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重庆市万州分水中学高中数学《1.5定积分的概念》导学案 新人教A版选修2-2


重庆市万州分水中学高中数学《1.5 定积分的概念》导学案 新人教 A 版选修 2-2
学习目标 1.理解曲边梯形面积的求解思想,掌握其方法步骤; 2.了解定积分的定义、性质及函数在上可积的充分条件; 3.明确定积分的几何意义和物理意义; 4.无限细分和无穷累积的思维方法. 学习过程 一、课前准备 (预习教材,找出疑惑之处) 复习 1:函数 y ? (sin x 2 )3

的导数是

复习 2:若函数 y ? log a ( x2 ? 2 x ? 3) 的增区间是 (??, ?1) ,则 a 的取值范围是

二、新课导学 学习探究 探究任务一:曲边 梯形的面积 问题:下图的阴影部分类似于一个 梯形,但有一边是曲线 y ? f ( x) 的一段,我们把直线 x ? a , x ? b (a ? b) , y ? 0 和曲线 y ? f ( x) 所围成的图形称 为曲边梯形. 如何计算这个曲边 梯形的面积呢?

研究特例:对于

x ? 1 , y ? 0 , y ? x 2 围成的图形(曲边三角形)的面积如何来求呢?

新 知:1.用流程图表示求曲边三角形面积的过程 分割 ? 近似代替 ? 求和 ? 取极限

-1-

2.定积分的定义: ? f ( x)dx ? lim?
b a

b?a f (?i ) n ?? n i ?1
n

3.定积分的几何意义: 4.定积分的性质: (1) ? kf ( x)dx ? k ? f ( x )dx ( k 为常数)
a a b b

(2) ? [ f1 ( x) ? f 2 ( x)]dx ? ? f1 ( x )dx ? ? f 2 ( x )dx
a a a

b

b

b

(3) ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx (其中 a ? c ? b )
a a c

b

c

b

试试:求 直线 x ? 0, x ? 2, y ? 0 与曲线 y ? x 2 所围成的曲边梯形的面积.

反思:在求曲边 梯形面积过程中,你认为最让你感到困难的是什么?(如何分割,求和逼近 是两大难点)

典型例题 例 1 利用定积分的定义,计算 ? x 3 dx 的值
0 1

变式:计算 ? x 3dx 的值,并从几何上解释这个值表示什么?
0

2

-2-

例 2 计算定积分 ? (2 x ? x 2 )dx
0

1

变式:计算定积分 ? (1 ? x)dx
1

2

动手试试 练 1. 计算 ? x 3 dx ,并从几何上解释这些值分别表示什么.
0 1

练 2. 计算 ? x 3 dx ,并从几何上解释这些值分别表示什么.
?1

0

-3-

三、总结提升 学习小结 1. 求曲边梯形的面积; 2. 会计算定积分. 知识拓展 定积分把曲边梯形的面积、变速直线运动的路程这两个背景和实际意义截然不同的问题 的结果,表示成了同样的形成.这显示这定积分的强大威力,也再一次表明了数学的威力. 学习评价

当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续, ( F ( x) ? C)? ? f ( x) , C 为常数) 则 lim 且 ( , A. F ( x) B. f ( x) C.0 D. f ?( x) 2. 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续,则 f ( x) 在 [a, b] 上的平均值为( b f (a) ? f (b) A. B. ? f ( x )dx a 2 b 1 1 b C. ? f ( x)dx D. f ( x)dx 2 a b ? a ?a 几何意义和性质 ? f ( x)dx =(
?a a

?x ?0

F ( x ? ?x) ? F ( x) ( ? ?x





3. 设 f ( x) 是连续函数,且为偶函数,在对称区间 [?a, a] 上的定积 分 ? f ( x)dx ,由定积分的
?a

a


0 ?a

A.0 C. ? f ( x)dx
?a x 0

B. 2 ? f ( x ) dx D. ? f ( x )dx
0 x
2

a

4. 5.

? e dx 与 ? e
0 0

1

1

dx 的大小关系为

?

3

?3

1 (sin 5 x ? )dx = 2

课后作业

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