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2016高考数学一轮复习 第七章 第3课时 空间点、直线、平面之间的位置关系课时作业 理 新人教版


第 3 课时

空间点、直线、平面之间的位置关系

考纲 空间直线、平面的位置关系. 索引 1. 了解可以作为推理依据的公理和定理. 课标 2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命 要求 题. 知识梳理 1. 平面的基本性质

2. 空间中两直线的位置关系 (1)空间两直线的位置关系 图形语言 符号语言 公共点

平行直线

a∥b



相交直线

a∩b=A



异面直线 (2)平行公理和等角定理

a,b 是异面直线



①平行公理
1

平行于

的两条直线平行.用符号表示:设 a,b,c 为三条直线,若 a∥b,b∥c,则 a∥

c. ②等角定理
空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角 (3)异面直线所成的角

.

①定义:已知两条异面直线 a,b,经过空间中任一点 O 作直线 a'∥a,b'∥b',把 a'与 b'所成的
叫做异面直线所成的角(或夹角).

②范围:

.

3. 空间直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 相交 符号语言 公共点 个

a∩α =A

平行 在平

a∥α a? α





面内 平行 α ∥β 个

相交 基础自测 1. (教材改编)下列命题是真命题的是( A. 空间中不同三点确定一个平面 B. 空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C. 一条直线和一个点能确定一个平面 D. 梯形一定是平面图形 指 点 迷 津 ◆两种方法 异面直线的判定方法: ).

α ∩β =l



(1)判定定理:平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线. (2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.
2

◆三个推论 公理 2 的三个推论: 推论 1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面. 推论 2:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3:经过两条平行直线,有且只有一个平面. ◆三个作用 (1)公理 1 的作用:①检验平面;②判断直线在平面内;③由直线在平面内判断直线上的点在 平面内. (2)公理 2 的作用:公理 2 及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法. (3)公理 3 的作用:①判定两平面相交;②作两平面相交的交线;③证明多点共线. 2. 已知 a,b 是异面直线,直线 c 平行于直线 a,那么 c 与 b( A. 一定是异面直线 C. 不可能是平行直线 B. 一定是相交直线 D. 不可能是相交直线 ). ).

3. 平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为( A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

4. (教材改编)在下列命题中,所有正确命题的序号是

.

①平面 α 与平面 β 相交,它们只有有限个公共点; ②经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; ③经过两条相交直线,有且只有一个平面; ④如果两个平面有三个不共线的公共点,那么这两个平面重合; ⑤四边形确定一个平面.
5. (教材改编)给出三个命题:

①若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行; ②若两条直线和第三条直线垂直,则这两条直线互相平行; ③若两条直线和第三条直线平行,这两条直线互相平行; ④若两条直线均与一个平面平行,则这两条直线互相平行.
其中不正确命题的序号是 考点透析 考向一 平面的基本性质及应用 例 1 (2013·台州模拟)以下四个命题:
3

.

①不共面的四点中,其中任意三点不共线; ②若点 A,B,C,D 共面,点 A,B,C,E 共面,则点 A,B,C,D,E 共面; ③若直线 a,b 共面,直线 a,c 共面,则直线 b,c 共面; ④依次首尾相接的四条线段必共面.
其中正确命题的个数是( A. 0 B. 1 C. 2 ). D. 3

【审题视点】 根据三个公理及推论,结合构造几何体的方法判断.

变式训练 1. (2013·沈阳模拟)如图是正方体或四面体,P,Q,R,S 分别是所在棱的中点,则这四个点不 共面的一个图是( ).

考向二 空间中两直线的位置关系

4

【方法总结】 空间中两直线位置关系的判定,主要是异面、 平行和垂直的判定,对于异面直 线,可采用直接法或反证法;对于平行直线,可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理 4 及线 面平行与面面平行的性质定理;对于垂直关系,往往利用线面垂直的性质来解决. 变式训练 2. 如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 A1B1,B1C1 的中点.问: (1)AM 和 CN 是否是异面直线?说理理由. (2)D1B 和 CC1 是否是异面直线?说明理由.

(第 2 题)

5

考向三 异面直线所成的角 例 3 (2013·宁波调研)已知正方体 ABCD-A1B1C1D1. (1)求 AC 与 A1D 所成角的大小; (2)若 E,F 分别为 AB,AD 的中点,求 A1C1 与 EF 所成角的大小. 【审题视点】 (1)平移 A1D 到 B1C,找出 AC 与 A1D 所成的角,再计算.(2)可证 A1C1 与 EF 垂直.

变式训练 3. (2014·湖南)如图所示,已知二面角 α -MN-β 的大小为 60°,菱形 ABCD 在面 β 内,A,B 两点在棱 MN 上,∠BAD=60°,E 是 AB 的中点,DO⊥平面 α ,垂足为 O. (1)求证:AB⊥平面 ODE; (2)求异面直线 BC 与 OD 所成角的余弦值.

(第 3 题)

经典考题 典例 已知三棱锥 A-BCD,AB=CD,且直线 AB 与 CD 成 60°角,点 M,N 分别是 BC,AD 的中点,求 直线 AB 和 MN 所成的角. 【解题指南】 取 AC 的中点,作 AB 的平行线与 MN 形成三角形求解. 【解】 如图,取 AC 的中点 P,连接 PM,PN.

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则 PM∥AB, 且 PM=AB. 又 PN∥CD,且 PN=CD, 所以∠MPN 为 AB 与 CD 所成的角(或所成角的补角). 则∠MPN=60°或∠MPN=120°, 若∠MPN=60°,因 PM∥AB, 所以∠PMN 是 AB 与 MN 所成的角(或所成角的补角). 又因 AB=CD,所以 PM=PN. 则△PMN 是等边三角形,所以∠PMN=60°, 即 AB 与 MN 所成的角为 60°. 若∠MPN=120°,则易知△PMN 是等腰三角形. 所以∠PMN=30°,即 AB 与 MN 所成的角为 30°. 故直线 AB 和 MN 所成的角为 60°或 30°. 真题体验 1. (2014·辽宁)已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面.下列说法正确的是( A. 若 m∥α ,n∥α ,则 m∥n B. 若 m⊥α ,n? α ,则 m⊥n C. 若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α D. 若 m∥α ,m⊥n,则 n⊥α 2. (2014·浙江)设 m,n 是两条不同的直线,α ,β 是两个不同的平面,则( A. 若 m⊥n,n∥α ,则 m⊥α B. 若 m∥β ,β ⊥α ,则 m⊥α C. 若 m⊥β ,n⊥β ,n⊥α ,则 m⊥α D. 若 m⊥n,n⊥β ,β ⊥α ,则 m⊥α 3. (2014·广东)若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1⊥l2,l2∥l3,l3⊥l4,则下 ). ).

7

列结论一定正确的是( A. l1⊥l4 B. l1∥l4

).

C. l1 与 l4 既不垂直也不平行 D. l1 与 l4 的位置关系不确定 4. (2014·全国大纲)已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的 余弦值为( ).

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参考答案与解析 知识梳理 1. 两点 一条直线上的三点 有且只有一

2. (1)0 1 0 (2)同一条直线 相等或互补

(3)锐角或直角 3. 1 0 无数 0 无数 基础自测 1. D 2. C 3. C 4.②③④ 5.①②④ 考点透析

【例 1】 B 解析:①中显然是正确的;②中若 A,B,C 三点共线,则 A,B,C,D,E 五点不一定共 面;③构造长方形或正方体,如图,显然 b,c 异面故不正确;④中空间四边形中四条线段不共 面,故只有①正确. 【例 2】 ①③ 解析:过点 N 作 NP⊥BB1 于点 P,连接 MP,可证 AA1⊥平面 MNP,所以 AA1⊥MN,① 正确.过 M,N 分别作 MR⊥A1B1,NS⊥B1C1 于点 R,S,则当 M 不是 AB1 的中点,N 不是 BC1 的中点时, 直线 A1C1 与直线 RS 相交;当 M,N 分别是 AB1,BC1 的中点时,A1C1∥RS,所以 A1C1 与 MN 可以异面, 也可以平行,故②④错误.由①正确知,AA1⊥平面 MNP,而 AA1⊥平面 A1B1C1D1,所以平面 MNP∥ 平面 A1B1C1D1,故③对.综上所述,其中正确命题的序号是①③. 【例 3】 (1)如图(1)所示,连接 AB1,B1C,由 ABCD -A1B1C1D1 是正方体,易知 A1D∥B1C,从而 B1C 与 AC 所成的角就是 AC 与 A1D 所成的角. 因为 AB1=AC=B1C, 所以∠B1CA=60°. 即 A1D 与 AC 所成的角为 60°.

(1)
9

(2) (2)如图(2)所示,连接 AC,BD, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AC⊥BD,AC∥A1C1, 因为 E,F 分别为 AB,AD 的中点, 所以 EF∥BD. 所以 EF⊥AC, 所以 EF⊥A1C1. 即 A1C1 与 EF 所成的角为 90°. 变式训练 1. D 解析:A,B,C 中,都有 PS∥QR,共面. 2. (1)不是异面直线.理由: 连接 MN,A1C1,AC. 因为 M,N 分别是 A1B1,B1C1 的中点, 所以 MN∥A1C1. 又 A1AC1C, 所以 A1ACC1 为平行四边形. 所以 A1C1∥AC,得到 MN∥AC. 所以 A,M,N,C 在同一平面内, 故 AM 和 CN 不是异面直线. (2)是异面直线.理由如下: 因为 ABCD-A1B1C1D1 是正方体, 所以 B,C,C1,D1 不共面. 假设 D1B 与 CC1 不是异面直线, 则存在平面 α ,使 D1B? 平面 α ,CC1? 平面 α . 所以 D1,B,C,C1∈α . 这与 ABCD-A1B1C1D1 是正方体矛盾.

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所以假设不成立,即 D1B 与 CC1 是异面直线. 3. (1)如图,因为 DO⊥α ,AB? α ,所以 DO⊥AB. 连接 BD,由题设知△ABD 是正三角形, 又 E 是 AB 的中点,所以 DE⊥AB. 而 DO∩DE=D,故 AB⊥平面 ODE.

(第 3 题)

经典考题 真题体验 1. B 解析:由题可知,若 m∥α ,n∥α ,则 m 与 n 平行、相交或异面,所以 A 错误;若 m⊥α ,n ? α ,则 m⊥n,故 B 正确;若 m⊥α ,m⊥n,则 n∥α 或 n? α ,故 C 错误;若 m∥α ,m⊥n,则 n∥ α 或 n⊥α 或 n 与 α 相交,故 D 错误. 2. C 解析:A,B,D 中 m 与平面 α 可能平行、 相交或 m 在平面 α 内;对于 C,若 m⊥β ,n⊥β , 则 m∥n,而 n⊥α ,所以 m⊥α .故选 C. 3. D 解析:利用长方体模型,易得空间两条直线的垂直关系不具有传递性.

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