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2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识):8.4直线与圆、圆与圆的位置关系


课时跟踪检测(五十二) 直线与圆、圆与圆的位置关系

1.(2012· 福建高考)直线 x+ 3y-2=0 与圆 x2+y2=4 相交于 A,B 两点,则弦 AB 的长 度等于( ) B.2 3 D.1

A.2 5 C. 3

2.(2012· 安徽高考)若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,则

实数 a 的取值 范围是( ) B.[-1,3] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

A.[-3,-1] C.[-3,1]

3.已知圆 C:(x-1)2+(y-2)2=25 及直线 l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m∈R),则直 线 l 与圆 C 的位置关系是( A.相离 C.相交 ) B.相切 D.不确定

4.将直线 2x-y+λ=0 沿 x 轴向左平移 1 个单位,所得直线与圆 x2+y2+2x-4y=0 相 切,则实数 λ 的值为( A.-3 或 7 C.0 或 10 ) B.-2 或 8 D.1 或 11 )

5.由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线,则切线长的最小值为( A.1 C. 7 B.2 2 D.3

6.(2012· 兰州模拟)若圆 x2+y2=r2(r>0)上仅有 4 个点到直线 x-y-2=0 的距离为 1, 则实数 r 的取值范围为( A.( 2+1,+∞) C.(0, 2-1) ) B.( 2-1, D.(0, 2+1)

2+1)

7.(2013· 临沂模拟)已知点 P(x,y)是直线 kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA,PB 是圆 C: x2+y2-2y=0 的两条切线,A,B 是切点,若四边形 PACB 的最小面积是 2,则 k=______. 8.(2013· 东北三校联考)若 a,b,c 是直角三角形 ABC 三边的长(c 为斜边),则圆 C:x2 +y2=4 被直线 l:ax+by+c=0 所截得的弦长为________. 9.(2012· 江西高考)过直线 x+y-2 2=0 上点 P 作圆 x2+y2=1 的两条切线,若两条切 线的夹角是 60° ,则点 P 的坐标是________. 10.(2012· 福州调研)已知⊙M:x2+(y-2)2=1,Q 是 x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙ M 于 A,B 两点.

(1)若|AB|=

4 2 ,求|MQ|及直线 MQ 的方程; 3

(2)求证:直线 AB 恒过定点.

2 11.已知以点 C?t, t ?(t∈R,t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A,与 y 轴交于点 O、B, ? ? 其中 O 为原点. (1)求证:△AOB 的面积为定值; (2)设直线 2x+y-4=0 与圆 C 交于点 M、N,若|OM|=|ON|,求圆 C 的方程.

12.(2012· 揭阳调研)已知点 M(3,1),直线 ax-y+4=0 及圆(x-1)2+(y-2)2=4. (1)求过 M 点的圆的切线方程; (2)若直线 ax-y+4=0 与圆相切,求 a 的值; (3)若直线 ax-y+4=0 与圆相交于 A,B 两点,且弦 AB 的长为 2 3,求 a 的值.

1.(2012· 安徽模拟)已知圆 x2+y2+2x-4y+1=0 关于直线 2ax-by+2=0(a,b∈R)对 称,则 ab 的取值范围是( 1 A.?-∞,4? ? ? 1 C.?-4,0? ? ? ) 1 B.?4,+∞? ? ? 1 D.?0,4? ? ?

2.(2012· 上海模拟)已知圆的方程为 x2+y2-6x-8y=0,a1,a2,…,a11 是该圆过点(3,5) 的 11 条弦的长, 若数列 a1, 2, a11 成等差数列, a …, 则该等差数列公差的最大值是________. 3.(2013· 江西六校联考)已知抛物线:C:y2=2px(p>0)的准线为 l,焦点为 F,圆 M 的 π 圆心在 x 轴的正半轴上,圆 M 与 y 轴相切,过原点 O 作倾斜角为 的 3 直线 n,交直线 l 于点 A,交圆 M 于不同的两点 O、B,且|AO|=|BO| =2. (1)求圆 M 和抛物线 C 的方程; (2)若 P 为抛物线 C 上的动点,求 PM ,· ,的最小值; PF

???? ??? ?

(3)过直线 l 上的动点 Q 向圆 M 作切线,切点分别为 S、T,求证:直线 ST 恒过一个定 点,并求该定点的坐标.





课时跟踪检测(五十二) A级 1.选 B 因为圆心(0,0)到直线 x+ 3y-2=0 的距离为 1,所以 AB=2 4-1=2 3. 2.选 C 欲使直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2 有公共点,只需使圆心到直线的距 离小于等于圆的半径 2即可,即 |a-0+1| 12+?-1?2 ≤ 2,化简得|a+1|≤2,解得-3≤a≤1.

3.选 C 注意到直线(2m+1)x+(m+1)y=7m+4,即(x+y-4)+m(2x+y-7)=0 恒过 直线 x+y-4=0 与 2x+y-7=0 的交点(3,1),且点(3,1)与圆心(1,2)的距离等于 5(小于半径 5),即点(3,1)位于圆 C 内,因此直线 l 与圆 C 的位置关系是相交. 4.选 A 设切点为 C(x,y),则切点满足 2(x+1)-y+λ=0,即 2x-y+2+λ=0. 又圆 x2+y2+2x-4y=0 的圆心为(-1,2),半径为 5,由直线与圆相切的充要条件得

|2×?-1?-2+2+λ| = 5, 22+?-1?2 解得 λ=-3 或 7. 5.选 C 如图所示,设直线上一点 P,切点为 Q,圆心为 M(3,0), 则|PQ|即为切线长,MQ 为圆 M 的半径,长度为 1, |PQ|= |PM|2-|MQ|2= |PM|2-1. 要使|PQ|最小,即求|PM|的最小值,此题转化为求直线 y=x+1 上的点到圆心 M 的最小 距离,设圆心 M 到直线 y=x+1 的距离为 d,则 d= 2 2, ∴|PQ|= |PM|2-1≥ ?2 2?2-1= 7. |3-0+1| =2 2,∴|PM|的最小值为 12+?-1?2

6.选 A 计算得圆心到直线 l 的距离为

2 = 2

2>1,如图.直

线 l:x-y-2=0 与圆相交,l1,l2 与 l 平行,且与直线 l 的距离为 1, 故可以看出,圆的半径应该大于圆心到直线 l2 的距离 7.解析:圆心 C(0,1)到 l 的距离 d= 5 , k +1
2

2+1.

1 2 所以四边形面积的最小值为 2×?2×1× d -1?=2, ? ? 解得 k2=4,即 k=± 2. 又 k>0,即 k=2. 答案:2 8.解析:由题意可知圆 C:x2 +y2=4 被直线 l:ax+by+c=0 所截得的弦长为 2 4-?

? c ?2,由于 a2+b2=c2,所以所求弦长为 2 3. ? ? a2+b2?

答案:2 3 9.解析:∵点 P 在直线 x+y-2 2=0 上, ∴可设点 P(x0,-x0+2 2),且其中一个切点为 M.∵两条切线的夹角为 60° , ∴∠OPM=30° .故在 Rt△OPM 中,有 OP=2OM=2.由两点间的距离公式得 OP= x2+?-x0+2 2?2=2,解得 x0= 2.故点 P 的坐标是( 0 答案:( 2, 2) 2, 2).

10.解:(1)设直线 MQ 交 AB 于点 P,则|AP|= 得|MP|= 8 1 12- = , 9 3

2 2 ,又|AM|=1,AP⊥MQ,AM⊥AQ, 3

|MA|2 又∵|MQ|= ,∴|MQ|=3. |MP| 设 Q(x,0),而点 M(0,2),由 x2+22=3,得 x=± 5, 则 Q 点的坐标为( 5,0)或(- 5,0). 从而直线 MQ 的方程为 2x+ 5y-2 5=0 或 2x- 5y+2 5=0. (2)证明:设点 Q(q,0),由几何性质,可知 A,B 两点在以 QM 为直径的圆上,此圆的方 程为 x(x-q)+y(y-2)=0,而线段 AB 是此圆与已知圆的公共弦,相减可得 AB 的方程为 qx 3 -2y+3=0,所以直线 AB 恒过定点?0,2?. ? ? 11.解:(1)证明:由题设知,圆 C 的方程为 2 4 (x-t)2+?y- t ?2=t2+ 2, ? ? t 4 化简得 x2-2tx+y2- y=0, t 当 y=0 时,x=0 或 2t,则 A(2t,0); 4 4 当 x=0 时,y=0 或 ,则 B?0, t ?, ? ? t 1 所以 S△AOB= |OA|· |OB| 2 1 ?4 = |2t|· t ?=4 为定值. 2 ? ? (2)∵|OM|=|ON|,则原点 O 在 MN 的中垂线上,设 MN 的中点为 H, 则 CH⊥MN, ∴C、H、O 三点共线,则直线 OC 的斜率 2 t 2 1 k= = 2= , t t 2 ∴t=2 或 t=-2. ∴圆心为 C(2,1)或 C(-2,-1), ∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5 或(x+2)2+(y+1)2=5, 由于当圆方程为(x+2)2+(y+1)2=5 时,直线 2x+y-4=0 到圆心的距离 d>r,此时不 满足直线与圆相交,故舍去,∴圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=5. 12.解:(1)圆心 C(1,2),半径为 r=2, 当直线的斜率不存在时,方程为 x=3.

由圆心 C(1,2)到直线 x=3 的距离 d=3-1=2=r 知, 此时,直线与圆相切. 当直线的斜率存在时,设方程为 y-1=k(x-3),即 kx-y+1-3k=0. |k-2+1-3k| 3 由题意知 =2,解得 k= . 2 4 k +1 3 ∴方程为 y-1= (x-3), 4 即 3x-4y-5=0. 故过 M 点的圆的切线方程为 x=3 或 3x-4y-5=0. |a-2+4| 4 (2)由题意有 =2,解得 a=0 或 a= . 2 3 a +1 (3)∵圆心到直线 ax-y+4=0 的距离为 ∴? |a+2| . a2+1

? |a+2| ?2 ?2 3?2 =4, ?+ ? a2+1? ? 2 ?

3 解得 a=- . 4 B级 1.选 A 由题意知,圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=4,圆心坐标为(-1,2),将圆心坐标 1 代入直线方程得 2a+2b=2,即 a+b=1,又(a+b)2=a2+b2+2ab≥4ab,所以 ab≤ . 4 2.解析:容易判断,点(3,5)在圆内部,过圆内一点最长的弦是直径,过该点与直径垂 10-4 6 5-2 6 直的弦最短, 因此, 过(3,5)的弦中, 最长为 10, 最短为 4 6, 故公差最大为 = . 10 5 5-2 6 答案: 5 3.解:(1)易得 B(1, 3),A(-1,- 3),设圆 M 的方程为(x-a)2+y2=a2(a>0), 将点 B(1, 3)代入圆 M 的方程得 a=2, 所以圆 M 的方程为(x-2)2+y2=4, 因为点 A(- p 1,- 3)在准线 l 上,所以 =1,p=2,所以抛物线 C 的方程为 y2=4x. 2 (2)由(1)得,M(2,0),F(1,0),设点 P(x,y),则 PM =(2-x,-y), PF =(1-x,-y), 又点 P 在抛物线 y2=4x 上,所以 PM · =(2-x)(1-x)+y2=x2-3x+2+4x=x2+x+2, PF 因为 x≥0,所以 PM · ≥2,即 PM · 的最小值为 2. PF PF (3)证明:设点 Q(-1,m),则|QS|=|QT|= m2+5,以 Q 为圆心, m2+5为半径的圆

????

??? ?

???? ??? ?

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???? ??? ?

的方程为(x+1)2+(y-m)2=m2+5,即 x2+y2+2x-2my-4=0,① 又圆 M 的方程为(x-2)2+y2=4,即 x2+y2-4x=0,② 由①②两式相减即得直线 ST 的方程 3x-my-2=0, 2 显然直线 ST 恒过定点?3,0?. ? ?


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