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第二章圆锥曲线复习课


第一课时

椭圆 定义
PF 1 ? PF 2 ? 2a ?2a ? F 1 F2 ?

双曲线
PF1 ? PF2 ? 2a ?2a ? F1 F2

抛物线
?

标准 x 2 y 2 2 x2 y2 y ? 2 px ? p ? 0? ? 2 ? 1?a ? 0,

b ? 0? ? ? ? ? 1 a ? b ? 0 2 a b 方程 a 2 b 2 关系式 a 2 ? b 2 ? c 2 c2 ? a2 ? b2 图形 对称性 顶点 离心率 决定形

二、例题讲解
?? 例1、已知 i, j 是x,y轴正方向的单位向量,设 ? ? ?? ? ? ? ? a ? ( x ? 3)i ? y j, b ? ( x ? 3)i ? y j, 且满足| a | ? | b |? 4,

求点P(x,y)的轨迹C的方程.
3 ? ? 2 2 解:∵ | a |? ( x ? 3) ? y , b ? ( x ? 3) 2 ? y 2 , ? ? 且 |a | ? | b |? 4.

∴点P(x,y)到点 ( 3,0),(? 3,0) 的距离
x2 2 ? y ? 1. 之和为4,故点P的轨迹方程为 4

例 2、 过点 P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1、l2, 若 l1 交 x 轴于 A 点,l2 交 y 轴于 B 点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. 解 法一 设点 M 的坐标为(x,y). ∵M 为线段 AB 的中点, ∴A 的坐标为(2x,0),B 坐标为(0,2y). ∵l1⊥l2,且 l1、l2 过点 P(2,4), 4- 0 ∴PA⊥PB,kPA·kPB=-1,而 kPA= (x≠1). 2-2x 4-2y 2-y 2 kPB= ,∴ · =-1(x≠1), 1 2-0 1-x 整理,得 x+2y-5=0(x≠1)

∵当x=1时,A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4), ∴线段AB的中点坐标是(1,2),它满足方程x+2y-5=0 综上所述点M的轨迹方程是x+2y-5=0. 法二 设M的坐标为(x,y),则A、B两点的坐标分别是(2x, 0),(0,2y),连接PM.∵l1⊥l2,∴2|PM|=|AB|. 而|PM|= (x-2)2+(y-4)2, |AB|= (2x)2+(2y)2, ∴2 (x-2)2+(y-4)2= 4x2+4y2, 化简得x+2y-5=0为所求轨迹方程.

法三 ∵l1⊥l2,OA⊥OB. ∴O、A、P、B四点共圆,且该圆的圆心为M,∴|MP|=|MO|. ∴点M的轨迹为线段OP的中垂线. 4-0 ∵kOP= =2, 2-0 OP的中点坐标为(1,2). 1 ∴点M的轨迹方程是y-2=-2(x-1), 即x+2y-5=0.

例 3.(2011· 陕西高考)如图,设 P 是圆 x2+y2=25 上的动点,点 D 是 P 在 x 轴上的投影,M 为 PD 上 4 一点,且|MD|= |PD|. 5 (1)当 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹 C 的方程; 4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的长度. 5



(1)设 M 的坐标为(x,y),P 的坐标为(xP,yP),

? ?xP=x, 由已知得? 5 ∵P 在圆上, y = y. ? ? P 4
2 2 5 x y ∴x2+( y)2=25,即轨迹 C 的方程为 + =1. 4 25 16

4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x-3), 5 5 设直线与 C 的交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 4 将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 5

x2 (x-3) + =1,即 x2-3x-8=0. 25 25 3- 41 3+ 41 ∴x1= ,x2= . 2 2 ∴ 线 段 AB 的 长 度 为 |AB| = (x1-x2)2+(y1-y2)2 = 16 (1+ )(x1-x2)2= 25 41 41 ×41= . 25 5

2

巩固提升: x2 y2 1、(2011· 江西高考)若椭圆 2+ 2=1 的焦点在 x 轴上,过 a b
? 1? 点?1,2?作圆 ? ?

x2+y2=1 的切线,切点分别为 A,B,直线

AB 恰 好 经 过 椭圆的 右 焦点和 上 顶点, 则 椭圆方 程 是 ________. 2. (2012· 湖南高考)在直角坐标系 xOy 中, 已知中心在原点,

1 离心率为 的椭圆 E 的一个焦点为圆 C:x2+y2-4x+2 2 =0 的圆心. 求椭圆E的方程.

3、?ABC的三边a, b, c成等差数列,且 a ? b ? c,

?2,0? 4、已知点M到直线 x ? 1 ? 0 的距离比它到点
的距离小 1,则点M的轨迹方程是
2

?- 1,0?, ?1,0?,求顶点B的轨迹方程。 A, C的坐标分别为

?x ? 5? ? y 2 ? 49和定圆C 2 : 5、已知动圆P与定圆C1: ? x ? 5?
2

? y 2 ? 1都相切,求动圆圆心 P的轨迹方程。


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