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数学归纳法导学案1(学生版)




宜春中学数学学科 2-2 册笫一章第六课时数学归纳法导学案 编写:郑金龙 审核:高二数学理科备课组

编号:06

学习目标:了解数学归纳法的原理,理解数学归纳法的一般步骤。掌握数学归纳法证明问题的方法。 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 学习重点:掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。 学习难点: .能用数

学归纳法证明一些简单的数学命题。 学习过程: 一、预习导航,要点指津(约 3 分钟) 多米诺骨牌游戏:在平整的地面上竖立着很多骨牌,任何两块骨牌之间有恰当的距离时,笫一块骨牌 倒下,就会使笫二块倒下,第二块倒下就会导致笫三块倒下, ?? ,已致所有骨牌倒下。 分析:多米诺骨牌游戏.成功的两个条件: (1)第一块骨牌倒下; (2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致后一块倒下。

an ,求出 a2 , a3 , a4 的值,并由此归纳出此数列的通项公式,并 1 ? an 用数学归纳法证明你的归纳是正确的。
4. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ?1 ?

1 问题:对于任意正整数 n ,等式 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 是否成立? 6
答:该等式对任意正整数 n 都成立,请你阅读下列证明方法:

1 (1) 当 n ? 1 时, 左边 ? 12 ? 1 , 右边 ? ? 1? (1 ? 1) ? (2 ?1 ? 1) ? 1 ,即等式成立. 6 1 (2) 假设 n ? k (k ? N ? ) 时等式成立, 即 12 ? 22 ? 32 ? ? ? k 2 ? k (k ? 1)(2k ? 1) 成立 6
1 1 1 5. 对一切大于 1 的正整数,求证不等式 (1 ? )(1 ? )?(1 ? )? 3 5 2n ? 1 请阅读下列的下面的证明方法,这种方法是不是数学归纳法?
证明:(1)当 n ? 2 时,左边 ? 1 ? 即 n ? k ? 1 时,等式也成立

2n ? 1 均成立. 2

1 由(1) (2)两步可知对任意正整数 n ,等式 12 ? 22 ? 32 ? ? ? n2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 成立。 6
上面这种证明方法叫作数学归纳法。 你理解了这种证明的方法吗? 对于与正整数 n 有关的数学命题, 怎样证明它们对每一个正整数 n 都正确呢?对这类问题的证明方法不 止一种,其中数学归纳法是证明这类问题的一种通用方法。 。 二、自主探索,独立思考(约 10 分钟) 1. 数学归纳法:数学归纳法是用来证明某些与___________有关的数学命题的一种方法.

1 4 5 4 5 ,可知 ? ,故不等式成立。 ? ,右边 ? 2 3 2 3 3 1 1 1 2k ? 1 (2)假设 n ? k (k ? N ?且k ? 2) 时公式成立, 不等式成立,即 (1 ? )(1 ? )?(1 ? )? 3 5 2k ? 1 2

即 n ? k ? 1 时不等式也成立.

1 1 1 由(1) (2)两步可知对一切大于 1 的正整数 n ,不等式 (1 ? )(1 ? ) ?(1 ? )? 3 5 2n ?1

2n ?1 都成立 2

1

三、小组合作探究,议疑解惑(约 5 分钟) 各学习小组将上面自主探索的结论、解题方法、知识技巧进行讨论,交流,议疑解惑。 四、展示你的收获(约 8 分钟) 由各学习小组派出代表利用多媒体或演板或口头叙述等形式展示个人或小组合作探究的结论、解题方 法、知识技巧。 (即学习成果) 五、重、难、疑点评析(约 5 分钟) 由教师归纳总结点评 六、达标检测(约 8 分钟) 1. 利用数学归纳法证明“ 1 ? a ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? 应该是( A1 ) B 1? a
2

3 7 15 在 Sn=2n-an(n∈N*)中,令 n ? 1 可求得 a1=1,从而可求得 a2= , a3= ,a4= , 2 4 8 由此猜想 an ?

2n ? 1 (n ? N ? ) . 2n ?1

(2)证明:当 n=1 时,a1=1, 结论成立. 假设 n=k(k∈N*)时,结论成立, 即 ak ? 那么 n=k+1(k∈N*)时, ak ?1 ?

2k ? 1 , 2k ?1

1 ? a n? 2 (a ? 1, n ? N ? ) ”时,在验证 n ? 1 成立时,左边 1? a

1 1 2k ? 1 2k ?1 ? 1 ak ? 1 ? ? k ? 1 ? 2 2 2k 2

这表明 n=k+1 时,结论成立. 由此可知猜想 an ?

C 1 ? a ? a2

D 1 ? a ? a 2 ? a3 七、课后练习

2n ? 1 * 对任何 n∈N 都成立. n ?1 2
)

n4+n2 2. 用数学归纳法证明 1+2+3+?+n = ,则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加上( ) 2 4 ?k+1? +?k+1?2 A.k2+1 B.(k+1)2 C. D.(k2+1)+(k2+2)+?+(k+1)2 2 3. 某个命题与正整数 n 有关,若 n=k(k∈N*)时该命题成立,那么可推得当 n=k+1 时该命题也成立, 现已知当 n=5 时该命题不成立,那么可推得( ) A.当 n=6 时该命题不成立 B.当 n=6 时该命题成立 C.当 n=4 时该命题不成立 D.当 n=4 时该命题成立 1 1 1 4. 设 f(n)= + +…+ (n∈N*),那么 f(n+1)-f(n)=________________. 2n n+1 n+2 n(n ? 1) - 5. 用数学归纳法证明下面的等式 12-22+32-42+…+(-1)n 1· n2= (?1)n ?1 2

1.如果命题 P(n)对 n=k 成立, 则它对 n=k+2 也成立, 若 P(n)对 n=2 成立, 则下列结论正确的是( A.P(n)对所有正整数 n 都成立 C.P(n)对所有正奇数 n 都成立 B.P(n)对所有正偶数 n 都成立 D.P(n)对所有自然数 n 都成立

1 1 1 2. 利用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n <f(n)(n≥2,n∈N*)的过程,由 n=k 到 n=k+1 时, 2 3 2 -1 左边增加了( A.1 项 3. 对于不等式 (1)当 n=1 时, ) B. k 项 C. 2k ?1 项 D. 2k 项

n2+n<n+1(n∈N*),某同学应用数学归纳法的证明过程如下: 12+1<1+1,不等式成立. k2+k<k+1,

(2)假设当 n=k(k∈N*)时,不等式成立,即

则当 n=k+1 时, ?k+1?2+?k+1?= k2+3k+2< ?k2+3k+2?+?k+2?= ?k+2?2=(k+1)+1, 当 n=k+1 时,不等式成立. 由(1) (2)可知不等式 则上述证法( 6.数列{an} 满足 Sn=2n-an(n∈N*). (1)用的 an 表示 an ?1 ,计算 a1,a2,a3,a4, 并由此猜想通项 an 的表达式; (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想. 请同学自己阅读下面的解题方法,掌握归纳、猜想、并用数学归纳法证明这种解题方法 解:(1)因为 Sn=2n-an(n∈N*), ) B.n=1 验得不正确 C.归纳假设不正确 n2+n<n+1(n∈N*)成立,

A.过程全部正确

D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 1 1 1 4.用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ n <n(n∈N*,且 n>1)时,第一步应验证不等式( B ) 2 3 2 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 A.1+ <2 B.1+ + <2 C.1+ + <3 D.1+ + + <3 2 2 3 2 3 2 3 4 2 2 2 2 5. 若 f(n)=1 +2 +3 +?+(2n) ,则 f(k+1)与 f(k)的递推关系式是________________________..

Sn?1 ? 2(n ? 1) ? an?1

所以 an?1 ? Sn?1 ? Sn ? 2(n ? 1) ? an?1 ? (2n ? an ) ? an ?1 ?

1 an ? 1 2
2

宜春中学数学学科 2-2 册笫一章第六课时数学归纳法导学案

编号:06

编写:郑金龙

审核:高二数学理科备课组

②假设当 n=k(k∈N*)时, ak ? ak ?1 成立,即 ak ?1 ? ak ? 0 2ak+1 2ak 2ak+1?ak+1?-2ak?ak+1+1? 则当 n=k+1 时.而 ak+2-ak+1= - = ak+1+1 ak+1 ?ak+1+1??ak+1? = 2?ak+1-ak? >0, ?ak+1+1??ak+1? ∴ ak ?1 ? ak ? 2 ,即当 n=k+1 时,不等式成立.

1 6. 用数学归纳法证明:12+32+52+…+(2n-1)2= n(4n2-1). 3

由①②可知不等式 an<an+1 对于任意 n∈N*成立. 9. 是否存在常数 a、b、 c 使等式 12+22+32+…+n2+(n-1)2+…+22+12=an(bn2+c)对于一切 n∈N* 都成立,若存在,求出 a、b、c 并证明;若不存在,试说明理由.

7.用数学归纳法证明不等式:1+

1 1 1 + +?+ <2 n(n∈N*). 2 3 n

1 2an 8.对于正项数列{an}满足:a1= ,an+1= (n∈N*). 2 an+1 (1)求 a2 的值; (2)证明:不等式 an ? an ?1 对于任意的 n∈N*都成立.

2 解:(1) 由题意,得 a2= ,. 3 (2) 阅读下面的证题方法,这种方法是数学归纳法吗? 证明 ①当 n=1 时,由(1),知 a1<a2,即不等式成立.
3


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