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河北省衡水市冀州中学2016届高三(上)第一次月考数学试卷(文科)(解析版)


2015-2016 学年河北省衡水市冀州中学高三(上)第一次月考数 学试卷(文科)
一、选择题: (共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的. ) 1.集合 A={0,1,2},B={x|﹣1<x<2},则 A∩B=( ) A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{0,1,2} 2.已知 f(x)= A.1 B.1 或± C.± ,若 f(x)=3,则 x 的值是( D. ,则 f(3)=( ) )

3.已知 f(x+1)=﹣f(x)且

A.﹣1 B.0 C.1 D.1 或 0 4.下列有关命题的说法错误的是( ) 2 A.命题“若 x ﹣3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0” B.“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C.若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.对于命题 p:? x∈R,使得 x2+x+1<0.则¬p:? x∈R,均有 x2+x+1≥0 5.计算 21og63+log64 的结果是( ) A.log62 B.2 C.log63 D.3 6.已知幂函数 f(x)=kxα(k∈R,α∈R)的图象过点( , A. B.1 C. D.2 ) ) ,则 k+α=( )

7.下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( A.y=2|x| B.y=x3 C.y=﹣x2+1 D.y=cosx 8.已知 a=log0.60.5,b=ln0.5,c=0.60.5.则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 9.函数 f(x)=log2(x+2)﹣ (x>0)的零点所在的大致区间是( A. (0,1) B. (1,2) C. (2,e) D. (3,4) )

10.已知函数 f(x)=log0.5(x2﹣ax+3a)在[2,+∞)单调递减,则 a 的取值范围( ) A. B.[4,+∞) C.[﹣4,4] D. (﹣∞,4] (﹣4,4] 11.已知函数 y=﹣xf′(x)的图象如图(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数) ,下面四个图 象中,y=f(x)的图象可能是( )

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A.

B.

C.

D.

12.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1)恒成立,则不等式 f(1﹣x)<0 的解集为( ) A. C. (﹣∞,0) B. (0,+∞) (﹣∞,1) D. (1,+∞) 二.填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若二次函数 y=x2﹣2ax+1 在区间(2,3)内是单调函数,则实数 a 的取值范围是 14.已知曲线 y= x3+ ,则过点 P(2,4)的切线方程是 .



15.已知 f1(x)=sin x+cos x,fn+1(x)是 fn(x)的导函数,即 f2(x)=f1′(x) ,f3(x) * =f2′(x) ,…,fn+1(x)=fn′(x) ,n∈N ,则 f2014(x)= . 16.若函数 f(x)对一切 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,若 f(﹣3)=a,用 a 表示 f(12)= . 三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤. ) 17.已知集合 A={x|x2﹣5x+4≤0},集合 B={x|2x2﹣9x+k≤0}. (1)求集合 A; (2)若 B? A,求实数 k 的取值范围. 18.已知条件 p:实数 x 满足(x﹣a) (x﹣3a)<0,其中 a>0;条件 q:实数 x 满足 8<2x+1 ≤16. (1)若 a=1,且“p 且 q”为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 q 是 p 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 19.已知函数 f(3x﹣2)=x﹣1(x∈[0,2]) ,函数 g(x)=f(x﹣2)+3. (1)求函数 y=f(x)与 y=g(x)的解析式,并求出 f(x) ,g(x)的定义域; 2 2 2 h x = g x g x y=h x ( )设 ( ) [ ( )] + ( ) ,试求函数 ( )的最值. 20.已知函数 f(x)=ax3+bx+c 在点 x=2 处取得极值 c﹣16. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)若 f(x)有极大值 28,求 f(x)在[﹣3,3]上的最小值. 21.已知函数 f(x)= 的定义域为(0,+∞) .

(Ⅰ)求函数 f(x)在[m,m+1](m>0)上的最小值; (Ⅱ)对任意 x∈(0,+∞) ,不等式 xf(x)>﹣x2+λx﹣1 恒成立,求实数 λ 的取值范围. 22.已知函数 f(x)=lnx﹣mx+ (m∈R)

(Ⅰ)当 m≤ 时,讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)设 g(x)=x2﹣2x+n,当 m= 时,若对任意 x1∈(0,2) ,存在 x2∈[1,2],使 f

(x1)≥g(x2) ,求实数 n 的取值范围.
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2015-2016 学年河北省衡水市冀州中学高三(上)第一次 月考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (共 12 小题.每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一 项是符合要求的. ) 1.集合 A={0,1,2},B={x|﹣1<x<2},则 A∩B=( ) A.{0} B.{1} C.{0,1} D.{0,1,2} 【考点】交集及其运算. 【分析】直接根据交集的定义即可求解. 【解答】解:∵A={0,1,2},B={x|﹣1<x<2} ∴A∩B={0,1} 故选 C

2.已知 f(x)= A.1 B.1 或± C.±

,若 f(x)=3,则 x 的值是( D.



【考点】分段函数的应用. 【分析】直接利用分段函数,通过求解方程解答即可. 【解答】解:f(x)= ,f(x)=3,

可得当 x≤﹣1 时,x+2=3,解得 x=1 舍去, 当 x>﹣1 时,x2=3,解得 x= ,x=﹣ (舍去) . 故选:D.

3.已知 f(x+1)=﹣f(x)且 A.﹣1 B.0 C.1 D.1 或 0

,则 f(3)=(



【考点】函数的值;函数的周期性. 【分析】先根据 f(x+1)=﹣f(x)求出函数的周期,然后将 f(3)转化成 f(1) ,再根据 f (1)=f(0+1)=﹣f(0) ,将 0 代入函数解析式即可求出所求. 【解答】解:∵f(x+1)=﹣f(x) ∴f(x+2)=﹣f(x+1)=f(x) ∴f(3)=f(1+2)=f(1)=f(0+1)=﹣f(0)=0 故选 B. 4.下列有关命题的说法错误的是( ) 2 A.命题“若 x ﹣3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0”
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B.“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件 C.若 p∧q 为假命题,则 p、q 均为假命题 D.对于命题 p:? x∈R,使得 x2+x+1<0.则¬p:? x∈R,均有 x2+x+1≥0 【考点】命题的真假判断与应用;四种命题间的逆否关系;必要条件、充分条件与充要条件 的判断. 【分析】根据四种命题的定义,我们可以判断 A 的真假;根据充要条件的定义,我们可以 判断 B 的真假;根据复合命题的真值表,我们可以判断 C 的真假;根据特称命题的否定方 法,我们可以判断 D 的真假,进而得到答案. 【解答】解:命题“若 x2﹣3x+2=0 则 x=1”的逆否命题为:“若 x≠1,则 x2﹣3x+2≠0”故 A 为 真命题; “x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件.故 B 为真命题; 若 p∧q 为假命题,则 p、q 存在至少一个假命题,但 p、q 不一定均为假命题,故 C 为假命 题; 命题 p:? x∈R,使得 x2+x+1<0.则非 p:? x∈R,均有 x2+x+1≥0,故 D 为真命题; 故选 C. 5.计算 21og63+log64 的结果是( A.log62 B.2 C.log63 D.3 【考点】对数的运算性质. 【分析】利用对数性质求解. 【解答】解:21og63+log64 =log69+log64 =log636=2. 故选:B. )

6.已知幂函数 f(x)=kxα(k∈R,α∈R)的图象过点( , A. B.1 C. D.2

) ,则 k+α=(



【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【分析】根据幂函数 f(x)的定义与性质,求出 k 与 α 的值即可. 【解答】解:∵幂函数 f(x)=kxα(k∈R,α∈R)的图象过点( , ∴k=1, = ,∴α=﹣ ; ) ,

∴k+α=1﹣ = . 故选:A. 7.下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( A.y=2|x| B.y=x3 C.y=﹣x2+1 D.y=cosx 【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的性质. 【分析】利用基本函数的奇偶性、单调性逐项判断即可. 【解答】解:A 中,y=2|x|是偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,排除 A;
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B 中,y=x3 是奇函数,排除 B; C 中,y=﹣x2+1 是偶函数,且在(0,+∞)上单调递减; D 中,y=cosx 是偶函数,但在(0,+∞)上不单调,排除 D; 故选:C. 8.已知 a=log0.60.5,b=ln0.5,c=0.60.5.则( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 【考点】对数值大小的比较. 【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可得到结论. 【解答】解:log0.60.5>1,ln0.5<0,0<0.60.5<1, 即 a>1,b<0,0<c<1, 故 a>c>b, 故选:B

9.函数 f(x)=log2(x+2)﹣ (x>0)的零点所在的大致区间是( A. (0,1) B. (1,2) C. (2,e) D. (3,4)



【考点】二分法求方程的近似解. 【分析】分别求出 f(1) ,f(2)的值,从而求出函数的零点所在的范围. 【解答】解:∵f(1)= ﹣3<0,f(2)= ﹣ =2﹣ >0,

∴函数 f(x)=log2(x+2)﹣ (x>0)的零点所在的大致区间是(1,2) , 故选:B. 10.已知函数 f(x)=log0.5(x2﹣ax+3a)在[2,+∞)单调递减,则 a 的取值范围( ) A. B.[4,+∞) C.[﹣4,4] D. (﹣∞,4] (﹣4,4] 【考点】对数函数的单调性与特殊点. 【分析】令 g(x)=x2﹣ax+3a,则函数 g(x)在区间[2,+∞)内单调递增,且恒大于 0, 可得不等式,从而可求 a 的取值范围. 【解答】解:令 g(x)=x2﹣ax+3a, ∵f(x)=log0.5(x2﹣ax+3a)在[2,+∞)单调递减 ∴函数 g(x)在区间[2,+∞)内单调递增,且恒大于 0 ∴ a≤2 且 g(2)>0 ∴a≤4 且 4+a>0 ∴﹣4<a≤4 故选 D 11.已知函数 y=﹣xf′(x)的图象如图(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数) ,下面四个图 象中,y=f(x)的图象可能是( )

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A.

B.

C.

D.

【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】根据函数 y=﹣xf′(x)的图象,依次判断 f(x)在区间(﹣∞,﹣1) , (﹣1,0) , (0,1) , (1,+∞)上的单调性即可. 【解答】解:由函数 y=﹣xf′(x)的图象可知: 当 x<﹣1 时,﹣xf′(x)>0,f′(x)>0,此时 f(x)增; 当﹣1<x<0 时,﹣xf′(x)<0,f′(x)<0,此时 f(x)减; 当 0<x<1 时,﹣xf′(x)>0,f′(x)<0,此时 f(x)减; 当 x>1 时,﹣xf′(x)<0,f′(x)>0,此时 f(x)增. 综上所述,y=f(x)的图象可能是 B, 故选:B. 12.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若对于任意给定的不等实数 x1,x2,不等式 x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1)恒成立,则不等式 f(1﹣x)<0 的解集为( ) A. C. (﹣∞,0) B. (0,+∞) (﹣∞,1) D. (1,+∞) 【考点】函数单调性的性质;函数恒成立问题. 【分析】由题意可得(x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0,函数 f(x)在 R 上是减函数.再根 据函数为奇函数,可得 f(0)=0,故由 f(1﹣x)<0,可得 1﹣x>0,由此求得 x 的范围 【解答】解:不等式 x1f(x1)+x2f(x2)<x1f(x2)+x2f(x1) ,即 x1[f(x1)﹣f(x2)] x f x f x < 2[ ( 1)﹣ ( 2)], 即 (x1﹣x2)[f(x1)﹣f(x2)]<0,故函数 f(x)在 R 上是减函数. 再根据函数为奇函数,可得 f(0)=0, 故由 f(1﹣x)<0,可得 1﹣x>0,求得 x<1, 故选:C. 二.填空题:共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若二次函数 y=x2﹣2ax+1 在区间(2,3)内是单调函数,则实数 a 的取值范围是 (﹣ ∞,2]∪[3,+∞) . 【考点】二次函数的性质. 【分析】通过配方可知当 x<a 时函数单调递减、当 x>a 时单调递增,进而可得结论. 【解答】解:∵y=x2﹣2ax+1=(x﹣a)2+a﹣a2, ∴该函数的对称轴为:x=a, 且当 x<a 时函数单调递减,当 x>a 时单调递增, ∵该函数在区间(2,3)内是单调函数,
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∴a≤2 或 3≤a, 故答案为: (﹣∞,2]∪[3,+∞) . 14.已知曲线 y= x3+ ,则过点 P(2,4)的切线方程是

4x﹣y﹣4=0 或 y=x+2



【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】根据导数的几何意义求出函数在 x=2 处的导数,从而求得切线的斜率,再用点斜 式写出化简即可,注意讨论切点. 【解答】解:∵P(2,4)在 y= x3+ 上,又 y′=x2, ∴斜率 k=22=4. ∴所求直线方程为 y﹣4=4(x﹣2) ,4x﹣y﹣4=0. 当切点不是点 P 时,设切点为(x1,y1) ,根据切线过点 P,可得: x12= 又 yi= ,可解出 x1=﹣1,yi=1(舍去(2,4) ) ,

所以切线方程为 y﹣1=x+1 即切线方程为 y=x+2 故答案为:4x﹣y﹣4=0 或 y=x+2 15.已知 f1(x)=sin x+cos x,fn+1(x)是 fn(x)的导函数,即 f2(x)=f1′(x) ,f3(x) * =f2′(x) ,…,fn+1(x)=fn′(x) ,n∈N ,则 f2014(x)= cosx﹣sinx . 【考点】导数的运算. 【分析】由题意求导,可知周期性变化,从而解得. 【解答】解:∵f1(x)=sin x+cos x, ∴f2(x)=(sin x+cos x)′=cosx﹣sinx, ∴f3(x)=﹣sin x﹣cos x, ∴f4(x)=sin x﹣cos x, ∴f5(x)=sin x+cos x; 故 f2014(x)=f2012+2(x) =f2(x)=cosx﹣sinx, 故答案为:cosx﹣sinx. 16.若函数 f(x)对一切 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,若 f(﹣3)=a,用 a 表示 f(12)= ﹣4a . 【考点】抽象函数及其应用. 【分析】由题意得到函数 f(x)为奇函数,从而求得可得 f(12)=4f(3)=﹣4f(﹣3)的 值. 【解答】解:∵函数 f(x)对一切 x,y∈R 都有 f(x+y)=f(x)+f(y) ,令 x=y=0,可得 f(0)=0. 再令 y=﹣x,可得 0=f(x)+f(﹣x) ,即 f(﹣x)=﹣f(x) ,故函数 f(x)为奇函数. 由题意可得 f(12)=f(3)+f(3)+f(3)+f(3)=4f(3)=﹣4f(﹣3)=﹣4a, 故答案为:﹣4a.

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三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 70 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演算步骤. ) 17.已知集合 A={x|x2﹣5x+4≤0},集合 B={x|2x2﹣9x+k≤0}. (1)求集合 A; (2)若 B? A,求实数 k 的取值范围. 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【分析】 (1)解不等式,可得集合 A; (2)若 B? A,分类讨论,求实数 k 的取值范围. 【解答】解: (1)∵x2﹣5x+4≤0, ∴1≤x≤4, ∴A=[1,4]; (2)当 B=?时,△=81﹣8k<0,求得 k> .

∴当 B≠?时,有 2x2﹣9x+k=0 的两根均在[1,4]内, 设 f(x)=2x2﹣9x+k,则

解得 7≤k≤



综上,k 的范围为[7,+∞) . 18.已知条件 p:实数 x 满足(x﹣a) (x﹣3a)<0,其中 a>0;条件 q:实数 x 满足 8<2x+1 ≤16. (1)若 a=1,且“p 且 q”为真,求实数 x 的取值范围; (2)若 q 是 p 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围. 【考点】复合命题的真假;充要条件. 【分析】 (1)通过解不等式得到条件 p:a<x<3a,根据指数函数的单调性得到条件 q:2 <x≤3,所以 a=1 时,p:1<x<3,而由 p 且 q 为真知 p 真 q 真,所以 x 满足 解该不等式即得实数 x 的取值范围; (2)若 q 是 p 的充分不必要条件,则 a 满足 ,解该不等式即得 a 的取值范围. ,

【解答】解: (1)由(x﹣a) (x﹣3a)<0 且 a>0,可得 a<x<3a; 当 a=1 时,有 1<x<3; 由 8<2x+1≤16,可得 2<x≤3; 又由“p 且 q”为真知,p 真且 q 真,所以实数 x 的取值范围是(2,3) ; (2)由 q 是 p 的充分不必要条件可知:p 得不到 q,而 q 能得到 p; ∴ ,1<a≤2;

∴实数 a 的取值范围是(1,2]. 19.已知函数 f(3x﹣2)=x﹣1(x∈[0,2]) ,函数 g(x)=f(x﹣2)+3.
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(1)求函数 y=f(x)与 y=g(x)的解析式,并求出 f(x) ,g(x)的定义域; 2 2 (2)设 h(x)=[g(x)] +g(x ) ,试求函数 y=h(x)的最值. 【考点】函数的定义域及其求法;函数解析式的求解及常用方法. 【分析】 (1)设 t=3x﹣2,于是有 f(t)=log3(t+2)﹣1,求出 t 的范围,把 t 换为 x,可得 f(x)的解析式,进一步可求 g(x)的解析式, 再根据解析式求函数 f(x)与 g(x)的定义域; (2)设 t=log3x,则 h(x)=t2+6t+6,这样就把原来的函数变成关于 t 的二次函数,用二次 函数求最值. 7], 【解答】 解: (1) 设 t=3x﹣2, ∵0≤x≤2, ∴﹣1≤3x﹣2≤7, ∴t∈[﹣1, 则 x=log3 (t+2) , f t =log t 2 1 t 1 7 于是有 ( ) 3( + )﹣ , ∈[﹣ , ] ∴f(x)=log3(x+2)﹣1(x∈[﹣1,7]) , 根据题意得 g(x)=f(x﹣2)+3=log3x+2 又由﹣1≤x﹣2≤7 得 1≤x≤9 ∴g(x)=log3x+2(x∈[1,9])… (2)∵g(x)=log3x+2,x∈[1,9] ∴要使函数 h(x)=[g(x)]2+g(x2)有意义, 必须 ∴1≤x≤3, ∴ ≤3) 设 t=log3x,则 h(x)=t2+6t+6=(t+3)2﹣3(0≤t≤1)是[0,1]上增函数, ∴t=0 时 h(x)min=6,t=1 时 h(x)max=13 ∴函数 y=h(x)的最大值为 13,最小值为 6. 20.已知函数 f(x)=ax3+bx+c 在点 x=2 处取得极值 c﹣16. (Ⅰ)求 a,b 的值; (Ⅱ)若 f(x)有极大值 28,求 f(x)在[﹣3,3]上的最小值. 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;函数在某点取得极值的条件. 【分析】 (Ⅰ)由题设 f(x)=ax3+bx+c,可得 f′(x)=3ax2+b,又函数在点 x=2 处取得极值 c﹣16,可得 解此方程组即可得出 a,b 的值; (1≤x

(II)结合(I)判断出 f(x)有极大值,利用 f(x)有极大值 28 建立方程求出参数 c 的值, 进而可求出函数 f(x)在[﹣3,3]上的极小值与两个端点的函数值,比较这此值得出 f(x) 在[﹣3,3]上的最小值即可. 【解答】解: (Ⅰ)由题 f(x)=ax3+bx+c,可得 f′(x)=3ax2+b,又函数在点 x=2 处取得极 值 c﹣16 ∴ ,即 ,化简得

解得 a=1,b=﹣12 (II)由(I)知 f(x)=x3﹣12x+c,f′(x)=3x2﹣12=3(x+2) (x﹣2) 2 令 f′(x)=3x ﹣12=3(x+2) (x﹣2)=0,解得 x1=﹣2,x2=2
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当 x∈(﹣∞,﹣2)时,f′(x)>0,故 f(x)在∈(﹣∞,﹣2)上为增函数;当 x∈(﹣ 2,2)时,f′(x)<0,故 f(x)在(﹣2,2)上为减函数; 当 x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,故 f(x)在(2,+∞)上为增函数; 由此可知 f(x)在 x1=﹣2 处取得极大值 f(﹣2)=16+c,f(x)在 x2=2 处取得极小值 f(2) =c﹣16, 由题设条件知 16+c=28 得,c=12 此时 f(﹣3)=9+c=21,f(3)=﹣9+c=3,f(2)=﹣16+c=﹣4 因此 f(x)在[﹣3,3]上的最小值 f(2)=﹣4

21.已知函数 f(x)=

的定义域为(0,+∞) .

(Ⅰ)求函数 f(x)在[m,m+1](m>0)上的最小值; (Ⅱ)对任意 x∈(0,+∞) ,不等式 xf(x)>﹣x2+λx﹣1 恒成立,求实数 λ 的取值范围. 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】求出函数的对数 ,求出函数的单调区间,

(I)当 m≥1 时,当 0<m<1 时,求出函数的最小值 f(x)min. (II)对? x∈(0,+∞) ,不等式 ex+x2+1>λx 恒成立,转化为 λ 的表达式,通过构造函数 的导数求解最值,推出所求范围. 【解答】 (本小题满分 13 分) 解: ,

令 f'(x)>0 得 x>1,令 f'(x)<0 得 x<1, 所以,函数 f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数, (I)当 m≥1 时,函数 f(x)在[m,m+1](m>0)上是增函数. 所以 所以 , ,

当 0<m<1 时,函数 f(x)在[m,1]上是减函数,在[1,m+1]上是增函数, 所以,f(x)min=f(1)=e, (II)由题意,对? x∈(0,+∞) ,不等式 ex+x2+1>λx 恒成立, 即 恒成立.







由 g'(x)>0 得 x>1,由 g'(x)<0 得 x<1, 所以 g(x)min=g(1)=e+2, 所以 λ<e+2.

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22.已知函数 f(x)=lnx﹣mx+

(m∈R)

(Ⅰ)当 m≤ 时,讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)设 g(x)=x2﹣2x+n,当 m= 时,若对任意 x1∈(0,2) ,存在 x2∈[1,2],使 f

(x1)≥g(x2) ,求实数 n 的取值范围. 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 【分析】 (Ⅰ)先求导函数,然后讨论 m 的范围,得到导函数的符号,得到函数的单调性; (Ⅱ)根据(2)求出对任意 x1∈(0,2) ,f(x1)≥f(1)= ,然后根据题意可知存在 x2 ∈[1,2]使 g(x)=x2﹣2x+n≤ ,解之即可.

【解答】解: (Ⅰ)f′(x)= ﹣m+

=



令 h(x)=﹣mx2+x+m﹣1(x∈(0,+∞) ) 当 m=0 时,h(x)=x﹣1,令 h(x)>0,x>1,h(x)<0,0<x<1 ∴f(x)在(0,1)上是减函数,f(x)在(1,+∞)上是增函数 当 m≠0 时,h(x)=﹣m(x﹣1)[x﹣( ﹣1)], 当 m<0 时, ﹣1<0<1,f(x)在(0,1)上是减函数,f(x)在(1,+∞)上是增函数 0<m≤ 时,0<1< ﹣1,f(x)在(0,1) , ( ﹣1,+∞)上是减函数,f(x)在(1, ﹣1)上是增函数; (Ⅱ)当 m= 时,f(x)在(0,1)上是减函数,f(x)在(1,2)上是增函数

∴对任意 x1∈(0,2) ,f(x1)≥f(1)= ,又已知存在 x2∈[1,2],使 f(x1)≥g(x2) , 所以 g(x2)≤ ,x2∈[1,2], 即存在 x2∈[1,2]使 g(x)=x2﹣2x+n≤ 即 n﹣1≤ ,解得 n≤ .

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2016 年 11 月 14 日

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