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江苏省南京市、盐城市2014届高三第二次模拟考试数学试题 Word版


南京市、盐城市 2014 届高三年级第二次模拟考试

数 学 试 题
注意事项:

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1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本试卷满 分为 160 分,考试时间为 120 分钟. 2.答题前,请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答题 .. 纸 上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. . 参考公式: 柱体的体积公式:V=Sh,其中 S 为柱体的底面积,h 为柱体的高. 圆柱的侧面积公式:S 侧=2πRh,其中 R 为圆柱的底面半径,h 为圆柱的高. 一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位 置上) 1.函数 f ( x) ? ln x ? 1 ? x 的定义域为 ▲ . ▲ .

2.已知复数 z1=-2+i,z2=a+2i(i 为虚数单位,a∈R) .若 z1z2 为实数,则 a 的值为

3.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析,随机抽取了 150 分到 450 分之间的 1000 名 学生的成绩,并根据这 1000 名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图),则成绩在 ?300,350 ? 内 的学生人数共有 ▲ 人.

4.盒中有 3 张分别标有 1, 2, 3 的卡片. 从盒中随机抽取一张记下号码后放回,再随机抽取一张记下号码, 则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为 ▲ .

5.已知等差数列 ? an ? 的公差 d 不为 0,且 a1 , a3 , a7 成等比数列,则 6.执行如图所示的流程图,则输出的 k 的值为 ▲ .

a1 的值为 d





7.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A, ?, ? 为常数, A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的图象如下图所示,则 f ( ) 的值

?

3







1

8.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线

x2 y 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的两条渐近线与抛物线 y 2 ? 4 x 的准 2 a b
▲ . ▲ .

线相交于 A, B 两点.若 △AOB 的面积为 2,则双曲线的离心率为

9.表面积为 12 ? 的圆柱,当其体积最大时,该圆柱的底面半径与高的比为

? ???? ??? ? ??? ? ? 1 ??? ? ??? 2? ???? 1 ??? 10.已知 | OA |? 1,| OB |? 2, ?AOB ? , OC ? OA ? OB, 则 OA 与 OC 的夹角大小为 3 2 4
▲ .
2 2

11.在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P ? 5,3? 作直线 l 与圆 x ? y ? 4 相交于 A, B 两点,若 OA ⊥ OB , 则直线 l 的斜率为 ▲ .
2

12. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, 当 0 ≤ x ≤ 1 时,f ( x) ? x , 当 x > 0 时,f ( x ? 1) ? f ( x) ? f (1) . 若 直线 y ? k x 与函数 y ? f ( x) 的图象恰有 5 个不同的公共点,则实数 k 的值为 ▲ .

13.在 △ABC 中,点 D 在边 BC 上,且 DC ? 2BD , AB : AD : AC = 3 : k : 1 ,则实数 k 的取值范围为 ▲ .

14.设函数 f ( x) ? ax ? sin x ? cos x .若函数 f ( x) 的图象上存在不同的两点 A , B ,使得曲线 y ? f ( x) 在点 A , B 处的切线互相垂直,则实数 a 的取值范围为 ▲ .

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写 在答题纸的指定区域内) 15.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PAB ⊥ 平面 ABCD , PA ⊥ PB , BP ? BC , E 为 PC 的中点. (1)求证: AP ∥平面 BDE ; (2)求证: BE ⊥平面 PAC .

2

16.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点是坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,终 边与单位圆 O 交于点 A ? x1 , y1 ? ,? ? ? 向旋转

? ,交单位圆于点 B ? x2 , y2 ? . 4 3 (1)若 x1 ? ,求 x2 ; 5 (2)过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足分别为 C , D ,记 △AOC 及 △BOD 的面积分别为 S1 , S 2 ,且 4 S1 ? S2 ,求 tan ? 的值. 3

?? ? ? , ? .将角 ? 终边绕原点按逆时针方 ?4 2?

17.(本小题满分 14 分) 如图,经过村庄 A 有两条夹角为 60 的公路 AB, AC , 根据规划拟在两条公 路之间的区域内建一工厂 P ,分别在两条公路边上建两个仓库 M , N (异 于村庄 A ),要求 PM ? PN ? MN ? 2 (单位:千米).如何设计,使得工 厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远).
?

18.(本小题满分 16 分)

x2 y 2 ? ? 1(a > b > 0 )的左、右焦点分别为 F1 , F2 , 焦距 a 2 b2 为 2 ,一条准线方程为 x ? 2 . P 为椭圆 C 上一点,直线 PF1 交椭圆 C 于另一点 Q . (1)求椭圆 C 的方程; (2)若点 P 的坐标为 ? 0, b ? ,求过 P, Q, F2 三点的圆的方程; ???? ???? ??? ? ???? ?1 ? OQ 的最大值. (3)若 F1 P ? ? QF1 ,且 ? ? ? , 2 ? ,求 OP ? ?2 ?
在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

19.(本小题满分 16 分)

ax ? b x e , a, b ? R,且 a > 0 . x (1)若 a ? 2, b ? 1, 求函数 f ( x) 的极值;
已知函数 f ( x) ? (2)设 g ( x) ? a( x ? 1)e ? f ( x) .
x

① 当 a ? 1 时,对任意 x ? ? 0, ?? ? ,都有 g ( x) ≥1 成立,求 b 的最大值;
3

② 设 g ? ? x ? 为 g ? x ? 的导函数,若存在 x > 1 ,使 g ? x ? ? g ? ? x ? ? 0 成立,求

b 的取值范围. a

20.(本小题满分 16 分) 数列.

已知数列 ? an ? 的各项都为正数,且对任意 n∈N* , a2 n ?1 , a2 n , a2 n ?1 成等差数列, a2 n , a2 n ?1 , a2 n ? 2 成 等比 (1)若 a2 ? 1, a5 ? 3, 求 a1 的值; (2)设 a1 < a2 ,求证:对任意 n∈N* ,且 n ≥ 2 ,都有

an ?1 a2 < . an a1

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南京市 2014 届高三年级第二次模拟考试

数学附加题
注意事项: 1.附加题供选修物理的考生使用. 2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟.

2014.03

3.答题前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内.试题的答案写在答 . 题纸 上对应题目的答案空格内.考试结束后,交回答题纸. .. B.选修 4—2:矩阵与变换 ?2? ? 1 a? 已知矩阵 A=? ?的一个特征值为 2,其对应的一个特征向量为 α=? ?. ? -1 b ? ?1? (1)求矩阵 A; ?x? ?a? (2)若 A? ?=? ?,求 x,y 的值. ?y? ?b?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 π 在极坐标系中,求曲线?=2cosθ 关于直线 θ=4(?∈R)对称的曲线的极坐标方程.

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答 卷卡指定区域内 作答.解答应写出文字说 . ....... 明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分)
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某中学有 4 位学生申请 A,B,C 三所大学的自主招生.若每位学生只能申请其中一所大学,且申请其 中任何一所大学是等可能的. (1)求恰有 2 人申请 A 大学的概率; (2)求被申请大学的个数 X 的概率分布列与数学期望 E(X).

23. (本小题满分 10 分) 设 f(n)是定义在 N*上的增函数,f(4)=5,且满足: ①任意 n∈N*,f(n)∈Z;②任意 m,n∈N*,有 f(m)f(n)=f(mn)+f(m+n-1). (1)求 f(1),f(2),f(3)的值; (2)求 f(n)的表达式.

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