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两角和与差的余弦课件


学 书 海 山 无 有 两角和与差的余弦 涯 路 苦 勤 作 为 舟 径
引例1

引例2:

sin 75 ? 0.9659

?

cos75 ? 0.2588

?

诸如15?、 75?等角都是较为特殊的角,如何求它们 的三角函数值?

方法: 1、计算器

2、查表

但是:在实际生活及科研中必须要保证每一
步计算都非常精确才能不会造成不必 要的损失和恶果!

如何求 cos75? 的精确值? 分析: 75? ? 45? ? 30? 即cos75? ? cos?45? ? 30? ?

而45 和30 的三角函数值能精确求 出
问题: 一、 75? 与45?、 30? 的三角函数值关系如何 ?

?

?

二、一般的, cos?? ? ? ? ? ? cos(? ? ? ) ? ?

新课讲解
如何求cos?? ? ? ??

y
P1 (cos? , sin? )

由图可知: ?P1OP2 ? ? ? ? , 设
向量a ? OP (cos? , sin? ), 1 ?
向量b ? OP2 ? (cos? , sin? ),
O

P2 (cos? , sin? )

?

?

P0 (1,0)

x

? a ? b ? a b cos(? ? ? )

a ? b ? cos?cos? ? sin?sin?

? cos(? - ? ) ? cos?cos? ? sin?sin?

由此可得:

cos( ? ? ? ) ? cos(? ? (? ? )) ? cos? cos(? ? ) ? sin? sin( ?? ) ? cos? cos ? ? sin? sin?

结论:两角和与差的余 弦公式 C? ? ?

cos(? ? ? ) ?cos? cos ? ? sin? sin? 注: 1、公式中两边的符号正好相反(一正一负)
2、式子右边同名三角函数相乘再加减, 且余弦在前正弦在后。

例题讲评
例1 用两角和的(差)的余弦公式证明下列 诱导公式:

(1)cos(

?
2

? ?) ? sin? ? ?) ? cos?

( 2)sin (

?
2

例2 : 不查表,求值 : cos75? , cos15? , sin15? , tan15? .

解: cos75 ? cos(45 ? 30 )
? ?

?

? cos45 cos30 ? sin45 sin30
? 6? 2 ; 4 6? 2 ; 4

?

?

?

?

cos15 ?

?

sin15 ?

?

6? 2 ; 4

求值

练习

(1)cos80°cos20°+sin80°sin20°

(2)cos215 ° -sin215° (3)cos80°cos35°+cos10°cos55°

2 ? 3 例3、 已 知si n? ? , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , 3 2 4 3? ? ? (? , ), 求 cos( ? ? ? ), cos( ? ??) 2 2 ? 解: ? sin ? ? , ? ? ( , ? ) 3 2

5 ? cos? ? ? 1 ? sin ? ? ? 3 3 3?
2

? cos ? ? ? , ? ? (? , ) 4 2 7 2 ?sin ? ? 1 ? cos ? ? ? 4 ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? 3 5 ? 2 7 12 3 5 ?2 7 ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ? 12

2 ? 3 例3、 已 知si n? ? , ? ? ( , ? ), cos ? ? ? , 3 2 4 3? ? ? (? , ), 求 cos( ? ? ? ), cos( ? ??) 2

注: 1、若将题中条件 ? ? ( ,?)去掉,结果如何? 2 ? 3? 2、若将题中条件 ?? ( ,?)和? ? (?, ) 2 2 都去掉,结果如何?

?

3、在解上两题运用诱导 公式sin ? ? cos ? ? 1
2 2

时注意开方的正负情况

注1 : 两种情况,注 2:四种情况

3 ? ? 练习:已知 sin ? ? , ? ? ( , ? ), 求 cos( ? ? )的值 5 2 3

15 例4、 已 知cos( ? ? ) ? , ?为 钝 角 , 求 cos? 3 17
[分析]

?

3 3 ? ? 2? ? 解: ?? ? ( ,?) ?? ? ? ( , ) 3 6 3 2 ? 8 ? 8 ? sin(? ? ) ? ? cos( ? ? ) ? 3 17 3 17

? ? (? ? ) ?

?

?

根据公式只要求出 sin(? ? ) 3

?

? cos? ? cos[( ? ?
?

?

3

)?

?

? cos( ? ? ) cos ? sin(? ? ) sin 3 3 3 3 15 ? 8 3 ? 34

?

3

]

?

?

注:解题时要注意到与 特殊角的关系

15 例4、 已 知cos( ? ? ) ? , ?为 钝 角 , 求 cos? 3 17

?

问:若上题条件中 ?该为锐角,结果如何

[分析] 若? ? (0, ), 则? ? ? (? , )
2
3 3 6

?

?

? ?

则 sin(? ? )应有两种情况 3

?

(练习) 因此, cos?也应该有两种情况
15 ? 8 3 答案: cos? ? 34

小结:
1、两角和与差的余弦公 式:
cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

2、运用公式时注意角的 范围、三角 函数值正负及与特殊角 的关系等 .


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