? 2 x2 ) 2 2 ? a ? x2 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a ? x = , 2 1 ?1 2 ? 1 (1 ? 2 x1 )(1 ? 2 x2 )
x1 ? x2 , ? 2x1 ? 2x2 ? 0,(1 ? 2x1 )(1 ? 2x2 ) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,
即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以不论 a 为何实数 f ( x ) 总为增函数.??6 分 (2)

f ( x) 为奇函数, ? f (? x) ? ? f ( x) ,即 a ?

2 2 ? ?a ? x , 2 ?1 2 ?1
?x

解得: a ? 1. ? f ( x) ? 1 ? 由以上知 f ( x) ? 1 ?

2 . 2 ?1
x

2 2 2 x ? 1 ? 1 ,? 0 ? x ? 2, , 2 ?1 2 ?1 2 ??2 ? ? x ? 0?? , ? 1 f x ( ?) 1 2 ?1
x

所以 f ( x ) 的值域为 (?1,1). ??12 分 20.(1)证明:令 x=y=0,则 f(0)+f(0)=f(0),故 f(0)=0.

令 y=-x,则 f(x)+f(-x)=f(

x?x 1? x
2

)=f(0)=0.∴f(-x)=-f(x),即函数
x1 ? x2 1 ? x1 x2

f(x)是奇函数.
(2)证明:设 x1<x2∈(-1,1),则 f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f( ∵x1<x2∈(-1, 1), ∴x2-x1>0, -1<x1x2<1.因此
x1 ? x2 1 ? x1 x2

). )

<0, ∴f(

x1 ? x2 1 ? x1 x2

>0, 即 f(x1)>f(x2).∴函数 f(x)在(-1,1)上是减函数.

21.解: (1)设 P(x1, y1), Q(x2, y2)(x1≠x2)是函数 f(x)=

3x ? 1 x?a

的图象上的两个“稳

定点”, ? 3x ? 1 ? x ? ?x ?a ∴? ,即有 x12+ax1=3x1-1(x1≠-a),x22+ax2=3x2-1(x2≠-a). ? 3x ? 1 ? x ? ? x ?a 有 x12+(a-3)x1+1=0(x1≠-a),x22+(a-3)x2+1=0(x2≠-a). ∴x1、x2 是方程 x2+(a-3)x+1=0 两根,且 x1, x2≠-a,∴x≠-a, ∴方程 x2+(a-3)x+1=0 有两个相异的实根且不等于-a. ?? ? ( a ? 3) 2 ? 4 ? 1 ? 0, 1 ∴? ∴a>5 或 a<1 且 a≠- . 2 3 ?( ?a) ? ( a ? 3)( ?a) ? 1 ? 0.
1 1 1 2 2 2

∴a 的范围是(-∞,- )∪(- ,1)∪(5,
3 3

1

1

(2)∵ f(x)是 R 上的奇函数,∴ f(-0)=-f(0),即 f(0)=0.∴ 原点(0,0)是函数 f(x)的“稳定 点”,若 f(x)还有稳定点(x0,y0),则∵ f(x)为奇函数,f(-x0)=-f(x0),f(x0)=x0,∴ f(- x0)=-x0,这说明:(-x0,-x0)也是 f(x)的“稳定点”.综上所述可知,f(x)图象上的“稳 定点”除原点外是成对出现的,而且原点也是其“稳定点” ,

∴它的个数为奇数.


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