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江苏省泰州市姜堰区2014届高三上学期期中考试数学试题


江苏省泰州市姜堰区 2013~2014 学年度第一学期期中考试

高三数学试题(数学Ⅰ)
(考试时间:120 分钟 总分 160 分)
注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸相应的答题 线上. ) 1.集合 A ? ? ,2?

, B ? ?2,3?,则 A ? B ? 1
2 2. ? x ? R, x ? 2 ? 0 ”的否定是 “

▲ .



▲ ▲ . .

1

3.函数 f ( x) ? x 2 的定义域为 4.函数 f ( x) ? 2 的值域为
x



5. lg 2 ? lg 5 ? 6.已知 ? ? (0,





?
2

), cos ? ?

1 ,则 sin ? ? 3



. ▲ . ▲ .

7.数列 ?a n ? 满足 a n ?1 ? 2a n ,若 a1 ? 1 ,则 a 4 ?

8.设等差数列 ?a n ? 前 n 项和为 S n ,若 S m ?1 ? ?1, S m ? 0, S m ?1 ? 2 ,则 m ? 9.设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? e
x

( e 为自然对数的底数),则

f ? ln6 ? 的值为





10.已知全集 U ? R 集合 A ? x x ? x ? 6 ? 0 , B ? x x ? 2 x ? 8 ? 0 ,
2 2

C ? x x 2 ? 4ax ? 3a 2
2

?

? ? 0?,若 C

?

?

?

U

( A ? B) ? C ,则实数 a 的取值范围是





11.已知方程 x ? 2 m x ? 2n ? 1 ? 0 (其中 m ? 0, n ? 0 )有两个相等的实根,则

1 1 ? 的最小值为 m n
12.已知函数 f ( x) ? ?



. ,若 f ( x) ? ax ,则 a 的取值范围是

?log 2 ( x ? 1), x ? 0
2 ?? x ? 2 x , x ? 0





13.设 u (n) 表示正整数 n 的个位数,例如 u (23) ? 3 , an ? u (n 2 ) ? u (n) ,则数列 ?an ?的前

2012 项和等于





14.如图, A, B, C 是直线上三点, P 是直线外一点, AB ? BC ? 1 , ?APB ? 90? , P 300 l A B C

?BPC ? 30? ,则 PA ? PC =

??? ??? ? ?





二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本题满分 14 分) 设已知 a ? (2 cos (Ⅰ)若 ? ? ? ? (Ⅱ)若 a ? b ?

?

? ??
2

, sin

? ??

? ? 2? ,且 a ? 2b ,求 ? 、? 的值; 3

? ? ?? ? ?? 其中 ) , ? (cos b , 3sin ) , ? 、? ? (0, ? ) . 2 2 2

? ?

5 ,求 tan ? tan ? 的值. 2

16. (本题满分 14 分)

?y ? x ? 不等式组 ? y ? 0 表示的平面区域为 A. ?x ? 4 ?
(Ⅰ)画出平面区域 A,并求面积; (Ⅱ)点 ( x, y ) 在平面区域内,求 z ? 2 x ? y 的取值范围; (Ⅲ)一次函数 y ?

1 x ? b 的图像平分区域 A 的面积,求 b . 2

17. (本题满分 14 分)

已知等差数列 {a n } 中, a1 ? ?19,5a5 ? 11a8 . (Ⅰ)求数列 {a n } 的前 n 项和 S n 的最小值; (Ⅱ)求数列 {| a n |} 的前 n 项和 Tn .

18. (本题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax (a ? R ) .
3 2

(Ⅰ)若 f ' (1) ? 3 , (i)求曲线 y ? f (x) 在点 ?1, f (1) ? 处的切线方程, (ii)求 f (x) 在区间 [0,2] 上的最大值; (Ⅱ)若当 x ? [0,2] 时, f ( x) ? x ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

19. (本题满分 16 分)

某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,布设一个对角线在 l 上的四边形电气线路, 如图所示,为充分利用现有材料,边 BC,CD 用一根 5 米长的材料弯折而成,边 BA,AD 用 一根 9 米长的材料弯折而成,要求 ?A 和 ?C 互补,且 AB=BC. (Ⅰ)设 AB=x 米,cosA= f ( x) ,求 f ( x) 的解析式,并指出 x 的取值范围; 求四边形 ABCD 面积的最大值.

20.(本题满分 16 分) 设 ?An Bn C n 的 三 边 长 分 别 为 a n , bn , c n , 面 积 为 f (n) , 已 知 a1 ? 4, b1 ? 5, c1 ? 3 ,

a n ?1 ? a n , bn ?1 ?

an ? cn a ? bn , c n ?1 ? n (n ? N *) . 2 2

(Ⅰ)求数列 ?bn ? c n ?的通项公式; (Ⅱ)求证:无论 n 取何正整数, bn ? c n 恒为定值; (Ⅲ)判断函数 f (n)(n ? N *) 的单调性,并加以说明.

2013~2014 学年度第一学期期中考试

高三数学试题(数学Ⅱ)
(考试时间:30 分钟 总分 40 分)
注意事项:所有试题的答案均填写在答题纸上,答案写在试卷上的无效. 21.(本题分 A、B 两题,每题 10 分) A.已知二次函数 f (x) 有两个零点 1,2,且在 y 轴上的截距为 3. (Ⅰ)求函数 f (x) 的解析式;(Ⅱ)求函数 y ? f (x) 在区间[0,3]上的值域.

B.在等比数列 {a n } 中. (Ⅰ)已知 a1 ? 3, a 6 ? 96 ,求 S 5 ;(Ⅱ)已知 a1 ? 1, a n ? 81, S n ? 121 ,求 q .

22.(本题 10 分)设平面向量 a ? ( 3 ,?1), b ? ( ,

1 3 ) ,若存在实数 m(m ? 0) 和角 ? ,其中 2 2

? ? ? ? (? , ) ,使向量 c ? a ? (tan 2 ? ? 3)b, d ? ?ma ? b ? tan ? ,且 c ? d .
(Ⅰ)求 m ? f (? ) 的关系式; (Ⅱ)若 ? ? [?

2 2

? ?

, ] ,求 f (? ) 的最小值,并求出此时的 ? 值. 6 3

23.(本题 10 分) 已知 f ( x) ?

1 ? ln x . x

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在区间 (a, a ? 1) 上有极值,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? x ? 2 x ? k 有实数解,求实数 k 的取值范围;
2

(Ⅲ)当 n ? N * , n ? 2 时,求证: nf (n) ? 2 ?

1 1 1 . ? ? ??? ? 2 3 n ?1

参考答案
一、填空题: 1. ? ,2,3? 1 2. ?x ? R, x ? 2 ? 0
2

3. [0,??)

4. (0,??) 10. ( ?2,? )

5. 1

6.

2 2 3

7. 8

8.3

9. ln 6 ?

1 6
14. ?

4 3

11. 3 ? 2 2 二、解答题

12 . [?2,0]

13.2

4 7

? ?? ? ?? ? ? ? ?2 cos 2 ? 2 cos 2 ? 15.解:(Ⅰ)∵ a ? 2b ,∴ ? ,----------------2 分 ? ?? ? ?? ?sin ? 6 sin ? 2 2 ?
∴ sin

? ??
2

? 0 ,∴

? ??
2

? k? ,----------------------4 分 ? (?

而 ? 、? ? (0, ? ) ,∴ 又? ? ? ? (Ⅱ)

? ??
2

? ?

, ) ,∴ 2 2

? ??
2

? 0 ,即 ? ? ? ,---6 分

2? ,所以, ? ? 3

??

?
3

---------------------------7 分

a ? b ? 2 cos 2

1 ? cos(? ? ? ) 1 ? cos(? ? ? ) ? 3? 2 2 2 2 5 3 cos(? ? ? ) 5 ? ? cos(? ? ? ) ? ? ----------------------10 分 2 2 2 ? 3 sin 2 ? 2?

? ??

? ??

∴ 2 cos(? ? ? ) ? 3 cos(? ? ? ) ? 0 ,即 ? cos ? cos ? ? 5 sin ? sin ? ? 0 ∴

1 tan ? tan ? ? ? -------------------------14 分 5 16.解: (Ⅰ)不等式 y ? x 表示直线 y ? x 及直线下方的平
面区域;不等式 y ? 0 表示直线 y ? 0 及直线上方的平面 区域;不等式 x ? 4 表示直线 x ? 4 及直线左侧的平面区 域。所以,这三个平面区域的公共部分,就是原不等式组 所表示的平面区域。

x?4
y

y?x
4

o

4

x

由图像可得: S ?

1 ? 4 ? 4 ? 8 --------------------------4 分 2

(Ⅱ)将目标函数变形为 y ? ?2 x ? z ,平移直线 y ? ?2 x ? z ,当它经过 (4,4) 时截 距 z 最大为 12;当它经过 (0,0) 时截距 z 最小为 0.所以 z 的取值范围是

[0,12] ------8 分
(Ⅲ) y ?

1 x ? b 的图像经过区域 A 时, b ? [?2,2] ,------------------9 分 2 1 当 b ? [?2,0] 时, S ? (b ? 2)(4 ? 2b) ? 4 ,∴ b ? 2 ? 2, b ? 0 ------11 分 2 1 当 b ? (0,2] 时, S ? (4 ? 2b)(4 ? 2 ? b) ? 4 ,∴ ? b ? 2 ? 2, b ? 0 (舍) 2
∴ b ? 0 ---------------------------------------------14 分

----13 分

17. 解: (Ⅰ)a1 = –19,5a5 = 11a8,5(a1+4d) = 11(a1+7d),5a1+20d = 11a1 + 77d, ∴6a1 = –57d,即 6×(–19) = –57×d,∴d = 2---------------2 分 ∴an = –19 + (n-1)×2= 2n – 21--------------------------3 分 当 an<0 时,2n<21,n<

21 ,即当 n≤10 时,an<0,当 n>11 时,an>0 2

∴Sn 最小值为 S10-------------------------------------6 分 S10 = 10×(–19)+

10 ? 9 ? 2 = –100----------------------------7 分 2

(Ⅱ)∵a10<0,a11>0 当 n≤10 时,Tn = –a1–a2??–an= –Sn =–n2+20n------------------10 分 当 n ≥ 11 时 , Tn = –a1–a2 ? ? –a10+a11+a12+ ? ? +an= Sn–2S10= n2–20n+200----13 分 –n2+20n ∴Tn = n2–20n+200 n≥11 n≤10 --------------------------14 分

18. (Ⅰ) (i)f '(x) = 3x2–2ax,f '(1) = 3–2a = 3,∴a = 0,∴y=x3-------------------2 分 f(1)=1, ' (x) = 3x2, ' (1) = 3, f f ∴切点 (1, , 1) 斜率为 3, = 3x–2------------4 y 分

(ii)f(x) = x3,f ' (x) = 3x2≥0,∴f(x)在[0,2],∴f(x)最大值=f(2)=8--------8 分 (Ⅱ)x3–ax2+x≥0 对 x∈[0,2]恒成立,∴ax2≤x3+x-------------------10 分 当 x = 0 时成立---------------------------------------12 分 当 x∈(0,2]时 a≤x+

1 1 ,∵x+ ≥2,在 x=1 处取最小值--------15 分 x x

∴a≤2---------------------------------------16 分

19. 解:(Ⅰ)在△ABD 中,由余弦定理得

BD 2 ? AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos A 。
同理,在△CBD 中, BD 2 ? CB 2 ? CD 2 ? 2CB ? CD ? cos C ----3 分 因为∠A 和∠C 互补。 所以 AB 2 ? AD 2 ? 2 AB ? AD ? cos A = CB 2 ? CD 2 ? 2CB ? CD ? cos C = CB 2 ? CD 2 ? 2CB ? CD ? cos A .---5 分 即 x ? (9 ? x) ? 2 x(9 ? x) cos A ? x ? (5 ? x) ? 2 x(5 ? x) cos A .
2 2 2 2

解得 cos A ?

2 2 ,即 f ( x) ? ,其中 x ? (2,5) .-----------------8 分 x x

(Ⅱ)四边形 ABCD 的面积

S?

1 1 ( AB ? AD ? CB ? CD ) sin A ? [ x(5 ? x) ? x(9 ? x)] 1 ? cos 2 A 2 2

2 ? x(7 ? x) 1 ? ( ) 2 ? ( x 2 ? 4)(7 ? x) 2 ? ( x 2 ? 4)( x 2 ? 14 x ? 49) .------11 分 x
记 g ( x) ? ( x ? 4)( x ? 14 x ? 49) , x ? (2,5) .
2 2



g ' ( x) ? 2 x( x 2 ? 14 x ? 49) ? ( x 2 ? 4)(2 x ? 14) ? 2( x ? 7)(2 x 2 ? 7 x ? 4) ? 0 ,
解得: x ? 4( x ? 7和x ? ?

1 舍) . --------------------------14 分 2

函数 g (x) 在区间(2,4)内单调递增,在区间(4,5)内单调递减 因此 g (x) 的最大值为 g (4) ? 12 ? 9 ? 108 .

所以 S 的最大值为 108 ? 6 3 . 答:所求四边形 ABCD 面积的最大值为 6 3m .---------------- 16 分 20. (Ⅰ)an+1 = an,∴a1=4,∴an=4,∴bn+1= 2分 ∴ bn ?1 ? c n ?1 ?
2

4 ? cn cn b ? 4 bn ? ? 2 , c n ?1 ? n ? ? 2 -2 2 2 2

c n ? bn 1 ? ? (bn ? c n ) ,∴b1–c1=5–3=2,∴{bn–cn}为等比, 2 2
1 2

∴bn–cn = 2 ? (? ) n ?1 ------ --------------------------------4 分

(Ⅱ)∵bn+1 =

cn b b ? cn ? 2 ,cn+1= n ? 2 ,∴bn+1+ cn+1 = n ? 4 --------6 分 2 2 2 bn ? c n 1 ? 4 = (bn ? c n ? 8) ,而 b1+c1–8=5+3–8=0,∴bn+cn–8=0 2 2

bn+1+ cn+1–8=

∴bn+cn=8------------------- -----------------an = 4 bn–cn = 2 ? (? ) n ?1 ,∴bn = 4+ (? ) n ?1 ,cn =4– (? ) n ?1 -------10 分 bn+cn=8 令 m = (? ) n ?1 ,则 an = 4,bn = 4+m,cn = 4–m,∴cosA =

1 2

1 2

1 2

1 2

m2 ? 8 16 ? m 2

∴sinA =

4 3 ? 4 ? n2 --------------------------------------12 分 16 ? m 2

1 4 3 ? 4 ? m2 1 2 ? (16 ? m ) ? f(n) = SABC = ? bn ? c n ? sin A = 2 2 16 ? m 2
= 2 3 4?m ? 2 3 4?( )
2

1 4

n ?1

-------------------------14 分

当 n 增大时, ( ) n ?1 减小, 4 ? ( ) 法二:∵BnCn = 4 AnBn+AnCn=8

1 4

1 4

n ?1

增大,∴f(n) 递增----------16 分

∴An 落在以 Bn、Cn 为焦点的椭圆上------------10 分

∵|bn–cn|= 2 ? ( ) n ?1 当 n 增大时, |bn–cn| 减小,即 An 点在向椭圆短轴端点靠近, 即 BnCn 边上的高在增大,则 f(n)= S ?An BnCn 在增大------------14 分 ∴f(n)递增----------------------------------------16 分

1 2

姜堰区 2013~2014 学年度第一学期期中考试

高三数学(Ⅱ)参考答案
21 A.解: (Ⅰ)设 f(x)=a(x–1)(x–2), f(0)=a·2=3,∴a= ∴f(x) =

3 2

3 (x–1)(x–2) ---------------------------------5 分 2 3 3 3 (Ⅱ)f(x)= (x2–3x+2),当 x= 时,f(x) 最小 = ? ,当 x=0 或 3 时 f(x) 最大 =3 2 2 8 3 ∴值域为[ ? ,3] ---------------------------------10 分 8
B 解: (Ⅰ)a1 = 3,a6 = 96,q5 = 32,q = 2, ∴S5 =

3(1 ? 2 5 ) =3×31=93 ---------------------------------5 分 1? 2
n-1

a1 (1 ? q n ) 1 ? q ? 81 ? (Ⅱ)∵a1 =1,an = 81,∴q≠1,∴q = 81,∴Sn = =121 1? q 1? q
∴1–81q=121–121q,∴40q=120,∴q=3------------------10 分

22.



:
2

(



)


2

c?d

,



a ? b ? 0, a ? 2, b ? 1





c ? d ? ?ma ? (tan3 ? ? 3 tan? )b ? 0
∴ m ? f (? ) ?

1 ? ? (tan 3 ? ? 3 tan ? ),? ? (? , ) -----------------------5 分 4 2 2

(Ⅱ)设 t ? tan ? ,又∵ ? ? [?

? ?

3 1 , 3 ] ,则 m ? g (t ) ? (t 3 ? 3t ) , ] ,∴ t ? [? 3 6 3 4

m' ? g ' (t ) ?
∴ t ? (?

3 2 (t ? 1) 令 g ' (t ) ? 0 得 t ? ?1 (舍去) t ? 1 4

3 ? ,1) 时 g ' (t ) ? 0 , t ? (1, 3 ) 时 g ' (t ) ? 0 ,∴ t ? 1 时,即 ? ? 时, 3 4

g (1) 为极小值也是最小值, g (t ) 最小值为 ?

1 .--------------------10 分 2

1 ? x ? (1 ? ln x) ln x 1 ? ln x 23. 解:(Ⅰ)? f ( x) ? ,∴ f ?( x) ? x ? ?? 2 2 x x x
∴当 x ? (0,1) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, f ?( x) ? 0 ; ∴函数 f ( x) 在区间(0,1)上为增函数;在区间 (1, ??) 为减函数 ∴当 x ? 1 时,函数 f ( x) 取得极大值,而函数 f ( x) 在区间 (a, a ? 1) 有极值. ∴?

? a ?1 ,解得 0 ? a ? 1 . ?a ? 1 ? 1

----------------------3 分

(Ⅱ)由 (Ⅰ) f ( x) 的极大值为 f (1) ? 1 , g ( x) ? x ? 2 x ? k , 得 令 所以当 x ? 1 时,
2

函数 g ( x) 取得最小值 g (1) ? k ? 1 ,又因为方程 f ( x) ? x ? 2 x ? k 有实数解,那么
2

k ?1 ? 1 ,
即 k ? 2 ,所以实数 k 的取值范围是: k ? 2 . (Ⅲ)? 函数 f ( x) 在区间 (1, ??) 为减函数,而 1 ? ∴ f (1 ? ) ? f (1) ? 1 ∴ 1 ? ln(1 ? ) ? 1 ? ? ? ------6 分

1 ? 1(n ? N *, n ? 2) , n

1 n

1 n

1 1 ,即 ln(n ? 1) ? ln n ? n n
1 1 1 ----? ? ??? ? 2 3 n ?1

? ln n ? ln 2 ? ln1 ? ln 3 ? ln 2 ? ??? ? ln n ? ln( n ? 1) ? 1 ?
-8 分

1 1 1 ,而 n ? f (n) ? 1 ? ln n , ? ? ??? ? 2 3 n ?1 1 1 1 ∴ nf (n) ? 2 ? ? ? ??? ? 结论成立. ----------------------10 分 ? 2 3 n ?1
即 1 ? ln n ? 2 ?


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