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2015年高考圆锥曲线


圆锥曲线
1、 【2015 高考福建,理 3】若双曲线 E :

x2 y 2 ? ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 在双 9 16

曲线 E 上,且 PF1 ? 3 ,则 PF2 等于( ) A.11 B.9
2

C.5

D.3

2.【2015 高考四川,理 5】过双曲线 x ? 的两条渐近线于 A,B 两点,则 AB ? ( (A)

y2 ? 1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线,交该双曲线 3
) (C)6 (D) 4 3

4 3 3

(B) 2 3

3. 【2015 高考广东, 理 7】 已知双曲线 C : 则双曲线 C 的方程为( A. ) B.

x2 y 2 5 且其右焦点 F2 ? 5, 0 ? , ? 2 ? 1 的离心率 e ? , 2 a b 4

x2 y2 ? ?1 4 3

x2 y2 ? ?1 16 9

C.

x2 y2 ? ?1 9 16

D.

x2 y2 ? ?1 3 4

4.【2015 高考新课标 1,理 5】已知 M( x0 , y0 )是双曲线 C:

x2 ? y 2 ? 1 上的一点, F1 , F2 是 2
)

C 上的两个焦点,若 MF1 ? MF2 ? 0 ,则 y0 的取值范围是(
(A) (-

???? ? ?????

3 3 , ) 3 3
2 2 2 2 , ) 3 3

(B) (-

3 3 , ) 6 6
2 3 2 3 , ) 3 3

(C) (?

(D) (?

5.【2015 高考湖北,理 8】将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a ? b) 同时增 加 m (m ? 0) 个单位长度,得到离心率为 e2 的双曲线 C2 ,则( A.对任意的 a, b , e1 ? e2 C.对任意的 a, b , e1 ? e2 )

B.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2 D.当 a ? b 时, e1 ? e2 ;当 a ? b 时, e1 ? e2
2

6. 【 2015 高 考 四 川 , 理 10 】 设 直 线 l 与 抛 物 线 y ? 4 x 相 交 于 A , B 两 点 , 与 圆

? x ? 5?

2

? y 2 ? r 2 ? r ? 0 ? 相切于点 M,且 M 为线段 AB 的中点.若这样的直线 l 恰有 4 条,则 r


的取值范围是(

3? (A) ?1,

4? (B) ?1,

3? (C) ? 2,

4? (D) ? 2,
-1-

7.【2015 高考重庆,理 10】设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0)的右焦点为 1,过 F 作 AF 的垂 a 2 b2

线与双曲线交于 B,C 两点,过 B,C 分别作 AC,AB 的垂线交于点 D.若 D 到直线 BC 的距离小于

a ? a 2 ? b 2 ,则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是
A、 (?1, 0) ? (0,1) C、 (? 2, 0) ? (0, 2)





B、 (??, ?1) ? (1, ??) D、 (??, ? 2) ? ( 2, ??)

8. 【2015 高考天津, 理 6】 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线过点 2, 3 , a 2 b2
)

?

?

且双曲线的一个焦点在抛物线 y 2 ? 4 7 x 的准线上,则双曲线的方程为(

(A)

x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 (B) ? ? 1 (C) ? ? 1 (D) ? ?1 21 28 28 21 3 4 4 3


9.【2015 高考安徽,理 4】下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y ? ?2 x 的是( (A) x ?
2

y2 ?1 4

(B)

x2 ? y2 ? 1 4

(C)

y2 ? x2 ? 1 4

(D)

y2 ?

x2 ?1 4
2

10.【2015 高考浙江,理 5】如图,设抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F ,不经过焦点的直线上有三 个不同的点 A , B , C ,其中点 A , B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则 ?BCF 与 ?ACF 的 面积之比是( )

A.

BF ? 1 AF ? 1

B.

BF ? 1 AF ? 1
2

2

C.

BF ? 1 AF ? 1

D.

BF ? 1 AF ? 1
2

2

-2-

11.【2015 高考新课标 2,理 11】已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,?ABM 为 等腰三角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为( A. 5 B. 2 C. 3 D. 2 )

12. 【2015 高考北京, 理 10】已知双曲线 .

x2 ? y 2 ? 1? a ? 0 ? 的一条渐近线为 3x ? y ? 0 ,则 a ? a2

13 【2015 高考上海, 理 5】 抛物线 y ? 2 px( p ? 0 ) 上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1 ,
2

则p?



14【2015 高考湖南,理 13】设 F 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点,若 C 上存在点 P , a 2 b2
. ,渐近线方程是 .

使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为 15.【2015 高考浙江,理 9】双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的焦距是 2

16.【2015 高考新课标 1,理 14】一个圆经过椭圆

x2 y 2 ? ? 1 错误!未找到引用源。的三个 16 4
.
2 2

顶点,且圆心在 x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为
2

17.【2015 高考陕西,理 14】若抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的准线经过双曲线 x ? y ? 1 的一个 焦点,则 p ? .

18【2015 高考上海,理 9】已知点 ? 和 Q 的横坐标相同, ? 的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2 倍, ? 和 Q 的轨迹分别为双曲线 C1 和 C 2 .若 C1 的渐近线方程为 y ? ? 3 x ,则 C 2 的渐近线方程 为 .

x2 y 2 19.【2015 高考山东,理 15】平面直角坐标系 xoy 中,双曲线 C1 : 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的 a b
渐近线与抛物线 C2 : x ? 2 py ? p ? 0 ? 交于点 O, A, B , 若 ?OAB 的垂心为 C2 的焦点, 则 C1 的
2

离心率为

.
2 2

20.【2015 江苏高考,12】在平面直角坐标系 xOy 中, P 为双曲线 x ? y ? 1 右支上的一个 动点。若点 P 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离大于 c 恒成立,则是实数 c 的最大值为 .

-3-

21.【2015 高考新课标 2,理 20】 (本题满分 12 分) 已知椭圆 C : 9 x ? y ? m (m ? 0) ,直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交
2 2 2

点 A , B ,线段 AB 的中点为 M . (Ⅰ)证明:直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值; (Ⅱ)若 l 过点 (

m , m) ,延长线段 OM 与 C 交于点 P ,四边形 OAPB 能否为平行四边形?若 3

能,求此时 l 的斜率,若不能,说明理由.

22.【2015 江苏高考,18】 (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 右焦点 F 到左准线 l 的距离为 3. (1)求椭圆的标准方程; (2)过 F 的直线与椭圆交于 A,B 两点,线段 AB 的垂直平分线分别交直线 l 和 AB 于 点 P,C,若 PC=2AB,求直线 AB 的方程 P y A O l C B x

x2 y 2 2 ,且 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 2 a b 2

-4-

x2 y 2 2 23. 【2015 高考福建, 理 18】 已知椭圆 E: 2 + 2 = 1(a > b > 0) 过点 (0, 2) , 且离心率为 . a b 2
y A

G B

O

x

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设直线 x = my - 1,(m ? R )交椭圆 E 于 A,B 两点, 判断点 G (- ,0)与以线段 AB 为直径的圆的位置关系,并说明理由.

9 4

x2 1 24. 【2015 高考浙江, 理 19】 已知椭圆 ? y 2 ? 1 上两个不同的点 A ,B 关于直线 y ? mx ? 2 2
对称. (1)求实数 m 的取值范围; (2)求 ?AOB 面积的最大值( O 为坐标原点) .

-5-

25.【2015 高考山东,理 20】平面直角坐标系 xoy 中,已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的 a 2 b2

离心率为

3 ,左、右焦点分别是 F1 , F2 ,以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1 为 2

半径的圆相交,且交点在椭圆 C 上. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

x2 y2 (Ⅱ)设椭圆 E : 2 ? 2 ? 1 , P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y ? kx ? m 交椭圆 4a 4b
E
于 A, B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q .

( i )求

OQ OP

的值;

(ii)求 ?ABQ 面积的最大值.

x2 y 2 26,【2015 高考安徽,理 20】设椭圆 E 的方程为 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,点 O 为坐标原点, a b

0 ? ,点 B 的坐标为 ? 0, b ? ,点 M 在线段 AB 上,满足 BM ? 2 MA ,直线 点 A 的坐标为 ? a,
OM 的斜率为

5 . 10

(I)求 E 的离心率 e;

? b ? ,N 为线段 AC 的中点,点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐 (II)设点 C 的坐标为 ? 0,
标为

7 ,求 E 的方程. 2

-6-

27.【2015 高考天津,理 19】 (本小题满分 14 分)已知椭圆

x2 y 2 + =1(a > b > 0) 的左焦点为 a 2 b2

F ( ?c,0) ,离心率为

b4 3 2 2 ,点 M 在椭圆上且位于第一象限,直线 FM 被圆 x +y = 截得的 4 3
4 3 . 3

线段的长为 c, |FM|=

(I)求直线 FM 的斜率; (II)求椭圆的方程; (III)设动点 P 在椭圆上,若直线 FP 的斜率大于 2 ,求直线 OP ( O 为原点)的斜率 的取值范围.

28.【2015 高考重庆,理 21】如题(21)图,椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别 a 2 b2

为 F1 , F2 , 过 F2 的直线交椭圆于 P, Q 两点,且 PQ ? PF1
y P

F1

O

F2

x

Q

(1)若 PF1 ? 2 ? 2, PF2 ? 2 ? 2 ,求椭圆的标准方程 (2)若 PF1 ? PQ , 求椭圆的离心率 e.

-7-

29.【2015 高考四川,理 20】如图,椭圆 E:

x2 y2 2 ,过点 P + 2 ? 1( a ? b ? 0) 的离心率是 2 a b 2

(0,1)的动直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,当直线 l 平行与 x 轴时,直线 l 被椭圆 E 截得的 线段长为 2 2 . (1)求椭圆 E 的方程; (2)在平面直角坐标系 xOy 中,是否存在与点 P 不同的定点 Q,使得 若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

QA PA 恒成立? ? QB PB

30.【2015 高考湖北,理 21】一种作图工具如图 1 所示. O 是滑槽 AB 的中点,短杆 ON 可绕

O 转动,长杆 MN 通过 N 处铰链与 ON 连接, MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动,且
DN ? ON ? 1 , MN ? 3 .当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时,带动 ..N 绕 O 转动一周( D 不

动时, N 也不动) , M 处的笔尖画出的曲线记为 C .以 O 为原点, AB 所在的直线为 x 轴建 立如图 2 所示的平面直角坐标系. (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)设动直线 l 与两定直线 l1 : x ? 2 y ? 0 和 l2 : x ? 2 y ? 0 分别交于 P, Q 两点.若直线 l 总与 曲线 C 有且只有一个公共点,试探究: ?OQP 的面积是否存在最小值?若存在,求出该最 小值;若不存在,说明理由.
N A D O B

y N D O

第 21 题图 2

x

M

第 21 题图 1

M

-8-

31.【2015 高考陕西,理 20】 (本小题满分 12 分)已知椭圆 ? : 半焦距为 c ,原点 ? 到经过两点 ? c, 0 ? ,

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的 a 2 b2

? 0, b ? 的直线的距离为

1 c. 2
2 2

(I)求椭圆 ? 的离心率; (II)如图, ?? 是圆 ? : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 求椭圆 ? 的 方程.

5 的一条直径,若椭圆 ? 经过 ? , ? 两点, 2

32.【2015 高考新课标 1,理 20】在直角坐标系 xoy 中,曲线 C:y= 0)交与 M,N 两点, (Ⅰ)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程;

x2 与直线 y ? kx ? a ( a > 4

(Ⅱ)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.

-9-

33.【2015 高考北京,理 19】已知椭圆 C :

x2 y 2 2 1? ,点 P ? 0 , ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 a 2 b2 2

n ? ? m ≠ 0 ? 都在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M . 和点 A ? m ,
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m , n 表示) ; (Ⅱ)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N .问: y 轴上是否 存在点 Q ,使得 ?OQM ? ?ONQ ?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.

34【2015 高考湖南,理 20】已知抛物线 C1 : x 2 ? 4 y 的焦点 F 也是椭圆

C2 :

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点, C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6 . a 2 b2

(1)求 C2 的方程; (2)过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A , B 两点,与 C2 相交于 C , D 两点,且 AC 与 BD 同向 (ⅰ)若 | AC |?| BD | ,求直线 l 的斜率 (ⅱ)设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M ,证明:直线 l 绕点 F 旋转时, ?MFD 总是 钝角三角形

????

??? ?

35【2015 高考上海,理 21】已知椭圆 x ? 2 y ? 1 ,过原点的两条直线 l1 和 l2 分别于椭圆交
2 2

于 ? 、 ? 和 C 、 D ,记得到的平行四边形 ??CD 的面积为 S . ( 1 ) 设 ? ? x1 , y1 ? , C ? x2 , y2 ? , 用 ? 、 C 的 坐 标 表 示 点 C 到 直 线 l1 的 距 离 , 并 证 明

S ? 2 x1 y1 ? x2 y1 ;
(2)设 l1 与 l2 的斜率之积为 ?

1 ,求面积 S 的值. 2

- 10 -


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