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2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷,含答案)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(上海卷,含答案,不完 整版)
三.解答题(本大题共 5 题,满分 74 分) 19、 (本题满分 12 分) 底面边长为 2 的正三棱锥 P ? ABC ,其表面展开图是三角形 p1 p2 p3 ,如图,求△ p1 p2 p3 的各边长及 此三棱锥的体积 V .

(本题满分 14 分)本题有 2

个小题,第一小题满分 6 分,第二小题满分 1 分。 设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ?

2x ? a 2x ? a

若 a =4,求函数 y ? f ( x) 的反函数 y ? f ?1 ( x) ; 根据 a 的不同取值,讨论函数 y ? f ( x) 的奇偶性,并说明理由. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 如图, 某公司要在 A、B 两地连线上的定点 C 处建造广告牌 CD , 其中 D 为顶端,AC 长 35 米,CB 长 80 米,设 A、B 在同一水平面上,从 A 和 B 看 D 的仰角分别为 ?和? . 设计中 CD 是铅垂方向,若要求 ? ? 2 ? ,问 CD 的长至多为多少(结果精确到 0.01 米)? 施工完成后. CD 与铅垂方向有偏差,现在实测得 ? ? 38.12?,? ? 18.45?, 求 CD 的长(结果精确到 0.01 米)?

22(本题满分 16 分)本题共 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分 8 分. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xoy 中 , 对 于 直 线 l : ax ? by ? c ? 0 和 点 P i ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ), 记

?? (ax1 ? by1 ? c)(ax2 ? by2 ? c). 若? <0,则称点 P1 , P2 被直线 l 分隔。若曲线 C 与直线 l 没有公共
点,且曲线 C 上存在点 P 1,P 2 被直线 l 分隔,则称直线 l 为曲线 C 的一条分隔线.

1,2),B(? 1, 0) ⑴ 求证:点 A( 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分隔;
2 2

⑵若直线 y ? kx 是曲线 x ? 4 y ? 1 的分隔线,求实数 k 的取值范围; ⑶动点 M 到点 Q(0,2) 的距离与到 y 轴的距离之积为 1,设点 M 的轨迹为 E,求证:通过原点的直线 中,有且仅有一条直线是 E 的分割线. (本题满分 18 分)本题共 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分.

1 an ? an?1 ? 3an , n ? N *, a1 ? 1 . 3 若 a2 ? 2, a3 ? x, a4 ? 9 ,求 x 的取值范围; 1 若 {an } 是公比为 q 等比数列, Sn ? a1 ? a2 ? ? an , Sn ? Sn?1 ? 3Sn , n ? N *, 求 q 的取值范围; 3 若 a1 , a2 , , ak 成等差数列,且 a1 ? a2 ? ? ak ? 1000 ,求正整数 k 的最大值,以及 k 取最大值 时相应数列 a1 , a2 , , ak 的公差.
已知数列 {an } 满足

1

19.解:∵由题得,三棱锥 P ? ABC 是正三棱锥 ∴侧棱与底边所成角相同且底面 ?ABC 是边长为 2 的正三角形 ∴由题得, ?ABC ? ?BCA ? ?CAB ?

?

3 ?PBA ? ?P 1 1 AB ? ?P 2 BC ? ?P 2CB ? ?P 3 AC ? ?PCA 3



又∵ A, B, C 三点恰好在 P 1, P 2, P 3 构成的 ?PP 1 2P 3 的三条边上 ∴ ?P 1 BA ? ?P 1 AB ? ?P 2 BC ? ?P 2CB ? ?P 3 AC ? ?P 3CA ? ∴P ?P 1 A ? PB 1 ?P 2B ? P 2C ? PC 3 3A ? 2 ∴ PP 三棱锥 P ? ABC 是边长为 2 的正四面体 1 2 ? PP 1 3 ?P 2P 3 ? 4, ∴如右图所示作图,设顶点 P 在底面 ABC 内的投影为 O ,连接 BO ,并延长交 AC 于 D ∴ D 为 AC 中点, O 为 ?ABC 的重心, PO ? 底面 ABC

?
3

2

2 2 3 2 6 1 1 3 2 6 2 2 , PO ? ,V ? ? ? 2 ? 2 ? BD ? ? ? 3 3 3 3 2 2 3 3 x 2 ?4 8 ? 1? x ? (??, ?1) (1, ??) 解: (1)由题得, f ( x) ? x 2 ?4 2 ?4 ? x ?1 ? ?1 ∴ f ( x) ? 2 ? log 2 ? ? , x ? (??, ?1) (1, ??) ? x ?1 ? 2x ? a ∵ f ( x) ? x 且a ? 0 2 ?a ∴①当 a ? 0 时, f ( x) ? 1, x ? R , ∴对任意的 x ? R 都有 f ( x) ? f (? x) ,∴ y ? f ( x) 为偶函数
∴ BO ?

2x ? 1 2? x ? 1 1 ? 2 x , x ? 0 f ( ? x ) ? ? , , 2x ? 1 2? x ? 1 1 ? 2 x ∴对任意的 x ? 0 且 x ? R 都有 f ( x) ? ? f (? x) ,∴ y ? f ( x) 为奇函数
②当 a ? 1 时, f ( x) ? ③当 a ? 0 且 a ? 1 时,定义域为 x x ? log 2 a, x ? R} , ∴定义域不关于原定对称,∴ y ? f ( x) 为非奇非偶函数

?

解: (1)由题得,∵ ? ? 2 ? ,且 0 ? 2 ? ? ? ?

?
2

,? tan ? ? tan 2?

CD 40 ? 即 ,解得, CD ? 20 2 ,∴ CD ? 28.28 米 2 35 CD 1? 6400 由题得, ?ADC ? 180 ? 38.12 ? 18.45 ? 123.43 , AD 35 ? 80 ? ∵ ,∴ AD ? 43.61米 sin123.43 sin18.45 2 2 2 ∵ CD ? 35 ? AD ? 2 ? 35 ? AD ? cos 38.12 ,∴ CD ? 26.93 米 CD
证明: (1)由题得,? ? 2 ? (?2) ? 0 ,∴ A(1, 2), B(?1,0) 被直线 x ? y ? 1 ? 0 分隔。 解: (2)由题得,直线 y ? kx 与曲线 x ? 4 y ? 1无交点
2 2

即?

? x2 ? 4 y 2 ? 1 ? y ? kx
2

? (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 1 ? 0 无解

∴ 1 ? 4k ? 0 或 ?

?

1 ? 4k 2 ? 0 1 1 ,∴ k ? ( ??, ? ] [ , ??) 2 2 2 ?? ? 4(1 ? 4k ) ? 0
2 2

证明: (理科) (3)由题得,设 M ( x, y ) ,∴ x ? ( y ? 2) ? x ? 1 , 化简得,点 M 的轨迹方程为 E : x ? ( y ? 2) ?
2 2

①当过原点的直线斜率存在时,设方程为 y ? kx 。

1 ,x ? 0。 x2

3

1 ? 2 2 1 ? x ? ( y ? 2) ? 2 2 2 联立方程, ? x ? (k ? 1) x ? 4kx ? 4 ? 2 。 x ? y ? kx ? 1 令 F ( x) ? (k 2 ? 1) x2 ? 4kx ? 4 , G ( x ) ? 2 ,显然 y ? F ( x) 是开口朝上的二次函数 x ∴由二次函数与幂函数的图像可得, F ( x) ? G( x) 必定有解,不符合题意,舍去 ②当过原点的直线斜率不存在时,其方程为 x ? 0 。 1 2 2 显然 x ? 0 与曲线 E : x ? ( y ? 2) ? 2 , x ? 0 没有交点,在曲线 E 上找两点 (?1, 2), (1, 2) 。 x ∴ ? ? ?1?1 ? 0 ,符合题意 综上所述,仅存在一条直线 x ? 0 是 E 的分割线。
证明: (文科) (3)由题得,设 M ( x, y ) ,∴ x ? ( y ? 2) ? x ? 1 ,
2 2

化简得,点 M 的轨迹方程为 E : x ? ( y ? 2) ?
2 2

1 ,x ? 0。 x2

1 , x ? 0 没有交点,在曲线 E 上找两点 (?1, 2), (1, 2) 。 x2 ∴ ? ? ?1?1 ? 0 ,符合题意。∴ x ? 0 是 E 的分割线。
显然 x ? 0 与曲线 E : x ? ( y ? 2) ?
2 2

?2 ?x?6 ? ?3 ? x ? [3, 6] 解: (1)由题得, ? ? x ? 9 ? 3x ? ?3 1 (理科) (2)由题得,∵ an ? an ?1 ? 3an ,且数列 {an } 是等比数列, a1 ? 1 , 3 1 ? n ?1 1 1 n ?1 ?q (q ? ) ? 0 n n ?1 ∴ q ? q ? 3q ,∴ ? ,∴ q ? [ , 3] 。 3 3 3 n ?1 ? ? q (q ? 3) ? 0 1 n ? 又∵ S n ? S n ?1 ? 3S n ,∴当 q ? 1 时, ? n ? 1 ? 3n 对 n ? N 恒成立,满足题意。 3 3 1 1 ? q n 1 ? q n?1 1 ? qn 当 q ? 1 时, ? ? ? 3? 3 1? q 1? q 1? q
∴①当 q ? [ ,1) 时, ?
n 1 ? q (3q ? 1) ? 2 ? q (3q ? 1) ? 2 ?q n (q ? 3) ? ?2 ?q1 (q ? 3) ? ?2 ②当 q ? (1,3] 时, ? n ,由单调性可得, ? 1 ,解得, q ? (1, 2] ? q (3q ? 1) ? 2 ? q (3q ? 1) ? 2

1 3

?q n (q ? 3) ? ?2

,由单调性可得, ?

?q1 (q ? 3) ? ?2

,解得, q ? [ ,1)

1 3

(理科) (3)由题得,∵ an ? an ?1 ? 3an ,且数列 a1 , a2 , ∴ [1 ? (n ? 1)d ] ? 1 ? nd ? 3[1 ? ( n ? 1) d ] ,∴ ?

1 3

ak 成等差数列, a1 ? 1 ,

1 3

? d (2n ? 1) ? ?2 2 , 2] ,∴ d ? [ ? 2k ? 1 ?d (2n ? 3) ? ?2

4

d 2 d d d k ? (a1 ? )k ? k 2 ? (1 ? )k ? 1000 2 2 2 2 2000 ? 2k 2000 ? 2k 2 ? [? , 2] ,解得, k ?[32,1999] , k ? N ? ∴d ? ,∴ k2 ? k k2 ? k 2k ? 1 1 ∴ k 的最大值为 1999,此时公差为 d ? ? 1999
又∵ a1 ? a2 ?

ak ? 1000 ,∴ Sk ?

5


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