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高二数学纠错卷


2014--2015 学年度第二学期高二数学期中考试纠错卷
一、选择题: 1.函数 y=x2cosx 的导数为( ) (A) y′ =2xcosx-x2sinx (B) y′ =2xcosx+x2sinx (C) y′ =x2cosx-2xsinx (D) y′ =xcosx-x2sinx 2、某单位有 15 名成员,其中男性 10 人,女性 5 人,现需要从中选出 6

名成员组成考察团外出参观学习, 如果按性别分层,并在各层按比例随机抽样,则此考察团的组成方法种数是( )
3 3 A. C10 C5 4 2 B. C10 C5

B. D. 1 10 11、 ( x ? ) 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是( 3x A. 0 B. 2 C. 4
'

1 3 ? ? i 2 2 A.

?

1 3 ? i 2 2

1 3 ? i 2 C. 2

1 3 ? i 2 2
) D. 6 ) (D)(0,1) ? (10,??)

5 C. C15

4 2 D. A10 A5

12.已知 f ( x) 是定义在 R 上偶函数且连续,当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 ,若 f (lg x) ? f (1), ,则 x 的取值范围是( (A)(

3.下列结 论中正确的 是( ) (A)导数为零的点一定是极值点 (B)如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 (C)如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值 (D)如果在 x0 附近的左侧 f ' ( x) ? 0 ,右侧 f ' ( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值 4、化简 A.

1 1 1 ,1)(B)(0, ) ? (1,??) (C)( ,10) 10 10 10

二、填空题 2 13、一辆汽车在笔直的公路上变速行驶,设汽车在时刻 t 的速度为 v(t)=-t +4,( 0 ? t ? 3 )(t 的单位: h, v 的单位:km/h)则这辆车行驶的最大位移是______km 14.若随机变量 X ~ N (? , ? 2 ) ,则 P( X ? ? ) =________. 15、在高台跳水中,t s 时运动员相对水面的高度(单位:m)是 h(t ) ? ?4.9t 2 ? 6.5t ? 10则 t=2 s 时的速 度是_______. 16、已知 f ( x) 为一次函数,且 f ( x) ? x ? 2 三、解答题 17、(10 分)在数列 {an } 中, a1 ? 并用数学归纳法给出证明

1 ? 2i 等于 ( 3 ? 4i

)

1 2 i 5 5
2

B. -

1 2 i 5 5

C. -

1 2 ? i 5 5

D. )

1 2 ? i 5 5

?

1 0

f (t )dt ,则 f ( x) =_____.

4 5.在二项式 ( x ? ) 的展开式中,含 x 的项的系数是(
5

B. ? 5 C. 10 D. 5 1 3 3 1 6、记 A ? cos , B ? cos , c ? sin ? sin ,则 A,B,C 的大小关系是( ) 2 2 2 2 A. A ? B ? C B. A ? C ? B C. B ? A ? C D. C ? B ? A / 7 、 如 图 是 导 函 数 y ? f ( x) 的 图 象 , 那 么 函 数 y ? f ( x ) 在 下 面 哪 个 区 间 是 减 函 数

A. ?10

1 x

1 3an ,试求出 a 2 , a3 , a 4 的值,猜想出数列 {an } 的通项公式 , an ?1 ? 2 an ? 3

A. ( x1 , x3 )

B. ( x2 , x4 )
*

C. ( x4 , x6 )
n n

D. ( x5 , x6 ) )

18、设 P 是 ?ABC 内一点, ?ABC 三边上的高分别为 hA 、 hB 、 hC ,P 到三边的距离依次为 la 、 lb 、 lc , 则有

8.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时, x ? y 能被 x ? y 整除”,在第二步时,正确的证法是( (A)假设 n ? k (k ? N ) ,证明 n ? k ? 1 命题成立 (B)假设 n ? k (k为正奇数) ,证明 n ? k ? 1 命题成立
* (C)假设 n ? 2k ? 1(k ? N ) ,证明 n ? k ? 1 命题成立

la lb lc ? ? ? ______________;类比到空间,设 hA hB hC
P

A hA la B

P 是四面体 ABCD 内一点,四顶点到对面的距离分别是 hA 、 hB 、hC 、hD ,P 到这四个面的距离依次是 la 、lb 、

(D)假设 n ? k (k为正奇数) ,证明 n ? k ? 2 命题成立
' ' 9.设函数 f ( x), g ( x) 在[a,b]上连续,在(a,b)上可导且 f ( x) ? g ( x) ,则当 a ? x ? b 时,有(

lc 、 ld ,则有_________________。
) 19、(10 分)从 4 名男同学中选出 2 人, 6 名女同学中选 C 出 3 人,并将选出的 5 人排成一排. (1)共有多少种不同的排法? (2)若选出的 2 名男同学不相邻,共有多少种不同的排法?

(A) f ( x) ? g ( x) (C) f ( x) ? g (a) ? g ( x) ? f (a) 10、 复数( ?

(B) f ( x) ? g ( x) (D) f ( x) ? g (b) ? g ( x) ? g (b) )

1 2

3 2014 i) 的共轭复数是( 2

20、(12 分)抛掷一枚质地均匀的硬币 3 次,记正面朝上的次数为 X . (1)求随机变量 X 的分布列; (2)求随机变量 X 的均值、方差.

(A)当 n ? 6 时,该命题不成立 (C)当 n ? 4 时,该命题成立
2 3. ? 0 ( 1 ? ( x ? 1) ? x ) dx = 1

(B)当 n ? 6 时,该命题成立 (D)当 n ? 4 时,该命题不成立 ( )

? ? 1 ? 1 ?1 (C) ? (D) ? 2 2 2 2 4 2 2 4.若复数 (a ? a ? 2) ? ( a ?1 ?1)i(a ? R) 不是纯虚数,则 a 的取值范围是(
(A) 2 ? (B)

?

) )

21 (本小题满分 12 分.已知函数 f ( x) ?

1 2 x ? ln x 2
2 3 x 的图象下方。 3

(A) a ? ?1 或 a ? 2 (B) a ? ?1 且 a ? 2 (C) a ? ?1 (D) a ? 2 5. 设函数 f 定义如下表 , 数列 { x n } 满足 x0 ? 5 , 且对任意自然数均有 xn?1 ? f ( xn ) , 则 x2004 的值为 ( 1 2 3 4 5 x 4 1 3 5 2 f ( x) (A)1 (B)2 (C)4 (D)5 6、 (e
-1

(1)求函数 f ( x) 在 [1, e] 上的最大值和最小值. (2)求证:在区间[1,+ ?) ,函数 f ( x) 的图象,在函数 g ( x) ?

7、若 ?1 ? 2x?

? e0 ? e1?x ?1? ? e2 ?x ?1? ? ?? e100 ?x ?1? , ei ? R, i ? 1,2,3, ……, 1 100 则 e1 ? e3 ? e5 ? ? ? e99 ? _________ . ? 5 ? 1? 2 (1 ? i )(1 ? i ) 8. 复数 在复平面中所对应的点到原点的距离是 __________ __________ _______; i
100 2 100

?

1

x

? 1 ? x 2)dx ? ________

9.求函数 f(x)=

? ? ?

x3,x∈[0,1] x,x∈?1,2] 2,x∈?2,3] 在区间[0,3]上的定积分.

22.(本题满分14 分) 袋中有分别写着“团团”和“圆圆”的两种玩具共 7 个且形状完全相同, 从中任取 2 个玩具都是“圆圆”的概

2ax-a2+1 10.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)= (x∈R),其中 a∈R. x2+1 (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)当 a≠0 时,求函数 f(x)的单调区间与极值.

1 , A 、 B 两人不放回从袋中轮流摸取一个玩具, A 先取, B 后取,然后 A 再取,……直到两人中 7 有一人取到“圆圆”时即停止游戏.每个玩具在每一次被取出的机会是均等的,用 X 表示游戏终止时取玩具
率为 的次数. (1)求 X ? 4 时的概率; (2)求 X 的数学期望.

11、有甲、乙两城,甲城位于一直线形河岸边,乙城离岸 40 千米,乙城到岸的垂足与甲城相距 50 千米, 两城在此河岸边合建一水厂取水,从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米 500 元和 700 元,问水厂 应设在河岸边的何处,才能使水管费用最省?

1、某节假日,附中校办公室要安排从一号至六号由指定的六位领导参加的值班表. 要求每一位领导值班一 天,但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻,则共有多少种不同的安排方法 ( )A.336 B.408 C.240 D.264
* 2、某个命题与正整数有关,若当 n ? k (k ? N ) 时该命题成立,那么可推得当 n ? k ? 1 时该命题也成立,

现已知当 n ? 5 时该命题不成立,那么可推得(

)

高二数学纠错卷答案
1、 A 2、B 3、B 4、C 5. C 6、B7、B8. D 9. C 10、A11、B
填空题 13、解:当汽车行驶位移最大时,v(t)=0.又 v(t)=-t +4=0 且 0
2

解:(1)
12. C

1 2 1 x ? ln x,? f '( x ) ? x ? 2 x x ? 0 ? f '( x ) ? 0 f ( x) ?

? t ? 3 ,则 t=2 2 1 16 16 2 ? s max ? ? (?t 2 ? 4)dt ? ( - t 3 ? 4t) ,故填 14. 1/2 0 ? 0 3 3 3 15、解: h?(t ) ? ?9.8t ? 6.5 由导数的概念知:t=2 s 时的速度为 h?(2) ? ?9.8 ? 2 ? 6.5 ? ?13.1(m / s)
16、已知 解答题 17、本题有多种求法,“归纳——猜想——证明”是其中之一 a1 下面用数学归纳法证明:(1)当 n=1 时, a1

? f ( x )在(0, ??)是增函数,即在[1, e]是增函数 1 e2 , x ? e时取最大值为 ?1 2 2 1 2 2 3 (2) f ( x) ? g ( x) ? x ? ln x ? x 2 3 1 1 ? f '( x ) ? g '( x ) ? ?2 x 2 ? x ? ? ( ?2 x 3 ? x 2 ? 1) x x 1 1 设h( x ) ? ?2 x 3 ? x 2 ? 1, 则h '( x ) ? ?6 x 2 ? 2 x ? ?6( x ? ) 2 ? 6 36 当x ? (1, ??)时h '( x ) ? 0, h( x )是减函数, ? h( x ) ? h(1) ? 0 ?x ?1 时f ( x )取最小值为 1 ( ?2 x 3 ? x 2 ? 1) ? 0 x 1 2 2 3 即在[1, ?? )上, f ( x ) ? g ( x) ? x ? ln x ? x 是减函数 2 3 1 ? f ( x ) ? g ( x ) ? f (1) ? g (1) ? ? ?0 6 ?函数f ( x ) ? g ( x )在[1, ??)上始终是负数, ?当x ? [1, ?? )时f '( x ) ? g '( x ) ? 即函数f ( x )的图象,在函数g ( x )的图象下方。
2 Cn 1 21.(本题满分14 分) 【解析】(1)设袋中有玩具“圆圆” n 个,由题意知: 2 ? , C7 7 所以 n ? n ?1? ? 6 ,解得 n ? 3 ( n ? ?2 舍去). 4 ? 3? 2 ? 3 3 P( X ? 4) ? ? . (6 分) 7 ? 6 ? 5 ? 4 35 (2)由题意可知 X 的可能取值为 1 , 2 , 3 , 4 , 5 . 3 P ( X ? 1) ? ; 7 4?3 2 P ( X ? 2) ? ? ; 7?6 7 4 ? 3? 3 6 P( X ? 3) ? ? ; 7 ? 6 ? 5 35 4 ? 3? 2 ? 3 3 P( X ? 4) ? ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 35 ;

f ( x) 为一次函数,且 f ( x) ? x ? 2? f (t )dt ,则 f ( x) =____ ___.
0

1

?

3 3 1 3 3 3 ? , a2 ? , a3 ? , a4 ? , 猜想 an ? n?5 2 6 7 8 9

ak ?1
(2)假设当 n=k 时猜想成立,则

3 1 ? ,猜想成立 1? 5 2 3 3? 3a k 3 k ?5 ? ? ? 3 ak ? 3 (k ? 1) ? 5 ?3 k ?5 ?

3 an ? ? n?5 当 n=k+1 时猜想也成立,综合(1)(2),对 n ? N 猜想都成立.故应填
18、解:用等面积法可得,

S la lb lc ? ? ? ?PBC hA hB hC S ?ABC

la S l S l S ? ?PBC ,同理 b ? ?PAC , c ? ?PAB 所以 hA S ?ABC hB S ?ABC hC S ?ABC S S l l l l ? ?PAC ? ?PAB ? 1,类比到空间有 a ? b ? c ? d ? 1 hA hB hC hD S ?ABC S ?ABC

A hA P la C
20 (本小题满分 12 分.已知函数 (1)求函数

B
f ( x) ? 1 2 x ? ln x 2

f ( x) 在 [1, e]

上的最大值和最小值.

P( X ? 5) ?
2 3 x 的图象下方。 3

4 ? 3 ? 2 ?1? 3 1 ? 7 ? 6 ? 5 ? 4 ? 3 35 .

(11 分)

(2)求证:在区间[1,+ ?) ,函数

f ( x) 的图象,在函数 g ( x) ?

3 2 6 3 1 ? E ( X ) ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 2 . 7 7 35 35 35

(14 分)

某节假日,附中校办公室要安排从一号至六号由指定的六位领导参加的值班表. 要求每一位领导值班一天,但校长甲与校长 乙 不 能 相 邻 且 主 任 丙 与 主 任 丁 也 不 能 相 邻 , 则 共 有 多 少 种 不 同 的 安 排 方 法 ( )A.336 B.408 C.240 D.264 解:方法数为:
6 2 5 2 2 4 A6 ? 2 A2 A5 ? A2 A2 A4 ? 336, 选 A.

6.某个命题与正整数有关, 若当 n 时该命题不成立,那么可推得( D

那么可推得当 n ? k ? 1 时该命题也成立, 现已知当 n ? 5 ? k (k ? N * ) 时该命题成立, ) (B)当 n

? 6 时,该命题不成立 (C)当 n ? 4 时,该命题成立
( A) 当 n 7. ? 0
1

? 6 时,该命题成立 (D)当 n ? 4 时,该命题不成立

( 1 ? ( x ? 1) 2 ? x )dx =

( D )

? ? 1 ? 1 ?1 ? (C) (D) ? 2 2 2 2 4 2 2 8.若复数 (a ? a ? 2) ? ( a ?1 ?1)i(a ? R) 不是纯虚数,则 a 的取值范围是( C )
(A) 2 ? (B)

?

? ?1 或 a ? 2 (B) a ? ?1 且 a ? 2 (C) a ? ?1 (D) a ? 2 9. 设函数 f 定义如下表 , 数列 { x n } 满足 x0 ? 5 , 且对任意自然数均有 xn?1 ? f ( xn ) , 则 x2004 的值为 (
(A ) a 1 2 3 4 5

D

)

x

f ( x)
(A)1
1 x

4

1

3 (D)5

5

2

(B)2

(C)4

2 ?(e ? 1 ? x )dx ? ________ -1

解:
2 2

?(e
-1 x

1

x

? 1 ? x 2)dx ? 2? (e x ? 1 ? x 2)dx ? 2(e x
0

1

1 0

x +y =1 在第一象限内的部分面积,?
1

?

1

0

1 ? x dx ?
2

?

? ? 1 ? x 2 dx) ,而 ? 1 ? x 2 dx 表示单位圆
0

1

1

0

? ? ? )= 2e ? 2 ? 故填 2e ? 2 ? . -1 2 2 4 100 2 100 若 ?1 ? 2x? ? e0 ? e1?x ? 1? ? e2 ?x ? 1? ? ?? e100 ?x ? 1? , ei ? R, i ? 1,2,3, ……,
(e ? 1 ? x 2)dx ? 2(e-1??
则 . e1 ? e3 ? e5 ? ? ? e99 ? _________

4

1 100 ? 5 ? 1? 2

13. 复数

(1 ? i )(1 ? i ) 在复平面中所对应的点到原点的距离是 __________ __________ _______; i
3

1417.(本小题满分 10 分) x ,x∈[0,1] ? ? 求函数 f(x)=? x,x∈?1,2] ? 2,x∈?2,3] ? [解析] 在区间[0,3]上的定积分.

由积分的性质,知?3f(x)dx=?1f(x)dx+?2f(x)dx+?3f(x)dx=?1x3dx+?2 xdx+?3 2dx

?0

?0

?1

?2

?0

?1

?2

2ax-a2+1 (x∈R),其中 a∈R. x2+1 (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)当 a≠0 时,求函数 f(x)的单调区间与极值. 2?x2+1?-2x×2x 2-2x2 2x 4 6 [解析] (1)当 a=1 时,f(x)= 2 ,f(2)= ,又 f′(x)= = 2 ,f′(2)=- , 5 25 x +1 ?x2+1?2 ?x + 1 ?2 4 6 所以,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y- =- (x-2), 5 25 即 6x+25y-32=0. 2a?x2+1?-2x?2ax-a2+1? (2)f′(x)= ?x2+1?2 -2?x-a??ax+1? = . ?x2+1?2 由于 a≠0,以下分两种情况讨论. 1 ① 当 a>0 时,令 f′(x)=0,得到 x1=- ,x2=a. a 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 1 1 1 x a (-∞,- ) - (a,+∞) - ,a a a a 0 0 f′(x) - + - f(x) 极小值 极大值 1 1 所以 f(x)在区间 -∞,-a ,(a,+∞)内为减函数,在区间 -a,a 内为增函数. 1 1 1 函数 f(x)在 x1=- 处取得极小值 f -a ,且 f -a =-a2. a 函数 f(x)在 x2=a 处取得极大值 f(a),且 f(a)=1. 1 ②当 a<0 时,令 f′(x)=0,得到 x1=a,x2=- . a 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: 1 1 1 x a (-∞,a) - a,- - ,+∞ a a a 0 0 f′(x) + - + f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 1 1 所以 f(x)在区间(-∞,a), -a,+∞ 内为增函数,在区间 a,-a 内为减函数. 函数 f(x)在 x1=a 处取得极大值 f(a),且 f(a)=1. 1 1 1 函数 f(x)在 x2=- 处取得极小值 f -a ,且 f -a =-a2.. a 18 有甲、乙两城,甲城位于一直线形河岸边,乙城离岸 40 千米,乙城到岸的垂足与甲城相距 50 千米,两城在此河岸边 合建一水厂取水,从水厂到甲城和乙城的水管费用分别为每千米 500 元和 700 元,问水厂应设在河岸边的何处,才能使水管 费用最省? [解析] 设甲城位于 C 点,水厂 D 点与乙城到岸的垂足 B 点之间的距离为 x 千米,总费用为 y 元,则 CD= x2+402. 已知函数 f(x)=

(

)

(

)

(

)

( )

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

=?1x3dx+?2x

1 2

?0

?1

dx+?3 2dx



2 x4 1 + 3x 4| 0

3 2

?2

|2 1+

2x|

3 2

1 4 2 2 = + - +3 2-2 2 4 3 3 5 7 =- + 2 12 3 22.(本小题满分 12 分)

y=500(50-x)+700 x2+1 600 =25 000-500x+700 x2+1 600(0<x<50), 1 - 2 1 2 y′=-500+700·(x +1 600) · 2x 2 700x 50 6 =-500+ 2 ,令 y′=0,解得 x= . 3 x +1 600 答:水厂距甲距离为 50- 50 6 千米时,总费用最省. 3


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