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数列通项公式奇数项偶数项分段的类型 2


数列通项公式奇数项偶数项分段的类型 交叉数列

a ? 1 n

?

6 n ?5, n为奇数 4 n ,n为偶数

, 求S n
? 1, a2 ? 3 。

bn 、 bn ?1 2 有两个正项数列 ?an ?、 对于任意的自然数 n 都有 an 、 ?bn ?,
成等差数列; bn 、 an ?1 、 bn ?1 成等比数列。其中 a1 求 ?an ?和 ?bn ?。 an ?
n?n ? 1? ?n ? 1? bn ? 2 2
2

3.已知数列 ?an ? 中 a1 ? 1, a2k ? a2k ?1 ? ??1?k , a1 ? 1, a2k ?1 ? a2k ? 3k 。( 1 )求

a3和a5。 (2)求 an
3 an?1 ? bn?1 ?1 ? an ? 3 4 4 (n ? 2) 。 4.数列 ?a ?、 ?b ?满足 a1 ? 2, b1 ? 1 ,且 ? bn ? 1 an?1 ? 3 bn?1 ?1 ? 4 4
n n

(1)设 cn ? an ? bn 。求数列 ?cn ?的通项(2)求 ?an ?及其前 n 项和 Sn 1.求和: Sn

? 1 ? 5 ? 9 ?13??? (?1)n?1 (4n ? 3)

2.已知数列 ?an ?中 a1 ? 2, an ? an?1 ? 1 , Sn 为 ?an ?的前 n 项和。求 Sn (奇数 N/2,偶数:(n+3)/2 3.已知数列 ?an ?中 a1 ? 1, a2 ? 4, an ? an?2 ? 3(n ? 3) , Sn 为 ?an ?的前 n 项和。 求 Sn
n(n ? 1) n(n ? 1) (偶数) ? n。 (奇数) ? n -1 2 2
n 2

1? * 4.已知 an、an?1 为方程 x ? Cn x ? ? ? ? ? 0 的两个根 n ? N , 3 ? ?
a1 ? 2.Sn ? C1 ? C2 ? ? ? Cn。 n ? N * , a1 ? 2.Sn ? C1 ? C2 ? ?? Cn。求an及S2n
例 76 数列{an}的首项 a1=1,且对任意 n∈N,an 与 an+1 恰为方程 x2-bnx+2n=0 的两 个根. (Ⅰ)求数列{an}和数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解:(Ⅰ)由题意 n∈N*,an· an+1=2n

an+1· an+2 an+2 2n 1 = = n =2'(1 分) an 2 an· an+1 又∵a1· a2=2'a1=1'a2=2 ∴a1,a3,…,a2n-1 是前项为 a1=1 公比为 2 的等比数列, a2,a4,…,a2n 是前项为 a2=2 公比为 2 的等比数列 - ∴a2n-1=2n 1' a2n=2n' n∈N*




n ?1 ? ?2 2 ,n为奇数 即 an= ? n ? ? 2 ,n为偶数

又∵bn=an+an+1 n-1 n+1 n-1 当 n 为奇数时,bn=2 +2 =3· 2 2 2 2 n n n 当 n 为偶数时,bn=2 +2 =2· 2 2 2 2
n ?1 ? ?3 ? 2 2 ,n为奇数 ∴bn= ? 1? n 2 ? ? 2 ,n为偶数

(Ⅱ)Sn=b1+b2+b3+…+bn 当 n 为偶数时, Sn=(b1+b3+…+bn-1)+(b2+b4+…+bn) n n 3-3· 2 4-4· 2 2 2 n = + =7· 2 -7 ( 2 1-2 1-2 当 n 为奇数时, Sn=b1+b2+…+bn-1+bn n-1 =Sn-1+bn=10· 2 -7 ( 2
n ?1 ? ?10 ? 2 2 ? 7,n为奇数 Sn= ? n 2 ? 7 ? 2 ? 7,n为偶数 ?

例 77 数列 {an } 的通项 an ? n (cos
2

2

n? n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn . 3 3

(1) 求 Sn ;

S3n , 求数列{ bn }的前 n 项和 Tn . n ? 4n n? 2n? 2 n? ? sin 2 ? cos 解: (1) 由于 cos ,故 3 3 3
(2) bn ?

S3k ? (a1 ? a2 ? a3 ) ? (a4 ? a5 ? a6 ) ? ? (?
?

? (a3k ?2 ? a3k ?1 ? a3k ) ? (? (3k ? 2) 2 ? (3k ? 1) 2 ? (3k ) 2 )) 2

12 ? 22 4 2 ? 52 ? 32 ) ? (? ? 62 ) ? 2 2
? 18k ? 5 k (9k ? 4) ? , 2 2

13 31 ? ? 2 2

S3k ?1 ? S3k ? a3k ?

k (4 ? 9k ) , 2

S3k ?2 ? S3k ?1 ? a3k ?1 ?

k (4 ? 9k ) (3k ? 1) 2 1 3k ? 2 1 ? ? ?k ? ? ? , 2 2 2 3 6



n 1 ? ? ? , n ? 3k ? 2 ? 3 6 ? ? (n ? 1)(1 ? 3n) Sn ? ? , n ? 3k ? 1 6 ? ? n(3n ? 4) , n ? 3k ? 6 ?

(k ?N )
*

(2) bn ?

S3n 9n ? 4 ? , n n?4 2 ? 4n 1 13 22 9n ? 4 Tn ? [ ? 2 ? ? ], 2 4 4 4n 1 22 9n ? 4 4Tn ? [13 ? ? ? n ?1 ], 2 4 4

两式相减得

9 9 ? n 9 9n ? 4 1 9n ? 4 1 9n ? n ?1 ? n ] ? [13 ? 4 4 ? ] ? 8 ? 2 n ?3 ? 2 n ?1 , n 1 4 4 2 4 2 2 1? 4 8 1 3n Tn ? ? ? 2 n ?1 . 故 2 n ?3 3 3? 2 2 n? 2 n? )an ? sin 2 , n ? 1, 2,3, . 例 78 数列 ?an ? 满足a1 ? 1, a2 ? 2, an ? 2 ? (1 ? cos 2 2 1 9 3Tn ? [13 ? ? 2 4
(Ⅰ)求 a3 , a4 , 并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

a2 n?1 , Sn ? b1 ? b2 ? a2 n

1 ? bn . 证明:当 n ? 6时, Sn ? 2 ? . n
2

.解:(Ⅰ)因为 a1 ? 1, a2 ? 2, 所以 a3 ? (1 ? cos

?
2

)a1 ? sin 2

?
2

? a1 ? 1 ? 2,

a4 ? (1 ? cos2 ? )a2 ? sin 2 ? ? 2a2 ? 4.
* 一般地,当 n ? 2k ? 1(k ? N ) 时, a2 k ?1 ? [1 ? cos
2

(2k ? 1)? 2k ? 1 ]a2 k ?1 ? sin 2 ? 2 2

= a2 k ?1 ? 1 ,即 a2 k ?1 ? a2 k ?1 ? 1. 所以数列 ?a2 k ?1? 是首项为 1、公差为 1 的等差数列,因此 a2 k ?1 ? k.
* 当 n ? 2k (k ? N ) 时, a2 k ? 2 ? (1 ? cos
2

2 k? 2 k? )a2 k ? sin 2 ? 2a2 k . 2 2

所以数列 ?a2 k ? 是首项为 2、公比为 2 的等比数列,因此 a2k ? 2k.

? n ?1 * ? 2 , n ? 2k ? 1(k ? N ), 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? ? n * 2 ?2 , n ? 2k (k ? N ).
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, bn ?

a2 n ?1 n 1 2 3 ? 2 , Sn ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2 a2 n 2

?

n , 2n



1 1 2 3 n S n ? 2 ? 2 ? 4 ? ? n ?1 ② 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n ①-②得, S n ? ? 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 . 2 2 2 2 2 2 1 1 [1 ? ( ) 2 ] 2 ? n ? 1? 1 ? n . ?2 1 2n ?1 2n 2n ?1 1? 2 1 n n?2 所以 S n ? 2 ? n ?1 ? n ? 2 ? n . 2 2 2 1 n(n ? 2) 要证明当 n ? 6 时, Sn ? 2 ? 成立,只需证明当 n ? 6 时, ? 1 成立. n 2n
证法一

6 ? (6 ? 2) 48 3 ? ? ? 1 成立. 26 64 4 k (k ? 2) (2)假设当 n ? k (k ? 6) 时不等式成立,即 ? 1. 2k
(1)当 n = 6 时, 则当 n=k+1 时,

(k ? 1)( k ? 3) k( k ? 2) ( k ?1)( k ?3) ( k ?1)( k ?3) ? ? ? ? 1. 2k ?1 2k 2k (k ? 2) (k ? 2) 2k

由(1)、(2)所述,当 n≥6 时,

n(n ? 1) 1 ? 1.即当 n≥6 时, Sn ? 2 ? . 2 2 n

证法二 令 cn ?

(n ? 1)(n ? 3) n(n ? 2) 3 ? n 2 n(n ? 2) c ? c ? ? ? n?1 ? 0. ,则 ( n ? 6) n ?1 n 2n?1 22 2 22

6?8 3 ? ? 1. 64 4 n(n ? 2) 1 于是当 n ? 6 时, ? 1. 综上所述,当 n ? 6 时, Sn ? 2 ? . 2 2 n
所以当 n ? 6 时, cn ?1 ? cn .因此当 n ? 6 时, cn ? c6 ?

例 79 设 m 个不全相等的正数 a1 , a2 ,

, am (m ? 7) 依次围成一个圆圈.

(Ⅰ)若 m ? 2009 ,且 a1 ,a2 ,

, a1005 是公差为 d 的等差数列,而 a1 , a2009 , a2008 , , am 的前 n 项和 Sn (n ? m) 满足:

, a1006 是

公比为 q ? d 的等比数列;数列 a1 , a2 ,

S3 ? 15, S2009 ? S2007 ? 12a1 ,求通项 an (n ? m) ;
解:因 a1 , a2009 , a2008 , ???, a1006 是公比为 d 的等比数列,从而 a2000 ? a1d , a2008 ? a1d 2 由

S2009 ? S2008 ? 12a1 得a2008 ? a2009 ? 12a 1 ,故
解得 d ? 3 或 d ? ?4 (舍去)。因此 d ? 3 又

S3 ? 3a1 ? 3d ? 15 。解得 a1 ? 2

从而当 n ? 1005 时,

an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 3(n ?1) ? 3n ?1
当 1006 ? n ? 2009 时,由 a1 , a2009 , a2008 , ???, a1006 是公比为 d 的等比数列得

an ? a1d 2009?( n?1) ? a1d 2010?n (1006 ? n ? 2009)
因此 an ? ?

?3n ? 1, n ? 1005 ?2 ? 3
2009 ? n

,1006 ? n ? 2009

例 80 已知数列错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 (1)求证:数列错误!未找到引用源。与错误!未找到引用源。都是等比数列;(2) 求数列错误!未找到引用源。前错误!未找到引用源。的和错误!未找到引用源。; (3)若数列错误!未找到引用源。前错误!未找到引用源。的和为错误!未找到引用 源。,不等式错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。恒成立,求错误!未找到引 用源。的最大值。 解:(1)∵错误!未找到引用源。,∴错误!未找到引用源。 2分 ∴数列错误!未找到引用源。是以 1 为首项,错误!未找到引用源。为公比的等 比数列; 数列错误!未找到引用源。是以错误!未找到引用源。为首项,错误!未找到引 用源。为公比的等比数列。 (2)错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 4分

9分 (3)错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。当且仅当错误!未找到引用源。时取等号,所以错误!未找到 引用源。,即错误!未找到引用源。,∴错误!未找到引用源。的最大值为-48 例 82. 在 单 调 递 增 数 列 {an } 中 , a1 ? 1 , a 2 ? 2 , 且 a2n?1 , a2n , a2n?1 成 等 差 数 列 ,

a2n , a2n?1 , a2n?2 成等比数列, n ? 1 , 2 , 3 , ?.
(1)分别计算 a 3 , a 5 和 a4 , a6 的值; (2)求数列 {an } 的通项公式(将 an 用 n 表示); (3)设数列 {

4n 1 } 的前 n 项和为 S n ,证明: S n ? , n ? N* . n?2 an
2 a3 32 9 ? ? , a2 2 2

解:(1)由已知,得 a3 ? 2a2 ? a1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 3 , a 4 ?

a 5 ? 2a 4 ? a 3 ? 2 ?

a 2 62 9 ? 3 ? 6 , a6 ? 5 ? ?8. 9 2 a4 2

(2)∵ a2n ?1 , a2n , a2n ?1 成等差数列,∴ a2 n ?1 ? 2a 2 n ? a 2 n ?1 , n ? 1 , 2 , 3 , ? ; ∵ a2 n , a2n ?1 , a2n ?2 成等比数列,∴ a 2 n ? 2 ? 又
2 a2 n ?1 , n ?1, 2 , 3,? . a2n

a3 3 a5 4 a 7 5 a 9 a 16 a 25 ? , ? , ? ,……; 4 ? , 6 ? , 8 ? ,…… a1 1 a 3 2 a 5 3 a 2 4 a4 9 a 6 16
2

a n ? 2 a2n? 2 ? n ? 2 ? ∴猜想 2 n ?1 ? , ?? ? , n ? N* , a 2 n?1 n a2 n ? n ?1 ?
以下用数学归纳法证明之.
2



a a 3 1 ? 2 a 2?1? 2 a 4 9 ? 1 ? 2 ? ①当 n ? 1 时, 2?1?1 ? 3 ? ? , ? ? ?? ? ,猜想成立; a 2?1?1 a1 1 1 a 2?1 a2 4 ? 1 ? 1 ? a k ? 2 a2k ? 2 ? k ? 2 ? ②假设 n ? k (k ? 1) 时,猜想成立,即 2 k ?1 ? , ?? ? , a 2 k ?1 k a2 k ? k ?1 ?
2 a2 k ?1 ? a2 k ?1 a2 k ?3 2a2 k ? 2 ? a2 k ?1 a2k 2a 那么 ? ? ? 2 k ?1 ? 1 a2 k ?1 a2 k ?1 a2 k ?1 a2k a k?2 4 ? 2 k ?1 4? 2a 2 k ?1 a 2 k ?1 k ?1 ? ?1 ? ?1 ? a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 a 2 k ?1 k?2 1? 1? k 2 a 2 k ?1

2

2?

?

2( k ? 2) (k ? 1) ? 2 ?1 ? , k ?1 k ?1 2 a2 k ?3 a 2 k ? 4 a 2 k ? 2 ? a 2 k ?3 ? ?? a2k ?2 a2k ?2 ? ? a2k ?2

? ? 2a 2 k ? 2 ? a 2 k ?1 ? ? ? ? ?? ? ? a2k ?2 ? ? ?
? ? ? ?
2

2

2

? 2a ? a2k a2k ?2 ? ? 2k ?2 ? a2k ?2 ?
2

? a2k ?2 ? ?2 ?1? a2k ? ? ?? ? a2k ?2 ? ? ? ? a2k ? ?

2

k?2 ? ? 2 ?1? ? 2? ? (k ? 1) ? 2 ? k ? 1 ? ?? ?? . k?2 (k ? 1) ? 1 ? ? ? ? ? ? ? k ?1 ? ?
∴ n ? k ? 1 时,猜想也成立. 由①②,根据数学归纳法原理,对任意的 n ? N* ,猜想成立. ∴

a2 n?1 ? a1 ?

a3 a5 a 7 a a ? ? ? ?? 2 n?3 ? 2 n?1 a1 a3 a5 a 2 n ?5 a 2 n ?3

3 4 5 n n ? 1 n(n ? 1) ? 1? ? ? ? ?? ? ? , 1 2 3 n ? 2 n ?1 2 a a a a a2n ? a2 ? 4 ? 6 ? 8 ? ?? 2n a 2 a 4 a6 a2n?2

(n ? 1) 2 ? 3? ? 4? ?5? ? n ? 1? . ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 2 ? 2? ? 3? ? 4? ? n ?
n ?1? n ?1 ? ? 1? ? 2 ? 2 ? ? (n ? 1)(n ? 3) ∴当 n 为奇数时, a n ? ; 2 8 2 ?n ? ? ? 1? 2 ? 2 ? ? (n ? 2) . 当 n 为偶数时, a n ? 2 8 ? (n ? 1)(n ? 3) , n为奇数 ? ? 8 即数列 {an } 的通项公式为 a n ? ? . 2 ? (n ? 2) , n为偶数 ? ? 8

2

2

2

2

8 ? , n为奇数 ? 1 ? (n ? 1)(n ? 3) (3)由(2),得 . ?? an ? 8 , n为偶数 2 ? ? (n ? 2)

显然, S1 ?

1 4 4 ?1 ; ?1? ? a1 3 1? 2

当 n 为偶数时,

? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? S n ? 8? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ??? ? ? 4?6 6 6?8 8 n ? ( n ? 2) ( n ? 2) 2 ? ?2? 4 4 ?? 1 ? ?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 1 ? ? 8?? ? ? ? ? ??? ??? ? ??? ? ? ?? 2 ? 4 2 ? 4 4 ? 6 4 ? 6 6 ? 8 6 ? 8 n ? ( n ? 2 ) n ( n ? 2 ) ? ? ? ? ? ? ? ?? ?

?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ? 8?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? n n ? 2 ?? ?? 2 4 ? ? 4 6 ? ? 6 8 ? 1 ? 4n ?1 ; ? 8? ? ?? ?2 n? 2? n? 2 1 4(n ? 1) 8 当 n 为奇数( n ? 3 )时, S n ? S n ?1 ? ? ? an (n ? 1) ? 2 (n ? 1)(n ? 3) ? ? n ?1 4n 2 n ? 4n 8 4n . ? 4? ? ? ? ? ? ? n?2 ? n ? 1 (n ? 1)(n ? 3) n ? 2 ? n ? 2 (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) n ? 2 4n 综上所述, S n ? , n ? N* . n?2
2 } 的前 n 例 83 已知等比数列 {an } 的公比为 q ,首项为 a1 ,其前 n 项的和为 S n .数列 {an

项的和为 An , 数列 {(?1) n?1 an} 的前 n 项的和为 Bn . (1)若 A2 ? 5 , B2 ? ?1 ,求 {an } 的通项公式; (2)①当 n 为奇数时,比较 Bn Sn 与 An 的大小; ②当 n 为偶数时,若 q ?1 ,问是否存在常数 ? (与 n 无关),使得等式
( Bn ? ? )Sn ? An ? 0 恒成立,若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由.

解: (1) ∵ A2 ? 5, B2 ? ?1 ,

?a 2 ? a12 q 2 ? 5, ∴? 1 ? a1 ? a1q ? ?1,

? a1 ? ?2, ? a1 ? 1, ? ∴? 1 或? q ? , ? q ? 2. ? ? 2

1 ∴ an ? ?( )n ? 2 ,或 an ? 2n?1 . 2
(2) ∵

an?12 a ? ( n?1 )2 ? q 2 ? 常数, 2 an an

(?1)n?2 an?1 a ? (?1) ? n?1 ? ?q =常数, n ?1 (?1) an an

2 ∴数列 {an } ,{(?1)n?1 an } 均为等比数列,首项分别为 a12 , a1 ,公比分别为 q 2 , ?q .

①当 n 为奇数时, 当 q ? 1 时, Sn ? na1 , An ? na12 , Bn ? a1 , ∴ Bn Sn ? na12 ? An . 当 q ? ?1 时, Sn ? a1 , An ? na12 , Bn ? na1 , ∴ Bn Sn ? na12 ? An . 当 q ? ?1 时, 设 n ? 2k ? 1(k ? N? ) ,
S2 k ?1 ? a1 (1 ? q 2 k ?1 ) a 2 [1 ? (q 2 )2 k ?1 ] a12 (1 ? q 2 k ?1 )(1 ? q 2 k ?1 ) ? , A2 k ?1 ? 1 , 1? q 1 ? q2 1 ? q2

B2 k ?1 ?

a1[1 ? (?q)2 k ?1 ] a1 (1 ? q 2 k ?1 ) ? , 1? q 1? q

∴ B2k ?1S2k ?1 ? A2k ?1 . 综上所述,当 n 为奇数时, Bn Sn ? An . ②当 n 为偶数时, 存在常数 ? ? ∵ q ? 1,
a1 (1 ? q n ) a 2 (1 ? q 2 n ) a1 (1 ? q n ) B ? , An ? 1 , . n 1? q 1 ? q2 1? q

2a1 ,使得等式 ( Bn ? ? )Sn ? An ? 0 恒成立. 1? q

∴ Sn ?

∴ ( Bn ? ? )Sn ? An = [

a1 (1 ? q n ) a (1 ? q n ) a12 (1 ? q 2 n ) ? ?] 1 ? 1? q 1? q 1 ? q2

?

a12 (1 ? q n )2 ? a1 (1 ? q n ) a12 (1 ? q 2 n ) ? ? 1 ? q2 1? q 1 ? q2 2a12 (1 ? q n ) ? a1 (1 ? q n ) ? 1 ? q2 1? q
a1 (1 ? q n ) 2a1 ( ? ?) . 1? q 1? q

?

=

由题设, ∴? ?

a1 (1 ? q n ) 2a1 a (1 ? q n ) ( ? ? ) ? 0 对所有的偶数 n 恒成立,又 1 ? 0, 1? q 1? q 1? q

2a1 . 1? q 2a1 ,使得等式 ( Bn ? ? )Sn ? An ? 0 恒成立. 1? q

∴存在常数 ? ?


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