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北京市西城区2013—2014学年度高三第一学期期末数学(理)试题


2014 年元月西城区高三数学(理)上学期期末试卷
2014.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.设集合 A ? {x | 0 ? x ? 2} , B ? {x | | x | ≤1} ,则集合 A ? B ? ( (A) (0,1) (B) (0,1] (C) (1, 2) ) (D) i )

(D) [1,

2)

2.已知复数 z 满足 z = (A) ?1

2i ,那么 z 的虚部为( 1? i (B) ?i (C) 1

3.在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 若 a ? 3 , b ? 2 , cos( A ? B) ? 则c ?( (A) 4 ) (B) 15 (C) 3 (D) 17 )
开始 i=1,S=0

1 , 3

4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(

3 (A) 4 4 (B) 5 5 (C) 6 (D) 1

S?S?

1 i (i ? 1)

i=i+1

i≥5
是 输出 S 结束



AB 的中点 5.已知圆 C : ( x + 1) + ( y - 1) = 1 与 x 轴切于 A 点,与 y 轴切于 B 点,设劣弧 ?
2 2

为 M,则过点 M 的圆 C 的切线方程是( (A) y = x + 2 -



2 2
2

(B) y = x + 1-

1 2
2


(C) y = x - 2 +
2

(D) y = x + 1-

6. 若曲线 ax ? by ? 1 为焦点在 x 轴上的椭圆,则实数 a , b 满足( (A) a ? b
2 2

(B)

1 1 ? a b

(C) 0 ? a ? b

(D) 0 ? b ? a

7 .定义域为 R 的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 1) ? 2 f (x ) ,且当 x ? (0,1] 时, f ( x) ? x 2 ? x ,则当
x ?[?2, ?1] 时, f ( x) 的最小值为(

) (C) ?
1 4

(A) ?

1 16

(B) ?

1 8

(D) 0

8. 如图,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 2 3 ,动点 P 在对角线 BD1 上,过点 P 作垂 直于 BD1 的平面 ? ,记这样得到的截面多边形 (含三角形)的周长为 y,设 BP ? x, 则当 x ? [1,5] 时,函数 y ? f ( x) 的值域为( ) D A (A) [2 6, 6 6] (B) [2 6,18] (C) [3 6,18] P B (D) [3 6, 6 6] C A1 D1 B1 C1

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 在平面直角坐标系 xOy 中, 点 A3 1 ,) ( , 若向量 OA ? AB , 则实数 k ? _____. B(?2, k ) ,

??? ?

??? ?

10 . 若 等 差 数 列 {an } 满 足 a1 ?

1 , a4 ? a6 ? 5 , 则 公 差 d ? ______ ; 2

a2 ? a4 ? a6 ? ? ? a20 ? ______.
11.已知一个正三棱柱的所有棱长均相等,其侧(左)视图如图所 示,那么此三棱柱正(主)视图的面积为______.

12.甲、乙两名大学生从 4 个公司中各选 2 个作为实习单位,则两 人所选的实习单位中恰有 1 个相同的选法种数是______. (用数字作 答)

2 侧(左)视图

13. 如图, B, C 为圆 O 上的两个点, P 为 CB 延长线上一点, PA 为圆 O 的切线, A 为 切点. 若 PA ? 2 , BC ? 3 ,则 PB ? ______;

AC ? ______. AB
O. C B A P

? x ? y≥0, ? 14.在平面直角坐标系 xOy 中,记不等式组 ? x ? y≤0, 所表示的平面区域为 D .在映射 ? x 2 ? y 2 ≤2 ?

?u ? x ? y , T :? 的作用下,区域 D 内的点 ( x, y ) 对应的象为点 (u, v) . ?v ? x ? y
(1)在映射 T 的作用下,点 (2, 0) 的原象是 ;

(2)由点 (u, v) 所形成的平面区域的面积为______. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15. ( 13 分)已知函数 f ( x) ? 3 cos ? x , g ( x) ? sin(? x ? )(? ? 0) ,且 g ( x) 的最小正 周期为 π . (Ⅰ)若 f (? ) ?

π 3

6 , ? ? [? π, π] ,求 ? 的值; 2

(Ⅱ)求函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的单调增区间.

16. ( 13 分)以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩.乙组记 录中有一个数字模糊,无法确认,假设这个数字具有随机性,并在图中以 a 表示. (Ⅰ)若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同,求 a 的值; (Ⅱ)求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率; (Ⅲ)当 a ? 2 时,分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学,记这两名同学数学成绩 之差的绝对值为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望. 甲组 8 2 2 8 9 0 1 a 乙组

17. ( 14 分)如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60 ? , 四边形 BDEF 是矩形,平面 BDEF⊥平面 ABCD,BF=3, H 是 CF 的中点. (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BDEF; (Ⅱ)求直线 DH 与平面 BDEF 所成角的正弦值; (Ⅲ)求二面角 H ? BD ? C 的大小. F D H C A B E

18. ( 13 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? a)e ,其中 e 是自然对数的底数, a ? R .
x

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? 1 时,试确定函数 g ( x) ? f ( x ? a) ? x 的零点个数,并说明理由.
2

19. ( 14 分)已知 A, B 是抛物线 W : y ? x 上的两个点,点 A 的坐标为 (1,1) ,直线 AB 的
2

斜率为 k, O 为坐标原点. (Ⅰ)若抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方,求 k 的取值范围; (Ⅱ)设 C 为 W 上一点,且 AB ? AC ,过 B, C 两点分别作 W 的切线,记两切线的交 点为 D ,求 OD 的最小值.

20. ( 13 分)设无穷等比数列 {an } 的公比为 q,且 an ? 0( n ? N ) ,[an ] 表示不超过实数 an
*

的最大整数(如 [2.5] ? 2 ),记 bn ? [an ] ,数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,数列 {bn } 的前 n 项和 为 Tn . (Ⅰ)若 a1 = 4, q =

1 ,求 Tn ; 2

(Ⅱ)若对于任意不超过 2014 的正整数 n,都有 Tn = 2n + 1,证明: ( ) 2012 ? q ? 1 . (Ⅲ)证明: S n = Tn ( n = 1, 2,3,L )的充分必要条件为 a1 挝N , q
*

2 3

1

N* .

2014 年元月西城区高三数学(理)上学期期末试卷

参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.B 2.C 3.D 4.B 5.A 6.C

2014.1

7.A

8.D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 4 12. 24 10.

1 , 55 2

11. 2 3 14. (1,1) ,

13. 1 , 2

π

注:第 10、13、14 题第一问 2 分,第二问 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15. ( 13 分) (Ⅰ)解:因为 g ( x) ? sin(? x ? )(? ? 0) 的最小正周期为 π , 所以

π 3

2? ? ? ,解得 ω ? 2 ? 3 分 |ω|
由 f (? ) ?

6 6 2 ,得 3 cos 2? ? ,即 cos 2? ? ,???? 4 分 2 2 2

所 以

2? ? 2kπ ?

π 4



k ?Z

. 因 为

? ? [?π, π] , 所 以

? ?{ ?

7π 8

π π 7π ??? , ? , , }6分 8 8 8 π 3 π π ? 3 cos 2 x ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin 3 3

(Ⅱ)解:函数 y ? f ( x) ? g ( x) ? 3 cos 2 x ? sin(2 x ? )

?

8



1 3 π ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) ,???10 分 2 2 3

π π π ????11 分 ≤2 x ? ≤2kπ ? , 2 3 2 5π π 解得 kπ ? ≤x≤kπ ? . ????12 分 12 12 5π π 所以函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的单调增区间为 [kπ ? ,kπ ? ](k ? Z) .??13 分 12 12
由 2kπ ?

16. ( 13 分) (Ⅰ)解:依题意,得 解得 a ? 1 .

1 1 (88 ? 92 ? 92) ? [90 ? 91 ? (90 ? a)] ,?? 2 分 3 3
??? 3 分

(Ⅱ)解:设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件 A , ??? 4 分 依题意 a ? 0,1, 2,?,9 ,共有 10 种可能. ???? 5 分

由(Ⅰ)可知,当 a ? 1 时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同, 所以当 a ? 2,3, 4,?,9 时,乙组平均成绩超过甲组平均成绩,共有 8 种可能.? 6 分 所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率 P( A) ?

8 4 ? .??? 7 分 10 5

(Ⅲ)解:当 a ? 2 时,分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学,所有可能的成绩结 果有 3 ? 3 ? 9 种, 它们是: (88,90) , (88,91) , (88,92) , (92,90) , (92,91) , (92,92) ,

(92,90) , (92,91) , (92,92) ,

????? 9 分

则这两名同学成绩之差的绝对值 X 的所有取值为 0,1, 2,3, 4 . ????? 10 分 因此 P ( X ? 0) ?

2 2 1 1 1 , P( X ? 1) ? , P( X ? 2) ? , P( X ? 3) ? , P( X ? 4) ? . 9 9 3 9 9
???? 11 分

所以随机变量 X 的分布列为:

X
P

0

1

2

3

4

2 9

2 9

1 3

1 9

1 9
????12 分

所以 X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ?

2 2 1 1 1 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? .???13 分 9 9 3 9 9 3

17. ( 14 分) (Ⅰ)证明:因为四边形 ABCD 是菱形,所以 AC ? BD . ??? 1 分 因为平面 BDEF ? 平面 ABCD ,且四边形 BDEF 是矩形, 所以 ED ? 平面 ABCD , ??? 2 分

又因为 AC ? 平面 ABCD ,所以 ED ? AC .???? 3 分 因为 ED ? BD ? D ,所以 AC ? 平面 BDEF .????? 4 分 (Ⅱ)解:设 AC ? BD ? O ,取 EF 的中点 N ,连接 ON , 因为四边形 BDEF 是矩形, O, N 分别为 BD, EF 的中点,所以 ON //ED ,

又因为 ED ? 平面 ABCD ,所以 ON ? 平面 ABCD , 由 AC ? BD ,得 OB, OC, ON 两两垂直. 所以以 O 为原点,OB, OC, ON 所在直线 分别为 x 轴,y 轴,z 轴,如图建立空间直角坐标系. ????? 5 分 z E N ??????6 分 F D O A B x H C y

因为底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60? , BF ? 3 , 所以 A(0, ? 3, 0) , B(1,0,0) , D(?1, 0, 0) , E(?1,0,3) ,

F (1,0,3) , C (0, 3, 0) , H ( 1 , 3 , 3 ) . 2 2 2
因为 AC ? 平面 BDEF ,

所以平面 BDEF 的法向量 AC ? (0, 2 3,0) . ????7 分 设直线 DH 与平面 BDEF 所成角为 ? , 由 DH ? ( ,

????

???? ?

3 3 3 , ), 2 2 2

3 3 3 ???? ? ???? ?0? ?2 3 ? ?0 ???? ? ???? DH ? AC 7 2 2 ? ? ???? ? 2 得 sin ? ?| cos ? DH , AC ?|? ???? , 7 21 DH AC ?2 3 2
所以直线 DH 与平面 BDEF 所成角的正弦值为 (Ⅲ)解:由(Ⅱ) ,得 BH ? (? ,

7 . 7

??9 分

????

??? ? 1 3 3 , ) , DB ? (2, 0, 0) . 2 2 2

设平面 BDH 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 ) ,

???? ? n ? BH ? 0, ? 所以 ? ? ??? n ? DB ? 0, ? ?
即?

????10 分

? ? ? x1 ? 3 y1 ? 3 z1 ? 0, ? ? 2 x1 ? 0,

令 z1 ? 1 ,得 n ? (0, ? 3,1) .

??????11 分

由 ED ? 平面 ABCD ,得平面 BCD 的法向量为 ED ? (0, 0, ?3) ,

??? ?

??? ? ??? ? n ? ED 0 ? 0 ? (? 3) ? 0 ? 1? (?3) 1 ?? . ??? ? ? 则 cos ? n, ED ?? 2?3 2 n ED


?????? 13

由图可知二面角 H ? BD ? C 为锐角,所以二面角 H ? BD ? C 的大小为 60? .???

14 分 18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:因为 f ( x) ? ( x ? a)e , x ? R ,
x

所以 f ?( x) ? ( x ? a ? 1)e .
x

?????? 2

分 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?a ?1 . 分 当 x 变化时, f ( x) 和 f ?( x) 的变化情况如下: ?????? 3

x
f ?( x)

(??, ? a ? 1)

?a ? 1

(?a ? 1, ? ?)

?


0

?


f ( x)

?????? 5 分 故 f ( x) 的单调减区间为 (??, ? a ? 1) ;单调增区间为 (?a ? 1, ? ?) .?? 6 分 (Ⅱ)解:结论:函数 g ( x) 有且仅有一个零点. 理由如下: 由 g ( x) ? f ( x ? a ) ? x ? 0 , 得方程 xe
2

??? 7 分

x ?a

? x2 ,显然 x ? 0 为此方程的一个实数解.

所以 x ? 0 是函数 g ( x) 的一个零点. ????? 9 分 当 x ? 0 时,方程可化简为 e 设函数 F ( x) ? e
x ?a

x ?a

? x.

? x ,则 F ?( x) ? e x ?a ? 1 ,令 F ?( x) ? 0 ,得 x ? a .

当 x 变化时, F ( x) 和 F ?( x) 的变化情况如下:

x
F ?( x)
F ( x)

(??, a)

a
0

(a, ? ?)

?


?


即 F ( x) 的单调增区间为 (a, ? ?) ;单调减区间为 (??, a) . 所以 F ( x) 的最小值 F ( x)min ? F (a) ? 1 ? a . 分 因为 a ? 1 ,所以 F ( x) min ? F (a) ? 1 ? a ? 0 , 所以对于任意 x ? R , F ( x) ? 0 ,因此方程 e 所以当 x ? 0 时,函数 g ( x) 不存在零点. 综上,函数 g ( x) 有且仅有一个零点.
2

??????11

x ?a

? x 无实数解.

?????13 分

19. ( 14 分) (Ⅰ)解:抛物线 y ? x 的焦点为 (0, ) . 由题意,得直线 AB 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,

1 4

????? 1 分 ????? 2 分

令 x ? 0 ,得 y ? 1 ? k ,即直线 AB 与 y 轴相交于点 (0,1 ? k ) .??? 3 分 因为抛物线 W 的焦点在直线 AB 的下方,所以 1 ? k ? (Ⅱ)解:由题意,设 B( x1 , x1 ) , C ( x2 , x2 ) , D( x3 , y3 ) , 联立方程 ?
2 2

1 3 ,解得 k ? .?? 5 分 4 4

? y ? 1 ? k ( x ? 1), ?y ? x ,
2

消去 y ,得 x ? kx ? k ? 1 ? 0 ,
2

由韦达定理,得 1 ? x1 ? k ,所以 x1 ? k ? 1 . ???? 7 分 同理,得 AC 的方程为 y ? 1 ? ?
2

1 1 ( x ? 1) , x2 ? ? ? 1 . k k

??? 8 分

对函数 y ? x 求导,得 y? ? 2 x , 所以抛物线 y ? x 在点 B 处的切线斜率为 2 x1 ,
2

所以切线 BD 的方程为 y ? x1 ? 2 x1 ( x ? x1 ) , 即 y ? 2 x1 x ? x1 . ?????? 9
2
2

分 同理,抛物线 y ? x 在点 C 处的切线 CD 的方程为 y ? 2 x2 x ? x2 .??????10
2

2



? y ? 2 x1 x ? x12 , x ? x2 1 1 ? 联立两条切线的方程 ? 解 得 x3 ? 1 ? (k ? ? 2) , 2 2 2 k ? ? y ? 2 x2 x ? x2 ,

y3 ? x1 x2 ?

1 ?k, k 1 2 1 1 ? 2), ? k ) . k k
???11 分

所以点 D 的坐标为 ( (k ?

因此点 D 在定直线 2 x ? y ? 2 ? 0 上.

???12 分

因为点 O 到直线 2 x ? y ? 2 ? 0 的距离 d ?

| 2?0 ? 0 ? 2 | 2 ?1
2 2

?

2 5 , 5
??????13

所以 OD ≥ 分 由 y3 ?

2 5 4 2 ,当且仅当点 D(? , ? ) 时等号成立. 5 5 5

1 ? 26 1 2 ,验证知符合题意. ? k ? ? ,得 k ? 5 k 5 1 ? 26 2 5 时, OD 有最小值 . 5 5
????14 分

所以当 k ?

20. ( 13 分) (Ⅰ)解:由等比数列 {an } 的 a1 = 4 , q =

1 , 2
?????? 1

得 a1 = 4 , a2 = 2 , a3 = 1 ,且当 n > 3 时, 0 < an < 1 . 分 所以 b1 = 4 , b2 = 2 , b3 = 1 ,且当 n > 3 时, bn = [an ] = 0 . 分

?????? 2

? 4, ? 即 Tn ? ?6, ?7, ?

n ? 1,
n ? 2,
??? 3 分

n ≥ 3.

(Ⅱ)证明:因为 Tn ? 2n ? 1(n≤2014) , 所以 b1 = T1 = 3 , bn ? Tn ? Tn ?1 ? 2(2≤n≤2014) . ???? 4 分

因为 bn = [an ] ,所以 a1 ? [3, 4) , an ? [2,3)(2≤n≤2014) .??? 5 分 由 q?

a2 ,得 q ? 1 . a1
2012

??? 6 分

因为 a2014 ? a2 q

? [2,3) ,所以 q 2012 ≥

2 2 ? , a2 3

所以

1 2 2012 2 2012 ( ) ? q ? 1. ,即 ?q ?1 3 3

???? 8 分

* (Ⅲ)证明: (充分性)因为 a1 ? N , q ? N ,

*

所以 an = a1q

n- 1

N* ,

所以 bn = [an ] = an 对一切正整数 n 都成立. 因为 Sn = a1 + a2 + L + an , Tn = b1 + b2 + L + bn , 所以 S n = Tn . (必要性)因为对于任意的 n ? N* , S n = Tn , 当 n ? 1 时,由 a1 = S1 , b1 = T1 ,得 a1 = b1 ; 当 n≥2 时,由 an ? Sn ? Sn ?1 , bn ? Tn ? Tn ?1 ,得 an ? bn . 所以对一切正整数 n 都有 an ? bn . 由 bn ? Z , an > 0 ,得对一切正整数 n 都有 an ? N , 分 所以公比 q ? 分 假设 q ? N ,令 q =
*
*

?????? 9 分

??????10

a2 为正有理数. a1

??????11

p * ,其中 p, r ? N , r 1 ,且 p 与 r 的最大公约数为 1. r

因为 a1 是一个有限整数, 所以必然存在一个整数 k (k ? N) ,使得 a1 能被 r 整除,而不能被 r 又因为 ak ? 2 ? a1q
k ?1
k k ?1

整除.

?

a1 p k ?1 ,且 p 与 r 的最大公约数为 1. r k ?1

* * 所以 ak + 2 ? Z ,这与 an ? N ( n ? N )矛盾.

所以 q ? N .因此 a1 ? N , q ? N .
*

?

?

????13 分


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