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2013高考百天仿真冲刺卷(理科数学试卷三)


2013 高考百天仿真冲刺卷

数 学(理) 试 卷(三)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1) x ? 2 ”是“ x ? 4 ”的 “ (A)充分非必要条件 (C)充要条件
2

(2)已知数列 ? an ? 为等差数列,且 a1 ? 2 , a2 ? a3 ? 13 ,那么则 a4 ? a5 ? a6 等于 (A) 40 (B) 42 (C) 43 (D) 45 (3)已知函数 f ( x) 对任意的 x? R 有 f ( x) ? f (? x) ? 0 ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? ln( x ? 1) ,则函数 f ( x) 的大致图像为 y O x O x y y y

(B)必要非充分条件 (D)既不充分也不必要条件

O

x

O

x

??? ??? ??? ? ? ? ??? ???? ? ??? ? (4)已知平面上不重合的四点 P , A , B , C 满足 PA ? PB ? PC ? 0 ,且 AB ? AC ? mAP ,那么实 数 m 的值为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (5)若右边的程序框图输出的 S 是 126 ,则条件①可为 (A) n ? 5 (B) n ? 6 (C) n ? 7 (D) n ? 8 ? ? 1 (6)已知 ? ? ( , ?) , tan(? ? ) ? ,那么 sin ? ? cos? 的值为 2 4 7 1 7 (A) ? (B) 5 5 3 7 (C) ? (D) 5 4 1 1 x (7)已知函数 f ( x) ? ( ) ? x 3 ,那么在下列区间中含有函数 f (x) 零点的是 2 1 1 1 (A) (0, ) (B) ( , ) 3 3 2 1 2 2 (C) ( , ) (D) ( ,1) 2 3 3
(8)空间点到平面的距离定义如下:过空间一点作平面的垂线,这个点和垂足之间的距离叫做这个点到 这个平面的距离.已知平面 ? , ? ,? 两两互相垂直,点 A ∈ ? ,点 A 到 ? ,? 的距离都是 3 ,点 P 是 ? 上的动点, 满足 P 到 ? 的距离是 P 到点 A 距离的 2 倍, 则点 P 的轨迹上的点到 ? 的距离的最小值 是 (A)

(A)

(B)

(C)

(D)

3? 3
1

(B) 3 ? 2 3

(C) 6 ? 3

(D) 3 第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 (9)如果 (m2 ? i)(1 ? mi) 是实数,那么实数 m ? . (10)已知曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? cos ? , ( ? 为参数) ,则曲线上点 C 到直线 3x ? 4 y ? 4 ? 0 的距 ? y ? sin ?
频率 组距 0.035 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 体重(kg)

离的最大值为 . (11)从某地高中男生中随机抽取 100 名同学,将他 们的体重(单位:kg)数据绘制成频率分布直 方图(如图) .由图中数据可知体重的平均值 为 kg;若要从体重在[ 60 , 70) , [70 ,80) , [80 , 90]三组内的男生中,用 分层抽样的方法选取 12 人参加一项活动,再 从这 12 人选两人当正负队长,则这两人身高 不在同一组内的概率为 . (12)如图,已知圆 O 的半径为 3 ,从圆 O 外一点 A 引切线 AD 和割线 ABC ,圆心 O 到 AC 的距

40 50 60 70 80 90 离 为 2 2 , AB ? 3 , 则 切 线 AD 的 长 为 . (13) 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点作倾斜角为 60? 的直线, 与抛物线分别交于 A ,B 两 C 点(点 A 在 x 轴上方) ,

AF BF

?

. B

(14)已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , a2 ? 2 , a3 ? 3 , a4 ? 4 , a5 ? 5 ,且当 n≥5 时,

?O
D

an?1 ? a1a2 ? an ? 1 , 若 数 列 {bn } 满 足 对 任 意 n? N* , 有
bn ? 1a ? a 2
n

?2 a

1

?2 ?? a 2a


? a ,则 b5= n
2

A ;当 n≥5 时,

bn ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c 分,且满足 (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 a ? 2 5 ,求△ ABC 面积的最大值.

2c ? b cos B . ? a cos A

2

(16) (本小题共 14 分) 已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是菱形.?BCD ? 60? , AB ? PB ? PD ? 2 ,PC ? 3 , AC 与 BD 交于 O 点, E , H 分别为 PA , OC 的中点. P (Ⅰ)求证: EC ∥平面 BDE ; (Ⅱ)求证: PH ? 平面 ABCD ; (Ⅲ)求直线 CE 与平面 PAB 所成角的正弦值.
E

D H O A B

C

(17) (本小题共 13 分) 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格就签约. 乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为 合格的概率都是 ,且面试是否合格互不影响. ,乙、丙面试

(Ⅰ)求至少有 1 人面试合格的概率; (Ⅱ)求签约人数 的分布列和数学期望.

(18) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x, g ( x) ?

x 2 ? . ex e

(Ⅰ)求函数 f ( x) 在区间 [1,3] 上的最小值; (Ⅱ)证明:对任意 m, n ? (0, ??) ,都有 f (m) ? g (n) 成立.

3

(19) (本小题共 13 分)

y 2 x2 2 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 , 且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形 2 a b 的顶点.斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于 P , Q 两点,线段 PQ 的垂直平分线与 y 轴相交于点 M (0, m) .
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求 的取值范围; (Ⅲ)试用 表示△ MPQ 的面积,并求面积的最大值.

(20) (本小题共 14 分) 对于 n ? N (n ? 2) ,定义一个如下数阵:
*

? a1n ? ? a 22 ? a 2 n ? ? ? ?? ? a n 2 ? a nn ? ? 其中对任意的 1 ? i ? n , 1 ? j ? n ,当 i 能整除 j 时, aij ? 1 ;当 i 不能整除 j 时, aij ? 0 .设 a12
t ( j ) ? ? aij ? a1 j ? a 2 j ? ? ? a nj .
i ?1 n

? a11 ? ?a Ann ? ? 21 ? ? ?a ? n1

(Ⅰ)当 n ? 6 时,试写出数阵 A66 并计算

? t ( j) ;
j ?1

6

(Ⅱ)若 [x] 表示不超过 x 的最大整数,求证: (Ⅲ)若 f (n) ?
n

? t ( j) ? ?[
j ?1
i ?1

n

n

n ]; i

n1 1 ? t ( j ) , g (n) ? ?1 xdx ,求证: g (n) ?1 ? f (n) ? g (n) ?1 . n j ?1

4

2013 高考百天仿真冲刺卷

数学(理)试卷(三)参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)B (2)B (3)A (5)C (6)B (7)B 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) ? 1 (10) 3 (11) 64 .5 (4)C (8)C

(13) 3 (14) 65 70 ? n 注:两个空的填空题第一个空填对得 2 分,第二个空填对得 3 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)因为

2 3

(12) 15

2c ? b cos B , ? a cos A 所以 (2c ? b) ? cos A ? a ? cos B 由正弦定理,得 (2sin C ? sin B) ? cos A ? sin A ? cos B . 整理得 2sin C ? cos A ? sin B ? cos A ? sin A ? cos B . 所以 2sin C ? cos A ? sin( A ? B) ? sin C . 在△ ABC 中, sin C ? 0 . 1 ? 所以 cos A ? , ?A ? . 2 3 2 b ? c2 ? a2 1 ? ,a ? 2 5 . (Ⅱ)由余弦定理 cos A ? 2bc 2 2 2 所以 b ? c ? 20 ? bc ? 2bc ? 20 所以 bc ? 20 ,当且仅当 b ? c 时取“=” . 1 所以三角形的面积 S ? bc sin A ? 5 3 . 2 所以三角形面积的最大值为 5 3 .

(16) (共 14 分) (Ⅰ)证明:因为 E , O 分别为 PA , AC 的中点, 所以 EO ∥ PC . 又 EO ? 平面 BDE , PC ? 平面 BDE . 所以 PC ∥平面 BDE . (Ⅱ)证明:连结 OP , 因为 PB ? PD , 所以 OP ? BD . 在菱形 ABCD 中, BD ? AC , 又因为 OP ? AC ? O , 所以 BD ? 平面 PAC . 又 PH ? 平面 PAC , 所以 BD ? PH .
5

E

D H O A B

C

在直角三角形 POB 中, OB ? 1 , PB ? 2 , 所以 OP ? 3 . 又 PC ? 3 , H 为 OC 的中点,所以 PH ? OC . 又因为 BD ? OC ? O 所以 PH ? 平面 ABCD . (Ⅲ)解:过点 O 作 OZ ∥ PH ,所以 OZ ? 平面 ABCD . 如图,以 O 为原点, OA , OB , OZ 所在直线为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系. 可得, A( 3, 0, 0) , B(0,1, 0) , C (? 3, 0, 0) ,

3 3 3 3 , 0, ) , E ( , 0, ) . 2 2 4 4 ??? ? ??? ? 3 3 3 所以 AB ? (? 3,1, 0) , AP ? (? , 0, ) , 2 2 ??? ? 5 3 3 CE ? ( , 0, ) . 4 4 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 PAB 的一个法向量,则 ??? ? ?? 3x ? y ? 0 ?n ? AB ? 0 ? ? ,即 ? 3 3 , ? ? ??? 3 x? z ?0 ?n ? AP ? 0 ?? ? ? 2 2 令 x ? 1 ,则 n ? (1, 3, 3) . P(?
设直线 CE 与平面 PAB 所成的角为 ? ,可得 sin ? ? cos n, CE 〉 〈 ? 所以直线 CE 与平面 PAB 所成角的正弦值为

??? ?

4 . 7

4 . 7

(17) (共 13 分) 解: (Ⅰ)用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立, 且 至少有1人面试合格的概率是 .

(Ⅱ) 的可能取值为0,1,2,3.

= =

= =

6

∴ 的分布列是 0 1 2 3

的期望 (18) (共 13 分) (Ⅰ)解:由 f ( x) ? x ln x ,可得 f ?( x ) ? ln x ? 1 . 当 x ? (0, ), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递减, 当 x ? ( , ??), f ?( x) ? 0, f ( x) 单调递增. 所以函数 f ( x) 在区间 [1,3] 上单调递增, 又 f (1) ? 0 , 所以函数 f ( x) 在区间 [1,3] 上的最小值为 0 . (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)可知 f ( x) ? x ln x( x ? (0, ??)) 在 x ? 又 f( )?? ,

1 e

1 e

1 时取得最小值, e

1 e

1 e

1 . e x 2 1? x 由 g ( x) ? x ? ,可得 g '( x) ? x . e e e 所以当 x ? (0,1), g '( x) ? 0, g ( x) 单调递增, 当 x ? (1, ??), g '( x) ? 0, g ( x) 单调递减. 所以函数 g ( x)( x ? 0) 在 x ? 1 时取得最大值, 1 又 g (1) ? ? , e 1 可知 g ( n) ? ? , e 所以对任意 m, n ? (0, ??) ,都有 f (m) ? g (n) 成立.
可知 f (m) ? ? (19) (共 13 分) 解: (Ⅰ)依题意可得,

c 2 ? ,b ? c , a 2 2 2 2 又a ? b ?c , 可得 b ? 1, a ? 2 .
所以椭圆方程为

y2 ? x 2 ? 1. 2 (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? kx ? 1 , ? y ? kx ? 1, ? 2 2 由 ? y2 可得 (k ? 2) x ? 2kx ? 1 ? 0 . 2 ? ? x ? 1, ?2 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,
7

?2k 1 , x1 x2 ? ? 2 . 2 k ?2 k ?2 4 可得 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 2 . k ?2
则 x1 ? x2 ? 设线段 PQ 中点为 N ,则点 N 的坐标为 ( 由题意有 k MN ? k ? ?1 ,

?k 2 , 2 ), k ?2 k ?2
2

2 k ? 2 ? k ? ?1 . 可得 k 2 k ?2 1 可得 m ? 2 , k ?2 又 k ? 0, 1 所以 0 ? m ? . 2 (Ⅲ)设椭圆上焦点为 F , 1 则 S?MPQ ? ? FM ? x1 ? x2 . 2 m?
2

x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
由m ?
2

8(k 2 ? 1) , ( k 2 ? 2) 2

1 1 2 ,可得 k ? 2 ? . k ?2 m 1 8( ? 1) m 所以 x1 ? x2 ? ? 8m(1 ? m) . 1 m2 又 FM ? 1 ? m ,
所以 S ?MPQ ?

2m(1 ? m)3 .
3

所以△ MPQ 的面积为 2 m(1 ? m) ( 0 ? m ? 设 f (m) ? m(1 ? m) ,
3

1 ) . 2

则 f ' (m) ? (1 ? m) (1 ? 4m) .
2

1 1 4 2 1 1 27 所以,当 m ? 时, f (m) 有最大值 f ( ) ? . 4 4 64 3 6 1 所以,当 m ? 时,△ MPQ 的面积有最大值 . 8 4
(20) (共 14分) (Ⅰ)解:依题意可得,

可知 f (m) 在区间 (0, ) 单调递增,在区间 ( , ) 单调递减.

1 4

8

?1 ? ?0 ?0 A66 ? ? ?0 ?0 ? ?0 ?
6 j ?1

1 1 1 1 1? ? 1 0 1 0 1? 0 1 0 0 1? ?. 0 0 1 0 0? 0 0 0 1 0? ? 0 0 0 0 1? ?

? t ( j ) ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 14 .
(Ⅱ)解:由题意可知, t ( j ) 是数阵 Ann 的第 j 列的和, 因此

? t ( j ) 是数阵 A
j ?1

n

nn

所有数的和.

而数阵 Ann 所有数的和也可以考虑按行相加. 对任意的 1 ? i ? n ,不超过 n 的倍数有 1i , 2i ,?, [ ]i . 因此数阵 Ann 的第 i 行中有 [ ] 个1,其余是 0 ,即第 i 行的和为 [ ] .

n i

n i

n i

n ]. j ?1 i ?1 i n n n (Ⅲ)证明:由 [x] 的定义可知, ? 1 ? [ ] ? , i i i n n n n n n 所以 ? ? n ? ? [ ] ? ? . i ?1 i i ?1 i i ?1 i n n 1 1 所以 ? ? 1 ? f (n) ? ? . i ?1 i i ?1 i n1 考查定积分 ? dx , 1 x n n1 1 将区间 [1, n] 分成 n ? 1 等分,则 ? dx 的不足近似值为 ? , 1 x i?2 i n ?1 n1 1 ?1 xdx 的过剩近似值为 ? i . i ?1 n n ?1 n1 1 1 所以 ? ? ? dx ? ? . 1 x i?2 i i ?1 i n n 1 1 所以 ? ? 1 ? g (n) ? ? . i ?1 i i ?1 i n n 1 1 所以 g (n) ?1 ? ? ? 1 ? f (n) ? ? ? g (n) ? 1 . i ?1 i i ?1 i 所以 g (n) ? 1 ? f (n) ? g (n) ? 1 .
所以

? t ( j) ? ?[

n

n

9


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