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高中数学必修4人教A教案2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角


2. 4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
教学目的: 1.掌握平面向量数量积运算规律; 2.能利用数量积的 5 个重要性质及数量积运算规律解决有关问题; 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断,会证明两向量垂直,以及能解决一些简单问题. 教学重点:平面向量数量积及运算规律. 教学难点:平面向量数量积的应用 教学过程: 一、复习引入: 1.平面向量数量积(内积)的定义: 2.两个向量的数量积的性质: 3.练习: (1)已知| a |=1,| b |= 2 ,且( a - b )与 a 垂直,则 a 与 b 的夹角是( A.60° B.30° C.135° D.45° )

(2)已知| a |=2,| b |=1, a 与 b 之间的夹角为

? ,那么向量 m = a -4 b 的模为( 3
D.12



A.2 二、讲解新课:

B.2 3

C.6

探究: 已知两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ) ,b ? ( x 2 , y 2 ) , 怎样用 a 和 b 的坐标表示 a ? b ?. 1、平面两向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 2. 平面内两点间的距离公式
2 2 2 2 (1)设 a ? ( x, y ) ,则 a ? x ? y 或 a ? x ? y . 2

(2)如果表示向量 a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) , 那么 a ?

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 (平面内两点间的距离公式)

3. 向量垂直的判定 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) ,则 a ⊥ b ? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

1

4. 两向量夹角的余弦 已知两个非零向量 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) , a 与 b 之间的夹角为θ ( 0 ? ? ? ? )

a ?b
cos? = a ? b ?
2

x1 x 2 ? y1 y 2 x1 ? y1
2

x2 ? y2
2

2

二、讲解范例: 例 1 已知 A(1, 2),B(2, 3),C(?2, 5),试判断△ ABC 的形状,并给出证明.

练习 1、习题 2.4 A 组第 5 题

2

例2

设 a = (5, ?7), b = (?6, ?4),求 a ? b , a 、 b 间的夹角 θ 的余弦及│ a -4 b │。

练习 2、课后练习 1、2、3、题

3

三、课堂小结: 1、 a ? b ? x1 x2 ? y1 y 2 2、平面内两点间的距离公式 a ? 3、向量垂直的判定: 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x 2 , y 2 ) ,则 a ⊥ b

( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2

? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

四、作业布置

习题 2.4 A 组 9、10、11 、题

4


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