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广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测(佛山二模)数学理试题


2013 年江门佛山两市普通高中高三教学质量检测

数 学(理科)
1. 已知 M ? ? x ?2 ? x ? 4, x ? Z? , N ? ? x ?1 ? x ? 3? ,则 M ? N ? A. ? ?1, 3? B. [?2,1) C. ?0,1, 2?

2013.4

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的.

D. ??2, ?1, 0?

2.已知复数 z 的实部为,且 z ? 2 ,则复数 z 的虚部是 A. ? 3 B. 3i C. ? 3i D. ? 3

3.已知数列 {a n } 是等差数列,若 a3 ? a11 ? 24, a 4 ? 3 ,则数列 {a n } 的公差等于 A.1 B.3 C.5 D.6

4. 为了解一片速生林的生长情况,随机测量了其中 100 株树木的底部周长(单位:cm).根据所得数据画 出了样本的频率分布直方图(如右),那么在这 100 株树木中,底部周长小于 110cm 的株数是
频率/组距

0.04 0.02 0.01 80 90 100 110 120 130 周长(cm)

第 4 题图 A.30 5.函数 f ( x) ? sin ? ? x ?
? ?

B.60
??

C.70

D.80

1] ? , x ? [ ?1, ,则 2?

A. f ( x) 为偶函数,且在 [0, 上单调递减;B. f ( x) 为偶函数,且在 [0, 上单调递增; 1] 1] C. f ( x) 为奇函数,且在 [?1,] 上单调递增;D. f ( x) 为奇函数,且在 [?1,] 上单调递减. 0 0 6.下列命题中假命题是 ... A.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行; B.垂直于同一条直线的两条直线相互垂直; C.若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; D.若一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的相交直线分别平行,那么这两个平面相互平行.

1页

? x?0 ? ? y?0 7.直线 2 x ? y ? 10 ? 0 与不等式组 ? 表示的平面区域的公共点有 x ? y ? ?2 ? ? 4 x ? 3 y ? 20 ?

A. 0 个

B. 个

C. 2 个

D.无数个

8.将边长为 2 的等边三角形 PAB 沿 x 轴滚动,某时刻 P 与坐标原点重合(如图),设顶点 P ( x, y ) 的轨迹 方程是 y ? f ( x) ,关于函数 y ? f ( x) 的有下列说法: y B

OP A 第 8 题图

x
6

① f ( x) 的值域为 [0, 2] ;② f ( x) 是周期函数;③ f (?1.9) ? f (? ) ? f (2013) ;④ ? f ( x)dx ?
0

9 2

?.

其中正确的说法个数为: A.0
0

B.

C. 2 .

D. 3

9.命题“ ? x0 ? R, e x ? 0”的否定是 10. 已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ?
n

2,

? a ? b ? ? a , 向量 a 与 b 的夹角为

. . .

11.若二项式 ?1 ? 2 x ? 展开式中 x 3 的系数等于 x 2 的系数的 4 倍,则 n 等于 12.已知圆 C 经过点 A(0,3) 和 B(3, 2) ,且圆心 C 在直线 y ? x 上,则圆 C 的方程为
s t

13.将集合{ 2 ? 2 | 0 ? s ? t 且 s, t ? Z }中的元素按上小下大,左小右大的顺序排成如图的三角形数表,将 数表中位于第行第 j 列的数记为 bi j ( i ? j ? 0 ),则 b65 =
3 5 9 ? ? 10 ? 6 12 ?

.

第 13 题图 14.(坐标系与参数方程)在极坐标系中,设曲线 C1 : ? ? 2 sin ? 与 C2 : ? ? 2 cos ? 的交点分别为 A、B ,则线段 AB 的垂直平分线的 极坐标方程为 .

15. (几何证明选讲)如图, O 的直径 AB ? 9 , 圆 直线 CE 与圆 O 相切于点 C , AD ? CE 于 D , AD ? 1 , 若
2页

设 ?ABC ? ? ,则 sin ? ? ______.
B O

A E C
第 15 题图 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 为始边,角 ? 的终边与单位圆 O 的交点 B 在第一象限, 已知 A(?1, 3) . (1)若 OA ? OB ,求 tan ? 的值; (2)若 B 点横坐标为
4 5

D

,求 S ?AOB .

17.(本题满分 12 分) 市民李生居住在甲地,工作在乙地,他的小孩就读的小学在丙地,三地之间的道路情况如图所示.假设工 作日不走其它道路,只在图示的道路中往返,每次在路口选择道路是随机的.同一条道路去程与回程是否堵车 相互独立. 假设李生早上需要先开车送小孩去丙地小学,再返回经甲地赶去乙地上班.假设道路 A 、 B 、 D 上下班时间往返出现拥堵的概率都是 堵上学和上班的都会迟到. (1)求李生小孩按时到校的概率; (2)李生是否有七成把握能够按时上班?
1 10

,道路 C 、 E 上下班时间往返出现拥堵的概率都是

1 5

,只要遇到拥

(3)设 ? 表示李生下班时从单位乙到达小学丙遇到拥堵的次数,求 ? 的均值.
A D



B


E



C

第 17 题图

18.(本题满分 14 分) 如图甲, 设正方形 ABCD 的边长为 3 ,点 E、F 分别在 AB、CD 上,并且满足 AE ? 2 EB,CF ? 2 FD ,
3页

如图乙,将直角梯形 AEFD 沿 EF 折到 A1 EFD1 的位置,使点 A1 在平面 EBCF 上的射影 G 恰好在 BC 上. (1)证明: A1 E // 平面 CD1 F ; (2)求平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二面角的余弦值.

A1
A D F
D1

E
E

F

B
图甲

C

B

G
图乙

C

第 18 题图

19.(本题满分 14 分) 在平面直角坐标系内,动圆 C 过定点 F ?1, 0 ? ,且与定直线 x ? ?1 相切. (1)求动圆圆心 C 的轨迹 C2 的方程; (2) 中心在 O 的椭圆 C1 的一个焦点为 F ,直线过点 M (4, 0) .若坐标原点 O 关于直线的对称点 P 在曲线
C2 上,且直线与椭圆 C1 有公共点,求椭圆 C1 的长轴长取得最小值时的椭圆方程.

20.(本题满分 14 分) 某水域一艘装载浓硫酸的货船发生侧翻,导致浓硫酸泄漏,对河水造成了污染.为减少对环境的影响,环 保部门迅速反应,及时向污染河道投入固体碱,个单位的固体碱在水中逐渐溶化,水中的碱浓度 f ( x) 与时间

4页

x 6 ? 2? ? ? ? 6 x?3 x (小时)的关系可近似地表示为: f ( x) ? ? x ?1 ? ? 6 ?

0? x?3

,只有当污染河道水中碱的浓度不低
3? x ?6



1 3

时,才能对污染产生有效的抑制作用.

(1)如果只投放 1 个单位的固体碱,则能够维持有效的抑制作用的时间有多长? (2)第一次投放 1 单位固体碱后,当污染河道水中的碱浓度减少到
1 3

时,马上再投放 1 个单位的固体碱,

设第二次投放后水中碱浓度为 g ( x) ,求 g ( x) 的函数式及水中碱浓度的最大值.(此时水中碱浓度为两次投 ...... 放的浓度的累加) ..

21.(本题满分 14 分) 设函数 f 0 ( x) ? x ? e
2 ? 1 2 x

,记 f 0 ( x) 的导函数 f 0?( x) ? f1 ( x) , f1 ( x) 的导函数 f1?( x) ? f 2 ( x) ,

f 2 ( x ) 的导函数 f 2?( x ) ? f 3 ( x ) ,?, f n ?1 ( x ) 的导函数 f n??1 ( x ) ? f n ( x ) , n ? 1, 2,? .

(1)求 f 3 (0) ; (2)用 n 表示 f n (0) ; (3)设 S n ? f 2 (0) ? f 3 (0) ? ? ? f n ?1 (0) ,是否存在 n ? N * 使 S n 最大?证明你的结论.

参考答案
一、填空题 1.C 2.D 3.B 4.C 5.A 6.B 7.B 8.C 二、填空题 9. ? x ? R, e x 14. ? sin ? ? ?
? ?
?0

10.

?
4

11. 8
? ? cos ? ? 1 )
5页

12. ? x ? 1? 15.

2

? ? y ? 1? ? 5
2

13. 80

??

2 ?? 4? 2

(或 ? sin ?

1 3

三、解答题 16.⑴解法 1、 由题可知: A(?1, 3) , B(cos ? , sin ? ) ,
??? ? ??? ? OA ? ( ?1, 3) , OB ? (cos ? , sin ? ) ??? ??? ? ? OA ? OB ,得 OA ? OB ? 0

??1 分 ??2 分 ??3 分 ??4 分 ??1 分 ??2 分 ??3 分 ??4 分

∴ ? cos ? ? 3sin ? ? 0 , tan ?

?

1 3

解法 2、 由题可知: A(?1, 3) , B(cos ? , sin ? ) kOA ? ?3 , kOB ? tan ? ∵ OA ? OB ,∴ K OA ? K OB
?3 tan ? ? ?1 ,
? ?1
? 1 3

得 tan ?

解法 3、 设 B( x , y ) ,(列关于 x、y 的方程组 2 分,解方程组求得 x、y 的值 1 分,求正切 1 分) ⑵解法 1、 由⑴ OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 , 记 ?AOx ? ? , ? ? ( ∴ sin ?
? 3 10 ? 3 10 10
cos ? ? 4 5

?
2

,? )

, cos ?

?

?1 10

??

10 10

(每式 1 分)
3 5

??6 分 ??8 分 ??10 分 ??12 分 ??6 分

∵ OB ? 1

,得 sin ?
3 10 10 ? 4 5

?

1 ? cos ? ?
2

(列式计算各 1 分) (列式计算各 1 分)
? 3 2

sin ?AOB ? sin( ? ? ? ) ?

?

10 10

?

3 5

?

3 10 10

∴ S ?AOB

?

1 2

AO BO sin ?AOB ?

1 2

? 10 ? 1?

3 10 10

(列式计算各 1 分)

解法 2、 由题意得: AO 的直线方程为 3 x ? y ? 0 则 sin ?
? 1 ? cos ? ?
2

3 5

即 B(
4

4 3 , ) (列式计算各 5 5

1 分)

??8 分

?

3 5

?

3 5 ? 3 10 10 (列式计算各
1 2

则点 B 到直线 AO 的距离为 d

?

5

1 分)
? 3 2

??10 分

10

又 OA ? (?1) 2 ? (3) 2 ? 10 ,∴ S ?AOB 解法 3、
sin ? ? 1 ? cos ? ?
2

?

1 2

AO ? d ?

? 10 ?

3 10 10

(每式 1 分)?12 分

3

即 B(

5 ??? ? ??? ? 4 3 即: OA ? (?1, 3) , OB ? ( , ) 5 5

4 3 , ) 5 5

(每式 1 分)

??6 分 ??7 分



OA ?

( ?1) ? (3) ? 10 ,
2 2

4 3 ??? ??? ? ? ?1? ? 3 ? OA ? OB 5 5 ? 10 OB ? 1 , cos ?AOB ? ??? ??? ? ? ? 10 10 ? 1 OA OB

??9 分

(模长、角的余弦各 1 分)
6页

∴ sin ?AOB ? 则 S ?AOB
? 1 2

1 ? cos ?AOB ?
2

3 10 10

??10 分
3 10 10 ? 3 2

AO BO sin ?AOB ?

1 2

? 10 ? 1?

(列式计算各 1 分)

??12 分

解法 4、根据坐标的几何意义求面积(求 B 点的坐标 2 分,求三角形边长 2 分,求某个内 角的余弦与正弦各 1 分,面积表达式 1 分,结果 1 分) 17.⑴因为道路 D、E 上班时间往返出现拥堵的概率分别是
1 1 1

和 , 1 分) ??2 分 ??3 分 ??4 分 ??5 分

1

10 5 1 1 3 因此从甲到丙遇到拥堵的概率是 ? ? ? ? ? 0.15 (列式计算各 2 10 2 5 20

所以李生小孩能够按时到校的概率是 1 ? 0.15 ? 85% ; ⑵甲到丙没有遇到拥堵的概率是 丙到甲没有遇到拥堵的概率也是
17 20 17

, ,

20 1 1 1 1 1 1 2 甲到乙遇到拥堵的概率是 ? ? ? ? ? ? , ??6 分 3 10 3 10 3 5 15 2 13 甲 到 乙 没有遇到拥堵的概率是 1 ? ? ,李生上班途中均没有遇到拥堵的概 率 是 15 15 17 17 13 3757 ? ? ? ? 0.8 ,所以李生没有八成把握能够按时上班(计算结论各 1 分)??8 分 20 20 15 6000

⑶依题意 ? 可以取 0,1, 2 .
P (? ? 0) =

??9 分 分

13 17 221 2 17 13 3 73 2 3 6 , P(? ? 1) = ? ? ? , P(? ? 2) = ? ? ,?11 ? ? ? 15 20 300 15 20 15 20 300 15 20 300

分布列是:
?
p

0
221 300

1
73 300

2
6 300 85 300 17 60

E? ?

221 300

? 0+

73 300

? 1+

6 300

? 2=

?

.

??12 分 ??1 分 2 分)??4 分

18.⑴证明:在图甲中,易知 AE / / DF ,从而在图乙中有 A1 E // D1 F , 因为 A1 E ? 平面 CD1 F , D1 F
? 平面 CD1 F ,所以 A1 E // 平面 CD1 F (条件

⑵解法 1、 如图,在图乙中作 GH ? EF ,垂足为 H ,连接 A1 H , 由于 A1G ? 平面 EBCF ,则 A1G ? EF , 所以 EF
? 平面 A1GH

??5 分 ??6 分 ??8 分
10

,则 EF

? A1 H



所以 ?A1 HG 平面 BEFC 与平面 A1 EFD1 所成二面角的平面角,

图甲中有 EF ? AH ,又 GH ? EF ,则 A、G、H 三点共线, ??9 分 设 CF 的中点为 M , MF ? 1 , 则 易证 ?ABG ? ?EMF , 所以,BG ? MF ? 1 ,AG ? 11 分(三角形全等 1 分) 又由 ?ABG ? ?AHE ,得 A1 H
? AH ? AB ?AE AG ? 6 10

; ??



??12 分

7页

于是, HG ?

AG ? AH ?

4 10


A1

??13 分

A

D

D1

F
H

E B

M
G C

H

F

E B

G

C

图甲
cos?A1GH ? HG A1 H ? 2 3

图乙

在 .??14 分

Rt ?A1GH





,即所求二面角的余弦值为

2 3

z
A1
D1

y
F
E
T

B

G

C

x

图丙

解法 2、 如 图 , 在 图 乙 中 作 GH ? EF , 垂 足 为
A1G ? EF ,

H

,连接

A1 H

,由于

A1G ?

平 面 EBCF , 则

所以 EF

? 平面 A1GH

,则 EF

? A1 H

,图甲中有 EF

?

??5 分 AH ,又 GH ? EF ,则 A、G、H 三
10

点共线, 设 CF 的中点为 M ,则 MF

??6 分 ? 1 ,易证 ?ABG ? ?EMF ,所以 BG ? MF ? 1 ,则 AG ?
? AH ? AB ?AE AG ? 6 10



又由 ?ABG ? ?AHE ,得 A1 H 于是, HG ?
AG ? AH ? 4 10



??7 分


2 2

在 Rt ?A1GH 中, A1G ?

A1 H ? HG ?

? 6 ? ? 4 ? ? ? ?? ? ? ? 10 ? ? 10 ?

2

2

2

??8 分

作 GT / / BE 交 EF 于点 T ,则 TG ? GC ,以点 G 为原点,分别以 GC、GT、GA1 所在直线 为 x、y、z 轴,建立如图丙所示的空间直角坐标系,则 G (0, 0, 0) 、 E (1, ?1, 0) 、 F (2, 2, 0) 、
??? ? ???? A1 (0, 0, 2) ,则 EF ? (1, 3, 0), 1 ? ( ?1,1, 2) (坐标系、坐标、向量各 1 分) EA ??11 分 ???? 显然, GA1 ? (0, 0, 2) 是平面 BEFC 的一个法向量, ??12 分 ? ??? ? ? ? n?EF ? x ? 3 y ? 0, ? x ? ?3 y , ? ? 设 n ? ( x, y, z ) 是平面 A1 EFD1 的一个法向量,则 ? ? ???? ,即 ? , ? z ? ?2 2 y n?EA1 ? ? x ? y ? 2 z ? 0 ? ? ? ? 不妨取 y ? ?1 ,则 n ? (3, ?1, 2 2) , ??13 分

设 平 面 BEFC 与 平 面

A1 EFD1

所成二面角为 ? ,可以看出, ? 为锐角,所以,
8页

???? ? GA1 ? n | 0 ? 3 ? 0 ? ( ?1) ? 2 ? 2 2 | 2 cos ? ? ???? ? ? ? ,所以,平面 BEFC 2 2 2 3 | GA1 |? n | | 2 ? 3 ? ( ?1) ? (2 2)

与平面 A1 EFD1 所成二面角 ??14 分 ??2 分

的余弦值为 .
3

2

19.⑴由题可知,圆心 C 到定点 F ?1, 0 ? 的距离与到定直线 x ? ?1 的距离相等 (确定“曲线是抛物线”1 分,说明抛物线特征 1 分) 所以动圆圆心 C 的轨迹 C2 的方程为 y 2 ? 4 x . ⑵解法 1、 设
P (m, n)

由抛物线定义知, C 的轨迹 C2 是以 F ?1, 0 ? 为焦点,直线 x ? ?1 为准线的抛物线 ??4 分 ??5 分
y ? k ( x ? 4)

,则

OP

中点为

(

m n , ) 2 2

, 因 为 O、P 两 点 关 于 直 线
2

对称,所以

m ?n ? ? k ( ? 4) ? km ? n ? 8k ?2 2 ,即 ? ? ? m ? nk ? 0 ? n ? k ? ?1 ? m ?

? 8k ?m? 2 ? 1? k ,解之得 ? ? n ? ? 8k 2 ? 1? k ?

(中点 1 分,方程组 2 分,化简 1 分) ??8 分

将其代入抛物线方程,得: (? 联立

8k 1? k
2

) ? 4?
2

8k

2 2

1? k

,所以 k 2 ? 1 .

??9 分 ??11 分 ??12 分

? y ? k ( x ? 4) ? 2 2 ,消去 y ,得: (b 2 ? a 2 ) x 2 ? 8a 2 x ? 16a 2 ? a 2b 2 ? 0 ?x y ? 2 ?1 ? 2 b ?a

由 ? ? (?8a 2 )2 ? 4(b 2 ? a 2 )(16a 2 ? a 2b 2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b 2 ? 16 , 注意到 b 2
? a ? 1 ,即 2a ? 17 ,所以 a ?
2 2

34 2

,即 2a ?

34


x
2

??13 分
+ y
2

因此,椭圆 C 长轴长的最小值为
1

34

.此时椭圆的方程为

17 2

15 2

? 1.

??14 分

解法 2、
?m ? ,m? 设 P? ? 4 ?
2
2 2

,因为 O、P 两点关于直线对称,则 OM ? MP =4 ,

??6 分

即 即
k AB ? ?

?m ? 2 ? 4 ? ? m ? 4 ,解之得 m ? ?4 ? ? 4 ?
P (4, ?4)

??7 分 在第四象限,且直线与抛物线交于 1 分,方程 1 分)
A, B

,根据对称性,不妨设点

P

.则

1 kOP

? 1 ,于是直线方程为 y ? x ? 4 (斜率

??9 分 ??11 分 ??12 分

联立

? y ? x?4 ? 2 2 ,消去 y ,得: (b 2 ? a 2 ) x 2 ? 8a 2 x ? 16a 2 ? a 2b 2 ? 0 ?x y ? 2 ?1 ? 2 b ?a

由 ? ? (?8a 2 )2 ? 4(b 2 ? a 2 )(16a 2 ? a 2b 2 ) ? 0 ,得 a 2 ? b 2 ? 16 , 注意到 b 2
? a ? 1 ,即 2a ? 17 ,所以 a ?
2 2

34 2

,即 2a ?

34



??13 分

9页

因此,椭圆 C 长轴长的最小值为
1

34

. 此时椭圆的方程为

x

2

17 2

+

y

2

15 2

? 1.

??14 分

0? x?3 ? ? 20.⑴由题意知 ? x 6 1 ? ?2 ? ? 6 x?3 3 ?

? 3? x ?6 ? 或? x 1 ?1 ? ? 6 3 ?

??2 分

解得 1 ? x ? 3 或 3 ? x ? 4 ,即 1 ? x ? 4 ??3 分 能够维持有效的抑制作用的时间: 4 ? 1 ? 3 小时. ??4 分 ⑵由⑴知, x ? 4 时第二次投入 1 单位固体碱,显然 g ( x) 的定义域为 4 ? x ? 10 ??5 分 当 4? x?6 时 , 第 一 次 投 放 1 单 位 固 体 碱 还 有 残 留 , 故
? 11 x 6 ( x ? 4) 6 x ? ? ? g ? x ? = ?1 ? ; ? ? ? ? + ?2 ? ?= 6 ( x ? 4) ? 3 ? 3 3 x ? 1 6 ? ? ?

??6 分

当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留,故 当 6 ? x ? 7 时, 当 7 ? x ? 10 时,
g ( x) ? 2 ?
g ( x) ? 1 ?

( x ? 4) 6
x?4 6

?

6 ( x ? 4) ? 3
? x 6

=

8 3

?

x 6

?

6 x ?1

;

??7 分 ??8 分

?

5 3

;

6 ?11 x ? 3 ? 3 ? x ?1 ? 6 ?8 x 所以 g ( x) ? ? 3 ? 6 ? x ? 1 ? ?5 x ? ? ?3 6

4? x?6 6? x?7 7 ? x ? 10

??9 分

当 4 ? x ? 6 时, 当且仅当
x ?1 3 ? 6 x ?1

g ( x) ?

11 3

?

x 3

?

6 x ?1

=

10 3

?(

x ?1 3

?

6 x ?1

)?

10 3

?2

x ?1 3

?

6 x ?1

=

10 3

?2 2

;

时取“=”,即 x ? 1 ? 3

2 ? [4, 6] (函数值与自变量值各

1 分)??11 分

当 6 ? x ? 10 时,第一次投放 1 单位固体碱已无残留, 当 6 ? x ? 7 时,
g ?( x) ? 6 ( x ? 1)
2

?

1 6

?

( x ? 5)(7 ? x) 6( x ? 1)
2

? 0 ,所以 g ( x ) 为增函数;
1 2

当 7 ? x ? 10 时, g ( x) 为减函数;故 又( 值为
10 3

g ( x ) max = g (7) ?
288



??12 分 时,水中碱浓度的最大 ??13 分

10 3

? 2 2) ?

1 2

?

17 ? 12 2 6

=

289 ? 6

? 0 ,所以当 x ? 1 ? 3 2

?2 2 .

答:第一次投放 1 单位固体碱能够维持有效的抑制作用的时间为 3 小时;第一次投放
1? 3 2

小时后, 水中碱浓度的达到最大值为
? 1 2 ? ? x f1 ? x ? ? ? ? x ? 2 x ? e 2 , ? 2 ?
1
1

10 3

?2 2 .

??14 分 ??1 分 ??2 分

21.⑴易得,

?1 2 ? ? x f2 ? x ? ? ? x ? 2x ? 2 ? e 2 ?4 ?

10 页

? 1 2 3 ? ? x f 3 ? x ? ? ? ? x ? x ? 3 ? e 2 ,所以 f 3 (0) ? ?3 2 ? 8 ?

1

??3 分
?x

⑵不失一般性,设函数
2

f n ?1 ( x ) ? ? an ?1 x ? bn ?1 x ? cn ?1 ? ? e
2

的导函数为
? 1, b0 ? c0 ? 0 .

f n ( x ) ? ? an x ? bn x ? cn ? ? e

?x

,其中 n ? 1, 2,? ,常数 ? ? 0 , a0

对 f n ?1 ( x) 求导得: f n??1 ( x) ? [? ? an ?1 x 2 ? (2an ?1 ? ? ? bn ?1 ) x ? (bn ?1 ? ? ? cn ?1 )] ? e ? x 故由 f n??1 ( x) ? f n ( x) 得: an ? ? ? an ?1 ①, ?
? ?bn ? 2an ?1 ? ? ? bn ?1 ?c ? b ? ? ? c n ?1 n ?1 ? n

??4 分 ??5 分 ??6 分

②, ③
2 bn ?1

由①得: an

? ? ,n? N
n


? ? ? bn ?1 ,即

代入②得: bn 故得: bn

? 2??
n ?1

n ?1

bn

?

n

?

?

?

?

n ?1

,其中 n ? 1, 2,? ??7 分

? 2n ? ?

,n? N
n?2

.
cn

代入③得: cn 故得: cn 因此
1

? 2n ? ?

? ? ? cn ?1 ,即

?

n

?

2n

?

2

?

cn ?1

?

n ?1

,其中 n ? 1, 2,? . ??8 分

? n( n ? 1) ? ?

n?2

,n? N
n?2

, .
1 2 )
n ?1

f n (0) ? cn ? n( n ? 1) ? ?
2

,n? N

将 ? ? ? 代入得: (2)由(1)知 当 n ? 2k ( k

f n (0) ? n( n ? 1)( ? 1 2

)

n?2

,其中 n ? N .

??9 分

f n ?1 (0) ? n( n ? 1)( ?


1 2 )
2 k ?1

? 1, 2,?) 时, S 2 k ? S 2 k ?1 ? f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1) ? ( ?

? 0,

? S 2 k ? S 2 k ?1 ? 0, S 2 k ? S 2 k ?1 ,故当 S n 最大时, n 为奇数.

当 n ? 2k ? 1(k ? 2) 时, S 2 k ?1 ? S 2 k ?1 ? 又
f 2 k ? 2 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)( ? 1 )
2k

f 2 k ? 2 (0) ? f 2 k ?1 (0)

??10 分 ??11 分

1 2 k ?1 f 2 k ?1 (0) ? 2k (2k ? 1)( ? ) 2 2 1 2k 1 2 k ?1 1 2 k ?1 ? f 2 k ? 2 (0) ? f 2 k ?1 (0) ? (2k ? 1)(2k ? 2)( ? ) ? 2k (2k ? 1)( ? ) ? (2k ? 1)( k ? 1)( ? ) ? 0, 2 2 2



? S 2 k ?1 ? S 2 k ?1 ,因此数列 ?S 2 k ?1? ( k ? 1, 2,?) 是递减数列

??12 分 ??13 分 ??14 分

又 S1 ? f 2 (0) ? 2 , S3 ? f 2 (0) ? f3 (0) ? f 4 (0) ? 2 , 故当 n ? 1 或 n ? 3 时, S n 取最大值 S1 ? S3 ? 2 .

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