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山东省曲阜师范大学附属中学2015-2016学年高二数学下学期第二次质量检测(期中)试题理(新)


2015-2016 学年山东省曲阜师范大学附属中学高二下学期第二次质量检测(期 中)数学理试题
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每题选出答案后,用 2 B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再改涂 在其它答案标号. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的. 1.已知复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i, i 为虚数单位,则复数 z 为 A. 1 ? 2i B. ?1 ? 2i C. 2 ? i D. ?1 ? 2i

2. 下列表述正确的是( ) ①归纳推理 是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的 推理;④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.②③④ B.①③⑤ C.②④⑤ D.①⑤ 3.用反证法证明命题: “ a, b, c, d ? R , a ? b ? 1 , c ? d ? 1 ,且 ac ? bd ? 1 ,则 a, b, c, d 中至少有一个 负数”时的假设为( ) B. a, b, c, d 全为正数 D. a, b, c, d 中至多有一个负数 )

A. a, b, c, d 中至少有一个正数 C. a, b, c, d 全都大于等于 0

4. 按流程图的程序计算,若开始输入的值为 x ? 3 ,则输出的 x 的值是 ( 输入 x 计算 x ?

x( x ? 1) 的值 2

x ? 100

是 输出结果 x

否 A. 6 B. 21 C. 156 D. 231

5.从字母 a,b,c,d,e,f 中选出 4 个数排成一列,其中一定要选出 a 和 b,并且必须相邻(a 在 b 的前 面),共有排列方法 A.36 种
?x

B.72 种

C.90 种

D.144 种

6. 函数 f ( x) ? xe 的单调递减区间是 A. (1, ??) B. (??, ?1) C. (??,1) D. (?1, ??)

7.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? (a ? 6) x ? 1有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是( ) A. ? 1 ? a ? 2 B. ? 3 ? a ? 6 C. a ? ?3 或 a ? 6 D. a ? ?1 或 a ? 2
1

8. 已知二次函数 y ? f ( x) 的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为( A. C. 2π 5 4 3 B. D. 3 2 π 2

)

9.把 3、6、10、15、21、?这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下 图),试求第六个三角形数是( A.27 C.29 B.28 D.30 )

10. 已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (??,0) 时不等式 f ( x) ? xf ?( x) ? 0 成立, 若 a ? 3 f (3) , b ? ?2 f (?2), c ? f (1) ,则 a, b, c 的大小关系是 A . a ? b ? c D. a ? c ? b 第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分) 注意事项:1.第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题. 2.第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在 数学答题纸指定的位置. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分. C. c ? a ? b B. c ? b ? a

5 , 则 | z |? 2?i 12.已知 f ( x) ? x3 ? 2xf '(1) ,则 f '(1) ? ________.
11. 设 i 为虚数单位,若复数 z ? 2i ? 的类似结论为: .

.

13.已知 {bn } 为等差数列, b5 ? 2 ,则 b1 ? b2 ? b3 ???? ? b9 ? 2 ? 9 ,若 {an } 为等比数列, a5 ? 2 ,则 {an }

14. 某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中 取出 4 本赠送给 4 位朋友,每位朋友 1 本,则不 同的赠送方式共有 种.

15. 已知函数 f ( x) 的定义域为[-1,5], 部分对应值如下表:

x

-1 1

0 2

4 2

5 1 数

f ( x)

f ( x) 的导函数 y ? f ?( x) 的图象如图所示,下列关于函 f ( x) 的命题:
①函数 f ( x) 的值域为[1,2]; ②函数 f ( x) 在[0,2]上是减函数; ③如果当 x∈[-1,t]时, f ( x) 的最大值是 2,那么 t 的最大值为 5; ④当 1<a<2 时,函数 y ? f ( x) ? a 有 4 个零点. 其中真命题为________(填写序号). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

2

已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x .求函数 f ( x) 在 [ ?3, ] 上的最大值和最小值. 17. (本小题满分 12 分) ( 1 ) 求 证 :

3 2

6?

7 ? 2 2?

5;

1? b 1? a (2)已知a ? 0, b ? 0, 且a ? b ? 2, 求证: 和 中至少有一个小于2. a b
18. (本小题满分 12 分) 观察下列等式

1?1 2?3? 4 ? 9 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 25 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 49

第一个式子 第二个式子 第三个式子 第四个式子

照此规律下去 (1)写出第五个等式; (2)你能做出什么一般性的猜想?请用数学归纳法证明猜想. 19. (本小题满分 12 分) 某电视生产厂家有 A、B 两种型号的电视机参加家电下乡活动.若厂家投放 A、B 型号电视机的价值分 别为 p、q 万元,农民购买电视机获得的补贴分别为 ln p 、

2 5

1 q 万元.已知厂家对 A、B 两种型号电视机 10

的投放总金额为 10 万元,且 A、B 两型号的电视机投放金额都不低于 1 万元,请你制定一个投放方案,使 得在这次活动中农民得到的补贴最多,并求出其最大值(精确到 0.1,参考数据: ln 4 ? 1.4 ) 20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? bx ? c 图象上的点 P(1,?2) 处的切线方程为 y ? ?3x ? 1 . (1)若函数 f ( x ) 在 x ? ?2 时有极值,求 f ( x ) 的表达式; (2)若函数 f ( x ) 在区间 [?2,0] 上单调递增,求实数 b 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a( x ?1) ? ln x, a ? R .
2

1 时,求函数 y ? f ( x) 的单调区间; 4 1 1 (2)当 a ? 时,令 h( x) ? f ( x) ? 3ln x ? x ? ,求 h( x) 在 ?1,e? 的最大值和最小值; 2 2
(1)当 a ? ? (3)当 x ? ?1,?? ? 时,函数 围. 2015—2016 学年度第二学期期中考试 数学参考答案和评分标准(理科)
3

? x?1, y ? f ( x ) 图像上的点都在不等式组 ? 所表示的区域内,求实数 a 的取值范 ? y? x?1

一、选择题(5×10=50 分) 题号 答案 11. 5 1 B 12. ?3 2 B 3 C 4 D 5 A 6 A 7 C 15. ②③ 8 C 9 B 10 A

二、填空题(5×5=25 分) 13. a1a2a3 ??? a9 ? 29 14. 10 三、解答题(共 75 分) 16.解: f ?( x) ? 3x2 ? 3, 令f ?( x) ? 0, 得x ? ?1, 或x ? 1??????2 分 当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x ) f ( x)

(?3, ?1)

?1

(?1,1)
?
递减↘

1

?
递增↗

0
2

0
-2

3 (1, ) 2 ?
递增↗ ????????8 分

因此,当 x ? ?1时, f ( x)有极大值,为f (?1) ? 2 ; x ? 1时, f ( x)有极小值,为f (1) ? ?2 , 又 f (?3) ? 18, f ( 2 ) ? ? 8 所以函数 f ( x) 在 [ ?3, ] 上的最大值为 f (?3) ? 18 ,最小值为 f (1) ? ?2 .???12 17. (1)要证 6 ? 7 ? 2 2 ? 5,

3

9

3 2

只需证( 6 ? 7) 2 ? (2 2 ? 5) 2, 即证13+2 42 ? 13 ? 2 40, 即证 42 ? 40,
而上式显然成立,故原不等式成立.????????????6 分

(2)假设

1? b 1? a ? 2, ? 2 ?????????????????8 分 a b

则因为a ? 0, b ? 0, 有1 ? b ? 2a,1 ? a ? 2b, 所以2 ? a ? b ? 2a ? 2b, 故a ? b ? 2, 这与题设条件a ? b ? 2相矛盾,所以假设错误.
因此 1? b 1? a 和 中至少有一个小于2. a b ????????????12 分
???????? 3 分
2

18.解: (1)第 5 个等式 5 ? 6 ? 7 ? ? ? 13 ? 81

(2)猜测第 n 个等式为 n ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? (3n ? 2) ? (2n ? 1) ???? 6 分 证明:①当 n ? 1 时显然成立;???????? 7 分
2 ② 假设 n ? k (k ? 1, k ? N ? ) 时也成立,即 k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ? ? (3k ? 2) ? (2k ? 1)

???? 8

分 那么当 n ? k ? 1 时左边 ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ? ? (3k ? 2) ? (3k ? 1) ? (3k ) ? (3k ? 1)

4

? k ? (k ? 1) ? (k ? 2) ? ? ? (3k ? 2) ? (2k ? 1) ? 3k ? 3k ? 1 ? (2k ? 1) 2 ? (2k ? 1) ? (3k ) ? (3k ? 1) ? 4k 2 ? 4k ? 1 ? 8k ? (2k ? 1) 2 ? [2(k ? 1) ? 1]2
而右边 ? [2(k ? 1) ? 1]2 , 这就是说 n ? k ? 1 时等式也成立. 根据①②知,等式对任何 n ? N ? 都成立.???????? 12 分 19.解:设 A 型号电视机的投放金额为 x 万元 (1 ? x ? 9) ,则 B 型号的电视机的投放金额为 (10 ? x) 万元, 并设农民得到的补贴为 f ( x ) 万元,由题意得 ???????? 11 分

2 1 2 1 ln x ? (10 ? x) ? ln x ? x ? 1 ???????????4 分 5 10 5 10 2 1 4? x f ?( x) ? ? ? , 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 4 , 5 x 10 10 x 当 x ? (1, 4) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (4,9) ,时, f ?( x) ? 0 ,---------------------8 分 2 所以当 x ? 4 时, f ( x ) 取得最大值, f ( x) max ? ln 4 ? 0.4 ? 1 ? 1.2 ,---------10 分 5 f ( x) ?
故厂家投放 A、B 两种型号的电视机的金额分别是 4 万元和 6 万元,农民得到的补 贴最多,最多补贴约 1.2 万元. ---------------------12 分 20. 解: f ' ( x) ? ?3x 2 ? 2ax ? b ,┉??????????1 分 因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线斜率为-3, 所以 f ' (1) ? ?3 ? 2a ? b ? ?3 ,即 2a ? b ? 0 ,┉??????????2 分 又 f (1) ? ?1 ? a ? b ? c ? ?2 得 a ? b ? c ? ?1 .┉??????????3 分 (1)因为函数 f ( x ) 在 x ? ?2 时有极值,所以 f ' (?2) ? ?12 ? 4a ? b ? 0 ,┉4 分 解得 a ? ?2, b ? 4, c ? ?3 , 所以 f ( x) ? ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 3 . ┉??????????6 分 ┉??????????7 分

(2)因为函数 f ( x ) 在区间 [?2,0] 上单调递增,所以导函数 f ' ( x) ? ?3x 2 ? bx ? b 在区间 [?2,0] 上的值恒大于或等于零, ?????????????????8 分

? 3x 2 由 f ( x) ? ?3x ? bx ? b ? 0 在区间 [?2,0] 上恒成立,得 b ? x ?1
' 2

在区间 [?2,0] 上恒成立,

只需 b ? (

? 3x 2 ) max ???????????????????10 分 x ?1

? 3x 2 ? 3x( x ? 2) ' 令 g ( x) ? ,则 g ( x) = .当 ? 2 ? x ? 0 时, g ' ( x) ? 0 恒成立. 2 x ?1 ( x ? 1)
所以 g ( x) 在区间单 [?2,0] 单调递减, g ( x) max ? g (?2) ? 4 .????12 分

5

所以实数 b 的取值范围为 [4,??) . 21.解: (1) a ? ?

??????????13 分

1 1 2 , f ( x) ? ? ( x ? 1) ? ln x ,(x>0) ???????? 1 分 4 4

f'(x) ? ?

1 1 1 ? x 2 ? x ? 2 ? ( x ? 2)(x ? 1) x? ? ? ? ,???????2 分 2 2 x 2x 2x

① 当 0< x < 2 时,f'(x)>0,f(x)在(0,2)单调递增;当 x>2 时,f'(x)<0,f(x)在 (2,??) 单调递减; 所以函数的单调递增区间是(0,2) ,单调递减区间是 (2,??) .???4 分 (2) h?( x) ? x ?

2 ,令 h?( x) ? 0 得 x ? 2 .????????5 分 x

当 x ? ?1, 2 ? 时 h?( x) <0,当 x ? ? 2,e ? 时 h?( x) >0,

?

?

?

?

故x?

2 是函数 h( x) 在 ?1,e? 上唯一的极小值点,????????6 分
, 又 h(1) ?

故 h( x)min ? h( 2) ? 1 ? ln 2 所以 h( x)max

1 , 2

h ( e) ?

1 2 1 e ?2 ? , 2 2
注:列表也可.

e2 ? 4 1 2 ?????? ?? 8 分 ? e ?2= 2 2

(3)由题意得 a( x ? 1) 2 ? ln x ? x ? 1 对 x ? [1,??) 恒成立,?????????9 分 设 g ( x) ? a( x ? 1) ? ln x ? x ? 1 , x ? [1,??) ,则 g ( x) max ? 0 , x ? [1,??)
2

求导得 g ' (x) ?

2ax2 ? (2a ? 1) x ? 1 (2ax ? 1)(x ? 1) ? ,??????????10 分 x x

① 当 a ? 0 时,若 x ? 1 ,则 g ' ( x) ? 0 ,所以 g ( x) 在 [1,??) 单调递减

g ( x) max ? g (1) ? 0 ? 0 成立,得 a ? 0 ;?????????????????11 分
② 当a ?

1 1 ? 1 , g ( x) 在 [1,??) 单调递增, 时, x ? 2 2a

所以存在 x ? 1 ,使 g ( x) ? g (1) ? 0 ,则不成立;?????????????12 分

1 1 1 1 ? 1 ,则 f ( x) 在 [1, ] 上单调递减, [ ,?? ) 单调递增, 时, x ? 2a 2 2a 2a 1 1 1 1 1 1 ,?? ) ,有 g ( ) ? a( ? 1) 2 ? ln ? ? 1 ? ? ln a ? a ? 1 ? 0 , 则存在 ? [ a 2a a a a a
③ 当0 ? a ? 所以不成立, ????????????????????????????13 分 综上得 a ? 0 .????????????????????????????14 分

6


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