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用样本估计总体二


2.2.2用样本的数字特征 估计总体的数字特征

复习运用
从甲、乙、丙三个厂家生产的同一件产品中抽取 8 件 产品,对其寿品进行跟踪调查结果如下(单位:年) : 甲:3,4,5,6,8,8,8,10; 乙:4,6,6,6,8,9,12,13; 丙:3,3,4,7,9,10,11,12; 三个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是 8 年, 请 根据结

果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、 中位数中哪一种集中趋势的特征数: 众数 中位数 平均数 甲:________,乙:_________,丙:_________。

探究1:众数、中位数和平均数
思考1:如何从频率分布直方图中估计众数、中位数、 平均数?

1、众数在样本数据的频率分布直方图中, 一般认为是最高矩形的中点的横坐标。
频率 0.5 组距 0.4 0.3 0.2 0.1
O

取最高矩形下端 中点的横坐标 2.25作为众数.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 月均用水量/t

2、在样本中,有50%的个体小于或等于中位数,也有50 %的个体大于或等于中位数,因此,在频率分布直方图中, 中位数左边和右边的直方图的面积应该相等,由此可以估 计中位数的值。中位数:直方图面积平分线与横轴交点的 横坐标 频率
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 组距

0.5-0.04-0.08-0.150.22=0.01,设小矩形的宽为 X,则:0.5X=0.01,得X =0.02,所以中位数是2 +0.02=2.02.
月均用水量/t

思考:在城市居民月均用水量样本数据的频率分布直方图 中,从左至右各个小矩形的面积分别是0.04,0.08,0.15, 0.22,0.25,0.14,0.06,0.04,0.02.由此估计总体的 中位数是什么?

3.平均数是频率分布直方图的“重心”,是直方图的平衡 点,在下面的频率分布直方图中,从直方图估计总体在各 组数据内的平均数分别为多少?
0.5 0.25,0.75,1.25, 0.4 1.75,2.25,2.75, 0.3 3.25,3.75,4.25. 0.2 月均 0.1 用水量/t O 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
频率 组距

样本数据的估计平均数就是将频率分布直方图中每个小矩 形的面积与小矩形底边中点的横坐标之积相加. 由此估计 总体的平均数就是 0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25 ×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.0 2=2.02(t).

二、三种数字特征的优缺点:
1、众数体现了样本数据的最大集中点,但它对其 它数据信息的忽视使得无法客观地反映总体特征。 2、中位数是样本数据所占频率的等分线,它不受 少数几个极端值的影响,这在某些情况下是优点,但 它对极端值的不敏感有时也会成为缺点。 3、由于平均数与每一个样本的数据有关,所以 任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变,这 是众数、中位数都不具有的性质。 与众数、中位数比较起来,平均数可以反映出更 多的关于样本数据全体的信息,但平均数受数据中的 极端值的影响较大,使平均数在估计时可靠性降低。

探究2: 标准差
标准差是样本数据到平均数的一种平均距离。 它用来描述样本数据的离散程度。在实际应用中, 标准差常被理解为稳定性。 1、平均距离

2、样本方差、标准差
平方的平均数。

方差: 一组数据中,各数据与它们的平均数的差的 方差公式:
一般步骤:
?? x ? x S = 1 n ?
2

1

?

2

?

?

x2 ? x

?

2

?? ?

? xn

? x

?

2

? ?

求平均-再求差-然后平方-最后再平均

样本标准差
s ?
? ? ? 1 ? 2 2 2? ( x1 ? x ) ? ( x2 ? x ) ? ? ? ( xn ? x ) . ? ? n ? ?

3.标准差(方差)用来衡量 样本数据的离散程度 ,标准 差(方差)越大,数据的离散程度越大;标准差(方差)越 小,数据的离散程度越小。

方差越大, 波动越大,越不稳定。

例1: 为了考察甲、乙两种小麦的长势,分别 从中抽出10株苗,测得苗高如下(单位:cm): 甲: 12
16 乙: 11 19

13
13 16 6

14
11 17 8

15
15 14 10

10
11 13 16

问哪种小麦长得比较整齐?

自我检测

1 1.在样本方差的计算公式 s = [(x1-20)2+(x2 10
2

-20)2+?+(x10-20)2]中,数字 10 和 20 分别表示样 本的(

c

) B.平均数,容量 D.标准差,平均数

A.容量,方差 C.容量,平均数

2.甲、乙两名战士在射击训练中,打靶的次数 相同,且射击成绩的平均数也相同,如果甲的 射击成绩比较稳定,那么方差的大小关系是: S
2 甲_________S 乙。

<

2

3.(宁夏理11文12).甲、乙、丙三名射箭运动员 在某次测试中各射箭20次,三人的测试成绩如 下表: s1,s2,s3分别表示甲、 甲的成绩 乙、丙三名运动员这次 环数 7 8 9 10 测试成绩的标准差,则 频数 5 5 5 5 有( B ) 乙的成绩 环数 7 8 9 10 A. s3>s1>s2 频数 6 4 4 6 B. s >s >s

丙的成绩 环数 7 8 9 10 频数 4 6 6 4

C. s1>s2>s3 D. s2>s3>s1

2

1

3

4 某工厂人员及工资构成如下:
人员
周工资 人数 合计

经理
2200 1 2200

管理人员 高级技工
250 6 1500 220 5 1100

工人
200 10 2000

学徒
100 1 100

合计

23 6900

(1)指出这个问题中周工资的众数、中 位数、平均数 (2)这个问题中,工资的平均数能客观 地反映该厂的工资水平吗?为什么?

5.”八.一”前夕,某中学举行国防知识竞赛:满分为100 分,80分以上为优秀,现将高一的两个班参赛学生的成绩 进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图, 已知图中从左到右的第一、第二、第三、第四、第五小 组的频率分别是0.3,0.4,0.15,0.1,0.05 求:(1)成绩的众数、 中位数; (2)平均成绩
0.04 0.03

(1)65,65 (2)67

0.015 0.010 0.005

0

50 60 70

80 90

100

小结:
1 . 众数、中位数、平均数的概念 2. 众数、中位数、平均数与频率分布直方 图的关系 3. 三种数字特征的优缺点 4、样本的方差和标准差


下册第四章第1-2节总体与样本;用样本估计总体

96% 50 2. 可以用样本的平均数去估计总体的平均数 3. 用样本的方差估计总体的方差 样本取自总体,它能在一定程度上反映总体,能对总体的情况作出一个估计和推测...

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