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(新课程)高中数学《1.2.1排列》教案 新人教A版选修2-3


1.2.1 排列
教学目标: 知识与技能:了解排列数的意义,掌握排列数公式及推导方法,从中体会“化归”的数学思 想,并能运用排列数公式进行计算。 过程与方法:能运用所学的排列知识,正确地解决的实际问题 情感、态度与价值观:能运用所学的排列知识,正确地解决的实际问题. 教学重点:排列、排列数的概念 教学难点:排列数公式的推导 授课类型:新授课 课时安排:2 课时 教 具:

多媒体、实物投影仪 内容分析: 分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分, 依分类计数原理解题, 首先明确 要做的这件事是什么, 其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准, 最后在确定的标准下 进行分类.分类要注意不重复、 不遗漏, 保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完 成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤, 必须且只需连续完成这几个步骤后才 算完成这件事,每步中的任何一种方法都不能完成这件事.分类计数原理和分步计数原理的 地位是有区别的,分类计数原理更具有一般性,解决复杂问题时往往需要先分类,每类中再 分成几步.在排列、组合教学的起始阶段,不能嫌罗嗦,教师一定要先做出表率并要求学生 严格按原理去分析问题. 只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰,才会做到分 类有据、分步有方,为排列、组合的学习奠定坚实的基础 分类计数原理和分步计数原理既是推导排列数公式、 组合数公式的基础, 也是解决排列、 组合问题的主要依据,并且还常需要直接运用它们去解决问题,这两个原理贯穿排列、组合 学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性. 排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素, 或排成一排或并成一组, 并求有多少 种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题, 与顺序无关是组合问题,顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别,从定 义上来说是简单的,但在具体求解过程中学生往往感到困惑,分不清到底与顺序有无关系. 教学过程: 一、复习引入:
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1 分类加法计数原理:做一件事情,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种
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不同的方法,在第二类办法中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种不同的 方法 那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法
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2.分步乘法计数原理:做一件事情,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同 的方法,做第二步有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同的方法,那么完成这 件事有 N ? m1 ? m2 ??? mn 种不同的方法
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分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问 题,区别在于:分类加法计数原理针对的是 “分类” 问题,其中各种方法相互独立,每一种方法 只属于某一类,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法计数原理针对的是“分步” 问题,各个步骤中的方法相互依存,某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤,

1

只有各个步骤都完成才算做完这件事 应用两种原理解题:1.分清要完成的事情是什么;2. 是分类完成还是分步完成,“类”间互相独立, “步”间互相联系;3.有无特殊条件的限制 二、讲解新课: 1 问题: 问题 1.从甲、乙、丙 3 名同学中选取 2 名同学参加某一天的一项活动,其中一名同学 参加上午的活动,一名同学参加下午的活动,有多少种不同的方法? 分析:这个问题就是从甲、乙、丙 3 名同学中每次选取 2 名同学,按照参加上午的活动 在前,参加下午活动在后的顺序排列,一共有多少种不同的排法的问题,共有 6 种不同的排 法:甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙,其中被取的对象叫做元素 解决这一问题可分两个步骤: 1 步, 第 确定参加上午活动的同学, 3 人中任选 1 人, 从 有 3 种方法;第 2 步,确定参加下午活动的同学,当参加上午活动的同学确定后,参加下 午活动的同学只能从余下的 2 人中去选,于是有 2 种方法.根据分步乘法计数原理,在 3 名同学中选出 2 名,按照参加上午活动在前,参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共 有 3×2=6 种,如图 1.2 一 1 所示.
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图 1.2 一 1 把上面问题中被取的对象叫做元素,于是问题可叙述为:从 3 个不同的元素 a , b , 。 中任取 2 个,然后按照一定的顺序排成一列,一共有多少种不同的排列方法?所有不同的 排列是 ab,ac,ba,bc,ca, cb,共有 3×2=6 种. 问题 2.从 1,2,3,4 这 4 个数字中,每次取出 3 个排成一个三位数,共可得到多少个 不同的三位数? 分析:解决这个问题分三个步骤:第一步先确定左边的数,在 4 个字母中任取 1 个,有 4 种方法;第二步确定中间的数,从余下的 3 个数中取,有 3 种方法;第三步确定右边的数, 从余下的 2 个数中取,有 2 种方法 由分步计数原理共有: 4×3×2=24 种不同的方法, 用树型图排出, 并写出所有的排列 由 此可写出所有的排法 显然,从 4 个数字中,每次取出 3 个,按“百” “十” “个”位的顺序排成一列,就得 到一个三位数. 因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数. 可以分三个步骤来 解决这个问题: 第 1 步,确定百位上的数字,在 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个数字中任取 1 个,有 4 种 方法; 第 2 步, 确定十位上的数字, 当百位上的数字确定后, 十位上的数字只能从余下的 3 个 数字中去取,有 3 种方法; 第 3 步,确定个位上的数字,当百位、十位上的数字确定后,个位的数字只能从余下 的 2 个数字中去取,有 2 种方法. 根据分步乘法计数原理,从 1 , 2 , 3 , 4 这 4 个不同的数字中,每次取出 3 个数
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字,按“百” “十” “个”位的顺序排成一列,共有 4×3×2=24 种不同的排法, 因而共可得到 24 个不同的三位数,如图 1. 2 一 2 所示.

由此可写出所有的三位数: 123,124, 132, 134, 142, 143, 213,214, 231, 234, 241, 243, 312,314, 321, 324, 341, 342, 412,413, 421, 423, 431, 432 。 同样,问题 2 可以归结为: 从 4 个不同的元素 a, b, c,d 中任取 3 个,然后按照一定的顺序排成一列,共有多少 种不同的排列方法?所有不同排列是 abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb. 共有 4×3×2=24 种. 树形图如下

a

b





b c d a c d a b d a b c 2.排列的概念: 从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定 .. 的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 ... .... 说明: (1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列; (2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同 3.排列数的定义: 从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n )个元素的所有排列的个数叫做从 n 个元素中取
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m 出 m 元素的排列数,用符号 An 表示

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注意区别排列和排列数的不同: “一个排列”是指:从 n 个不同元素中,任取 m 个元素 按照一定的顺序排成一列,不是数; “排列数”是指从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n ) .....
m 个元素的所有排列的个数,是一个数 所以符号 An 只表示排列数,而不表示具体的排列
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4.排列数公式及其推导:
2 由 An 的意义:假定有排好顺序的 2 个空位,从 n 个元素 a1 , a2, ?an 中任取 2 个元素去

填空,一个空位填一个元素,每一种填法就得到一个排列,反过来,任一个排列总可以由这
3

2 样的一种填法得到,因此,所有不同的填法的种数就是排列数 An .由分步计数原理完成上 2 述填空共有 n(n ? 1) 种填法,∴ An = n(n ? 1)

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3 3 由此,求 An 可以按依次填 3 个空位来考虑,∴ An = n(n ? 1)(n ? 2) , m m 求 An 以按依次填 m 个空位来考虑 An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) ,

排列数公式:
m An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1)

( m, n ? N ? , m ? n ) 说明: (1)公式特征:第一个因数是 n ,后面每一个因数比它前面一个 少 1,最后一个因数是 n ? m ? 1 ,共有 m 个因数; (2)全排列:当 n ? m 时即 n 个不同元素全部取出的一个排列
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n 全排列数: An ? n(n ?1)(n ? 2)?2 ?1 ? n!(叫做 n 的阶乘)

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另外,我们规定 0! =1 .
4 5 例 1.用计算器计算: (1) A10 ; (2) A18 ; (3) A18 ? A13 . 18 13

解:用计算器可得:

由( 2 ) ( 3 )我们看到, A5 ? A18 ? A13 .那么,这个结果有没有一般性呢?即 18 18 13
m An ? n An n! . ? n?m An?m (n ? m)!

排列数的另一个计算公式:
m An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1)

Ann n(n ? 1)(n ? 2)? (n ? m ? 1)(n ? m)?3 ? 2 ?1 n! ? = n ? m .即 ? (n ? m)(n ? m ? 1)?3 ? 2 ?1 (n ? m)! An ? m
3 2 2 例 2.解方程:3 Ax ? 2 Ax?1 ? 6 Ax .

m An =

n! (n ? m)!

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解:由排列数公式得: 3x( x ? 1)( x ? 2) ? 2( x ? 1) x ? 6 x( x ? 1) , ∵ x ? 3 ,∴ 3( x ? 1)( x ? 2) ? 2( x ? 1) ? 6( x ? 1) ,即 3x ? 17 x ? 10 ? 0 ,
2

4

解得 x ? 5 或 x ?

2 ? ,∵ x ? 3 ,且 x ? N ,∴原方程的解为 x ? 5 . 3

x x 例 3.解不等式: A9 ? 6 A9 ?2 .

解:原不等式即

9! 9! , ? 6? (9 ? x)! (11 ? x)!

也就是

1 6 2 ,化简得: x ? 21x ? 104 ? 0 , ? (9 ? x)! (11 ? x) ? (10 ? x) ? (9 ? x)!

? 解得 x ? 8 或 x ? 13 ,又∵ 2 ? x ? 9 ,且 x ? N ,

所以,原不等式的解集为 ?2,3, 4,5,6,7? .
n m n ?m 例 4.求证: (1) An ? An ? An?m ; (2)

(2n)! ? 1? 3 ? 5? (2n ? 1) . 2n ? n !
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证明: (1) An ? An ?m ?
m

n?m

n! n (n ? m)! ? n ! ? An ,∴原式成立 (n ? m)!

(2)

(2n)! 2n ? (2n ? 1) ? (2n ? 2) ? 4 ? 3 ? 2 ?1 ? 2n ? n ! 2n ? n !

?
?

2n n ? (n ? 1)? 2 ?1? (2n ? 1)(2n ? 3)?3 ?1 2n ? n !

n !?1? 3? (2n ? 3)(2n ? 1) ? 1? 3 ? 5?(2n ? 1) ? 右边 n!
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∴原式成立

m 说明: (1)解含排列数的方程和不等式时要注意排列数 An 中, m, n ? N 且 m ? n 这

?

些限制条件,要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围;
m (2)公式 An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ? 1) 常用来求值,特别是 m, n 均为已知时,公

m 式 An =

n! ,常用来证明或化简 (n ? m)!

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例 5.化简:⑴

1 2 3 n ?1 ? ? ?? ? ;⑵ 1?1!? 2 ? 2!? 3 ? 3!? ? ? n ? n ! 2! 3! 4! n!
1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? 1? n! 2! 2! 3! 3! 4! (n ? 1)! n!

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⑴解:原式 ? 1!?

⑵提示:由 ? n ?1?! ? ? n ?1? n! ? n ? n!? n! ,得 n ? n ! ? ?n ? 1?!? n! , 说明:

原式 ? ? n ? 1?!?1

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n ?1 1 1 ? ? . n! (n ? 1)! n !
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例 7.(课本例 2).某年全国足球甲级(A 组)联赛共有 14 个队参加,每队要与其余各 队在主、客场分别比赛一次,共进行多少场比赛? 解: 任意两队间进行 1 次主场比赛与 1 次客场比赛, 对应于从 14 个元素中任取 2 个元
2 素的一个排列.因此,比赛的总场次是 A14 =14×13=182.

例 8.(课本例 3).(1)从 5 本不同的书中选 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有 多少种不同的送法? (2)从 5 种不同的书中买 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同的送法? 解:(1)从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学,对应于从 5 个不同元素中任取
3 3 个元素的一个排列,因此不同送法的种数是 A5 =5×4×3=60.

(2)由于有 5 种不同的书,送给每个同学的 1 本书都有 5 种不同的选购方法,因此送 给 3 名同学每人各 1 本书的不同方法种数是 5×5×5=125. 例 8 中两个问题的区别在于: ( 1 )是从 5 本不同的书中选出 3 本分送 3 名同学, 各人得到的书不同,属于求排列数问题;而( 2 )中,由于不同的人得到的书可能相同, 因此不符合使用排列数公式的条件,只能用分步乘法计数原理进行计算. 例 9.(课本例 4).用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数?分 析:在本问题的。到 9 这 10 个数字中,因为。不能排在百位上,而其他数可以排在任意 位置上,因此。是一个特殊的元素.一般的,我们可以从特殊元素的排列位置人手来考虑问 题 解法 1 :由于在没有重复数字的三位数中,百位上 的数字不能是 O,因此可以分两步完成排列.第 1 步,排 百位上的数字,可以从 1 到 9 这九个数字中任选 1 个,
1 有 A9 种选法;第 2 步,排十位和个位上的数字,可以从 2 余下的 9 个数字中任选 2 个,有 A9 种选法(图 1.2 一

5) .根据分步乘法计数原理,所求的三位数有
1 A9 ? A92 =9×9×8=648(个) .

解法 2 :如图 1.2 一 6 所示,符合条件的三位数可分成 3 类.每一位数字都不是位 数有 A 母个,个位数字是 O 的三位数有揭个,十位数字是 0 的三位数有揭个.根据分类 加法计数原理,符合条件的三位数有
3 A9 ? A92 ? A92 =648 个.

3 解法 3 :从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字的排列数为 A10 ,其中 O 在百位上的 2 排列数是 A9 , 它们的差就是用这 10 个数字组成的没有重复数字的三位数的个数, 即所求的

6

3 2 三位数的个数是 A10 - A9 =10×9×8-9×8=648.

对于例 9 这类计数问题,可用适当的方法将问题分解,而且思考的角度不同,就可以 有不同的解题方法.解法 1 根据百位数字不能是。的要求,分步完成选 3 个数组成没有重 复数字的三位数这件事, 依据的是分步乘法计数原理; 解法 2 以 O 是否出现以及出现的位 置为标准,分类完成这件事情,依据的是分类加法计数原理;解法 3 是一种逆向思考方法: 先求出从 10 个不同数字中选 3 个不重复数字的排列数, 然后从中减去百位是。 的排列数 (即 不是三位数的个数) ,就得到没有重复数字的三位数的个数.从上述问题的解答过程可以看 到,引进排列的概念,以及推导求排列数的公式,可以更加简便、快捷地求解“从 n 个不同 元素中取出 m (m≤n)个元素的所有排列的个数”这类特殊的计数问题. 1.1 节中的例 9 是否也是这类计数问题?你能用排列的知识解决它吗? 四、课堂练习: 1.若 x ?
3 ( A) An

n! ,则 x ? 3!

( )

n ( B ) An ?3

(C ) A3n

3 ( D) An?3

3 7 2.与 A10 ? A7 不等的是 ( ) 9 ( A) A10 8 ( B ) 81A8 9 (C ) 10A9 10 ( D) A10

5 3 3.若 Am ? 2 Am ,则 m 的值为 ( )

( A) 5

(B) 3


(C ) 6

( D) 7


5 2 A9 ? 3 A96 4.计算: ? 6 9!? A10

(m ? 1)! ? A ? (m ? n)!
n ?1 m ?1

5.若 2 ?

(m ? 1)! ? 42 ,则 m 的解集是 m ?1 Am?1




6. (1)已知 Am ? 10 ? 9 ??? 5 ,那么 m ? 10
7 (2)已知 9! ? 362880 ,那么 A9 = 2 (3)已知 An ? 56 ,那么 n ?



; .

(4)已知 An ? 7 An?4 ,那么 n ?
2 2

7.一个火车站有 8 股岔道,停放 4 列不同的火车,有多少种不同的停放方法(假定每股岔 道只能停放 1 列火车)? 8.一部纪录影片在 4 个单位轮映,每一单位放映 1 场,有多少种轮映次序? 答案:1. B 2. B 3. A 4. 1,1 (4) 5 5.

?2,3, 4,5,6?
7. 1680 8. 24
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6. (1) 6 (2) 181440 (3) 8

7

巩固练习:书本 20 页1,2,3,4,5,6 课外作业:第 27 页 习题 1.2 A 组 1 , 2 , 3,4,5 教学反思: 排列的特征:一个是“取出元素”;二是“按照一定顺序排列” ,“一定顺序”就是与 位置有关,这也是判断一个问题是不是排列问题的重要标志。根据排列的定义,两个排列相 同,且仅当两个排列的元素完全相同,而且元素的排列顺序也相同. 了解排列数的意义,掌 握排列数公式及推导方法,从中体会“化归”的数学思想,并能运用排列数公式进行计算。 对于较复杂的问题,一般都有两个方向的列式途径,一个是“正面凑” ,一个是“反过 来剔” .前者指,按照要求,一点点选出符合要求的方案;后者指,先按全局性的要求,选 出方案,再把不符合其他要求的方案剔出去.了解排列数的意义,掌握排列数公式及推导方 法,从中体会“化归”的数学思想,并能运用排列数公式进行计算。 补充例题 例 1. (1)有 5 本不同的书,从中选 3 本送给 3 名同学,每人各 1 本,共有多少种不同 的送法? (2) 5 种不同的书, 有 要买 3 本送给 3 名同学, 每人各 1 本, 共有多少种不同的送法? 解: (1)从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学,对应于从 5 个元素中任取 3 个元素
3 的一个排列,因此不同送法的种数是: A5 ? 5 ? 4 ? 3 ? 60 ,所以,共有 60 种不同的送法
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(2)由于有 5 种不同的书,送给每个同学的 1 本书都有 5 种不同的选购方法,因此送给 3 名同学,每人各 1 本书的不同方法种数是: 5 ? 5 ? 5 ? 125 ,所以,共有 125 种不同的送 法 说明:本题两小题的区别在于:第(1)小题是从 5 本不同的书中选出 3 本分送给 3 位同学, 各人得到的书不同,属于求排列数问题;而第(2)小题中,给每人的书均可以从 5 种不同 的书中任选 1 种,各人得到那种书相互之间没有联系,要用分步计数原理进行计算 例 2.某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任 意挂 1 面、 面或 3 面, 2 并且不同的顺序表示不同的信号, 一共可以表示多少种不同的信号?
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1 解:分 3 类:第一类用 1 面旗表示的信号有 A3 种; 2 第二类用 2 面旗表示的信号有 A3 种; 3 第三类用 3 面旗表示的信号有 A3 种, 1 2 3 由分类计数原理,所求的信号种数是: A3 ? A3 ? A3 ? 3 ? 3? 2 ? 3? 2 ?1 ? 15 ,

答:一共可以表示 15 种不同的信号 例 3.将 4 位司机、 4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,每一辆汽车分别有 一位司机和一位售票员,共有多少种不同的分配方案? 分析:解决这个问题可以分为两步,第一步:把 4 位司机分配到四辆不同班次的公共汽车
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4 上,即从 4 个不同元素中取出 4 个元素排成一列,有 A4 种方法; 4 第二步:把 4 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上,也有 A4 种方法,

利用分步计数原理即得分配方案的种数

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解:由分步计数原理,分配方案共有 N ? A4 ? A4 ? 576 (种)
4 4

8

答:共有 576 种不同的分配方案 例 4.用 0 到 9 这 10 个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解法 1:用分步计数原理:
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1 2 所求的三位数的个数是: A9 ? A9 ? 9 ? 9 ? 8 ? 648

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解法 2:符合条件的三位数可以分成三类:每一位数字都不是
3 2 0 的三位数有 A9 个, 个位数字是 0 的三位数有 A9 个, 2 十位数字是 0 的三位数有 A9 个,

由 分类计数 原理,符 合条 件的三位 数的个数 是:
3 2 2 A9 ? A9 ? A9 ? 648 . 3 解法 3:从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字的排列数为 A10 ,其中以 0 为排头的排列 2 2 2 数为 A9 ,因此符合条件的三位数的个数是 A3 ? A9 ? 648 - A9 . 10

说明:解决排列应用题,常用的思考方法有直接法和间接法 直接法:通过对问题进行 恰当的分类和分步,直接计算符合条件的排列数如解法 1,2;间接法:对于有限制条件的 排列应用题,可先不考虑限制条件,把所有情况的种数求出来,然后再减去不符合限制条件 的情况种数如解法 3.对于有限制条件的排列应用题,要恰当地确定分类与分步的标准,防 止重复与遗漏 例 5. (1)7 位同学站成一排,共有多少种不同的排法?
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7 解:问题可以看作:7 个元素的全排列 A7 =5040.

(2)7 位同学站成两排(前 3 后 4) ,共有多少种不同的排法? 解:根据分步计数原理:7×6×5×4×3×2×1=7!=5040. (3)7 位同学站成一排,其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法?
6 解:问题可以看作:余下的 6 个元素的全排列—— A6 =720.

(4)7 位同学站成一排,甲、乙只能站在两端的排法共有多少种? 解:根据分步计数原理:第一步 甲、乙站在两端有 A2 种;
5 5 第二步 余下的 5 名同学进行全排列有 A5 种,所以,共有 A2 ? A5 =240 种排列方法

2

2

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(5)7 位同学站成一排,甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种? 解法 1(直接法) :第一步从(除去甲、乙)其余的 5 位同学中选 2 位同学站在排头和排
2 5 尾有 A5 种方法;第二步从余下的 5 位同学中选 5 位进行排列(全排列)有 A5 种方法,所以 2 5 一共有 A5 A5 =2400 种排列方法

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6 6 解法 2: (排除法)若甲站在排头有 A6 种方法;若乙站在排尾有 A6 种方法;若甲站在 5 7 排头且乙站在排尾则有 A5 种方法,所以,甲不能站在排头,乙不能排在排尾的排法共有 A7

9

6 5 - 2A6 + A5 =2400 种.

说明:对于“在”与“不在”的问题,常常使用“直接法”或“排除法” ,对某些特殊元素可 以优先考虑 例 6.从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单,如果某女演员的独唱节目一定 不能排在第二个节目的位置上,则共有多少种不同的排法?
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1 5 解法一: (从特殊位置考虑) A9 A9 ? 136080 ;
5 6 5 6 解法二: (从特殊元素考虑)若选: 5 ? A9 ;若不选: A9 ,则共有 5 ? A9 ? A9 ? 136080 种; 5 解法三: (间接法) A6 ? A9 ? 136080 10

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例 7. 7 位同学站成一排, (1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种? 解:先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的 5 个元素(同学)一起
6 进行全排列有 A6 种方法;再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A2 种方法.所以这样的
6 2 排法一共有 A6 ? A2 ? 1440 种

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(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?
5 3 解:方法同上,一共有 A5 A3 =720 种
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(3)甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种? 解法一:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有 6 个元素,因为丙 不能站在排头和排尾, 所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾, A5 种 有 2 方法;将剩下的 4 个元素进行全排列有 A4 种方法;最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排
2 列有 A2 种方法.所以这样的排法一共有 A5 A4 A2 =960 种方法
2 4 2
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解法二:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有 6 个元素,若丙站
5 在排头或排尾有 2 A5 种方法, 6 5 2 所以,丙不能站在排头和排尾的排法有 ( A6 ? 2 A5 ) ? A2 ? 960种方法

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解法三:将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素,此时一共有 6 个元素,因为丙 不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置选择共有 A4 种方法,再将其余的 5 个元
5 素进行全排列共有 A5 种方法,最后将甲、乙两同学“松绑” ,所以,这样的排法一共有
1 2 5 A4 A5 A2 =960 种方法. 1

(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起,另外四个人也必须站在一起 解:将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素,另外四个人“捆绑”在一起
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3 4 2 看成一个元素,时一共有 2 个元素,∴一共有排法种数: A3 A4 A2 ? 288 (种)

说明:对于相邻问题,常用“捆绑法” (先捆后松) . 例 8.7 位同学站成一排, (1)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种?
7 6 2 解法一: (排除法) A7 ? A6 ? A2 ? 3600; 5 解法二: (插空法)先将其余五个同学排好有 A5 种方法,此时他们留下六个位置(就称 2 为“空”吧) ,再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有 A6 种方法,所以一共有 5 2 A5 A6 ? 3600种方法.

(2)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种?
4 解:先将其余四个同学排好有 A4 种方法,此时他们留下五个“空” ,再将甲、乙和丙三

3 3 个同学分别插入这五个“空”有 A5 种方法,所以一共有 A4 A5 =1440 种.

4

说明:对于不相邻问题,常用“插空法”(特殊元素后考虑) . 例 9.5 男 5 女排成一排,按下列要求各有多少种排法: (1)男女相间; (2)女生按指定 顺序排列
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5 解: (1)先将男生排好,有 A5 种排法;再将 5 名女生插在男生之间的 6 个“空挡” (包 5 括两端)中,有 2A5 种排法

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5 5 故本题的排法有 N ? 2 A5 ? A5 ? 28800 (种) ;
10 A10 5 ? A10 ? 30240 ; 5 A5

(2)方法 1: N ?

5 方法 2:设想有 10 个位置,先将男生排在其中的任意 5 个位置上,有 A10 种排法;余下

的 5 个位置排女生,因为女生的位置已经指定,所以她们只有一种排法 故本题的结论为 N ? A5 ?1 ? 30240 (种) 10 2007 年高考题 1. (2007 年天津卷)如图,用 6 种不同的颜色给图中的 4 个格子涂 色,每个格子涂一种颜色,要求最多使用 3 种颜色且相邻的两个格 子颜色不同,则不同的涂色方法共有 390 种(用数字作答) .

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2. (2007 年江苏卷)某校开设 9 门课程供学生选修,其中 A, B, C 三门由于上课时间相同, 至多选一门,学校规定每位同学选修 4 门,共有 75 种不同选修方案。 (用数值作答) 3. (2007 年北京卷)记者要为 5 名志愿都和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有( B )
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A.1440 种 B.960 种 C.720 种 D.480 种 4. (2007 年广东卷)图3是某汽车维修公司的维修点分布图,公司在年初分配给A、B、 C、D四个维修点的某种配件各50件,在使用前发现需将A、B、C、D四个维修点的这 批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进行,那么完 成上述调整,最少的调动件次(n个配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n) 为 (A)15 (B)16 (C)17 (D)18 答案:B;

5. (2007 年全国卷 I)从班委会 5 名成员中选出 3 名,分别担任班级学习委员、文娱委员与 体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有 36 种. (用数字作答) 6. (2007 年全国卷Ⅱ)从 5 位同学中选派 4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活 动,每人一天,要求星期五有 2 人参加,星期六、星期日各有 1 人参加,则不同的选派方法 共有( B ) A.40 种 B.60 种 C.100 种 D.120 种 7. (2007 年陕西卷)安排 3 名支教老师去 6 所学校任教,每校至多 2 人,则不同的分配方 案共有 210 种.(用数字作答) 8. (2007 年四川卷)用数字 0,1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且比 20000 大的 五位偶数共有( ) (A)288 个 (B)240 个 (C)144 个 (D)126 个 解析:选 B.对个位是 0 和个位不是 0 两类情形分类计数;对每一类情形按“个位-最高位
3 -中间三位”分步计数:①个位是 0 并且比 20000 大的五位偶数有 1? 4 ? A4 ? 96 个;②个 3 位不是 0 并且比 20000 大的五位偶数有 2 ? 3? A4 ? 144 个;故共有 96 ? 144 ? 240 个.本

题考查两个基本原理,是典型的源于教材的题目. 9. (2007 年重庆卷)某校要求每位学生从 7 门课程中选修 4 门,其中甲乙两门课程不能都 选,则不同的选课方案有____25_____种.(以数字作答) 10. (2007 年宁夏卷)某校安排 5 个班到 4 个工厂进行社会实践,每个班去一个工厂,每个 工厂至少安排一个班,不同的安排方法共有 240 种. (用数字作答) 11. (2007 年辽宁卷)将数字 1,2,3,4,5,6 拼成一列,记第 i 个数为 ai (i ? 1 2, , , ,? 6) 若 a1 ? 1,a3 ? 3 ,a5 ? 5 ,a1 ? a3 ? a5 ,则不同的排列方法有 种(用数字作答) .

解析:分两步: (1)先排 a1 , a3 , a5 , a1 =2,有 2 种; a1 =3 有 2 种; a1 =4 有 1 种,共 有 5 种; (2)再排 a 2 , a 4 , a6 ,共有 A3 ? 6 种,故不同的排列方法种数为 5×6=30,填 30.
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