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【全程复习方略】(文理通用)2015届高三数学一轮复习 7.3空间点、直线、平面之间的位置关系精品试题


空间点、直线、平面之间的位置关系
(45 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.若两条直线和一个平面相交成等角,则这两条直线的位置关系是( A.平行 C.相交 B.异面 D.平行、异面或相交 ) 100 分)

【解析】选 D.当平行、异面或相交时,均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现. 2.已知 E,F,G,H 是空间内四个点,条件甲:E,F,G,H 四点不共面,条件乙:直线 EF 和 GH 不相交,则甲是乙成立 的( )

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】选 A.点 E,F,G,H 四点不共面可以推出直线 EF 和 GH 不相交;但由直线 EF 和 GH 不相交不一定能推 出 E,F,G,H 四点不共面.例如,EF 和 GH 平行,这也是直线 EF 和 GH 不相交的一种情况,但 E,F,G,H 四点共面. 故甲是乙成立的充分不必要条件. 3.若直线 l 不平行于平面α ,且 l?α ,则( A.α 内的所有直线与 l 异面 B.α 内不存在与 l 平行的直线 C.α 内存在唯一的直线与 l 平行 D.α 内的直线与 l 都相交 【解析】 选 B.由题意知直线 l 与平面α 相交,不妨设直线 l∩α =M,对 A,在α 内过 M 点的直线与 l 不异面,A 错误;对 B,假设存在与 l 平行的直线 m,则由 m∥l 且 l?α 得 l∥α ,这与 l∩α =M 矛盾,故 B 正确,C 错误; 对 D,α 内存在与 l 异面的直线,故 D 错误. 4.(2013·湖州模拟)下列四个命题中真命题是( A.垂直于同一直线的两条直线互相平行 B.过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 C.底面各边相等、侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱 D.过球面上任意两点的大圆有且只有一个 【解析】选 B.垂直于同一条直线的两条直线之间的关系可以平行、相交和异面;过空间任一点与两条异面
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)

)

直线都垂直的直线只有一条;正四棱柱的概念是底面是正四边形,侧棱都与底面垂直;过球面上任意两点的 大圆不一定是唯一的,若所取的任意两点与球心在同一直线的话,就可以得到无数个大圆了.故选 B. 5.(2013·台州模拟)下列四个命题中,真命题的个数为( ①如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合; ②两条直线可以确定一个平面; ③若 M∈α ,M∈β ,α ∩β =l,则 M∈l; ④空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内. A.1 B.2 C.3 D.4 )

【解析】 选 A.①两个平面有三个公共点,若这三个公共点共线,则这两个平面相交,故①不正确;两异面直线 不能确定一个平面,故②不正确;在空间,交于一点的三条直线不一定共面(如墙角),故④不正确;据平面的 性质可知③正确. 6.(2013·东城模拟)设 A,B,C,D 是空间四个不同的点,在下列命题中,不正确的是( A.若 AC 与 BD 共面,则 AD 与 BC 共面 B.若 AC 与 BD 是异面直线,则 AD 与 BC 是异面直线 C.若 AB=AC,DB=DC,则 AD=BC D.若 AB=AC,DB=DC,则 AD⊥BC 【解析】选 C.A 中,若 AC 与 BD 共面,则 A,B,C,D 四点共面,则 AD 与 BC 共面; B 中,若 AC 与 BD 是异面直线,则 A,B,C,D 四点不共面,则 AD 与 BC 是异面直线; C 中,若 AB=AC,DB=DC,AD 不一定等于 BC; D 中,若 AB=AC,DB=DC,可以证明 AD⊥BC. 7.(2013· 沈阳模拟)正方体 AC1 中,E,F 分别是线段 BC,C1D 的中点,则直线 A1B 与直线 EF 的位置关系是( A.相交 C.异面 B.平行 D.以上都有可能 ) )

【解析】选 A.如图所示,连接 CD1,则 CD1∩C1D=F,因为 A1B∥CD1,所以直线 A1B 与 CD1 确定的平面为 A1BCD1,E∈BC,所以 EF? 平面 A1BCD1,且两直线不平行,故两直线 相交. 【加固训练】 将正方体纸盒展开如图所示,直线 AB,CD 在原正方体中的位置关系 是( )

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A.平行 C.相交成 60°角 【解析】选 D.折起后如图,

B.垂直 D.异面且成 60°角

显然 AB 与 CD 异面,因为 AM∥CD,△AMB 为正三角形,所以∠MAB=60°. 8.正四棱锥 S-ABCD 的侧棱长为 A.30° B.45° C.60° ,底面边长为 D.90° ,E 为 SA 的中点,则异面直线 BE 和 SC 所成的角为( )

【解析】选 C.如图,设 AC 中点为 O,则 OE∥SC,

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则∠BEO(或其补角)即为异面直线 BE 和 SC 所成的角,由 EO= SC=

,BO= BD=

,

在△SAB 中,cos∠SAB= 所以 BE=

=

=

=

,

.在△BEO 中,cos∠BEO= ,

所以∠BEO=60°. 【方法技巧】求异面直线所成角的三步骤 (1)作:通过作平行线得到相交直线. (2)证:证明相交直线夹角为异面直线所成的角. (3)算:通过解三角形求出角. 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9.(2013·嘉兴模拟)a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出三个命题:①若 a∥b,b∥c,则 a∥c; ②若 a∥b,b 与 c 异面,则 a 与 c 异面; ③若 a,b 与 c 成等角,则 a∥b. 上述命题中正确的命题是 (只填序号).

【解析】由基本性质知①正确;当 a∥b,b 与 c 异面时,a 与 c 可能相交也可能异面,故②不正确;当 a,b 与 c 成等角时,a 与 b 可以相交、平行,也可以异面,故③不正确. 答案:① 10. 如图 ,G,H,M,N 分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点 , 则表示直线 GH 与 MN 是异面直线的图形 有 .

【解析】①③中,GM∥HN,所以 G,M,N,H 四点共面,从而 GH 与 MN 共面;②④中,根据异面直线的判定定理,易 知 GH 与 MN 异面. 答案:②④ 【加固训练】如图,E,F 是 AD 上互异的两点,G,H 是 BC 上互异的两点,由图可知,①AB 与 CD 互为异面直线; ②FH 分别与 DC,DB 互为异面直线;③EG 与 FH 互为异面直线;④EG 与 AB 互为异面直线.其中叙述正确的是 ( )
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A.①③

B.②④

C.①④

D.①②

【解析】 选 A.根据图形,AB 与 CD 互为异面直线,故①正确;当 F 点与 D 重合时,B,F,C,H 四点共面,FH 与 DC,DB 不为异面直线,故②错误;由于 EG 与 FH 不可能共面(否则 A,B,C,D 四点共面),所以 EG 与 FH 互为异面直线, 故③正确;当 G 与 B 重合时,AB 与 EG 为共面直线,故④错误.所以应选 A. 11.如图,已知圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形,C 是圆柱下底面弧 AB 的中点,C1 是圆柱上底面弧 A1B1 的中点, 那么异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为 .

【思路点拨】取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D,连接 C1D,AD,则可得直线 AC1 与 AD 所成角等于异面直线 AC1 与 BC 所成角,利用圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形,可得 C1D= 【解析】取圆柱下底面弧 AB 的另一中点 D,连接 C1D,AD, AD,从而可得结论.

则因为 C 是圆柱下底面弧 AB 的中点,
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所以 AD∥BC, 所以直线 AC1 与 AD 所成角等于异面直线 AC1 与 BC 所成角, 因为 C1 是圆柱上底面弧 A1B1 的中点, 所以 C1D⊥圆柱下底面,所以 C1D⊥AD, 因为圆柱的轴截面 ABB1A1 是正方形, 所以 C1D= AD, , .

所以直线 AC1 与 AD 所成角的正切值为

所以异面直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为 答案:

12.已知线段 AB,CD 分别在两条异面直线上,M,N 分别是线段 AB,CD 的中点,则 MN “<”或“=”). 【解析】 如图所示,四边形 ABCD 是空间四边形,而不是平面四边形,要想求 MN 与 AC,BD 的关系,必须将它们转化到平面来考虑.取 AD 的中点为 G,再连 接 MG,NG,在△ABD 中,M,G 分别是线段 AB,AD 的中点,则 MG∥BD,且 MG= BD, 同 理 , 在 △ ADC 中 ,NG ∥ AC, 且 NG= AC, 又 根 据 三 角 形 的 三 边 关 系 知,MN<MG+NG, 即 MN< BD+ AC= (AC+BD). 答案:< 三、解答题(13 题 12 分,14~15 题各 14 分) 13.已知在空间四边形 ABCD 中,AB=CD=3,E,F 分别为 BC,AD 上的点,并且 BE∶EC=AF∶FD=1∶2,EF= ,求 AB 与 CD 所成的角的大小.

(AC+BD)(填“>”

【解析】取 BD 上一点 H,使得 BH∶HD=1∶2.连接 FH,EH,由题意知 FH∥AB,EH∥CD,则∠EHF 为异面直线 AB 与 CD 所成的角(或其补角).

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又 AF∶FD=BH∶HD=BE∶EC=1∶2, 所以 FH= AB=2,HE= CD=1. 在△EFH 中,由余弦定理知: cos∠EHF= = =- ,

即异面直线 AB 与 CD 所成的角为 60°. 【误区警示】本题易忽视异面直线所成角的取值范围 .在解答过程中易误认为∠EHF 即为异面直线

AB 与 CD 所成的角.实际上,当∠EHF 为锐角或直角时,为两条异面直线 AB 与 CD 所成的角;而当∠EHF 为钝角 时,它为异面直线 AB 与 CD 所成角的补角. 14.如图,已知:E,F,G,H 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 AB,BC,CC1,C1D1 的中点,证明:FE,HG,DC 三线共点.

【证明】连接 C1B,HE,FG,

由题意知 HC1∥EB,且 HC1=EB.所以四边形 HC1BE 是平行四边形.所以 HE∥C1B. 又 C1G=GC=CF=BF,故 GF∥C1B,
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且 GF= C1B, 所以 GF∥HE,且 GF≠HE,所以 HG 与 EF 相交. 设交点为 K,则 K∈HG,HG? 平面 D1C1CD, 所以 K∈平面 D1C1CD. 因为 K∈EF,EF? 平面 ABCD, 所以 K∈平面 ABCD. 因为平面 D1C1CD∩平面 ABCD=DC, 所以 K∈DC,FE,HG,DC 三线共点. 15.(能力挑战题)(2013·杭州模拟)如图,在三棱锥 A-BCD 中,E,F,G,H 分别是 边 AB,BC,CD,DA 的中点. (1)若 AC=BD,求证:四边形 EFGH 是菱形. (2)当 AC 与 BD 满足什么条件时,四边形 EFGH 是正方形? 【解析】(1)在△ABC 中,E,F 分别是边 AB,BC 中点, 所以 EF∥AC,且 EF= AC, 同理有 GH∥AC,且 GH= AC, 所以 EF∥GH 且 EF=GH, 故四边形 EFGH 是平行四边形. 又 EH∥BD 且 EH= BD, 故若 AC=BD,则有 EH=EF, 又因为四边形 EFGH 是平行四边形, 所以四边形 EFGH 是菱形. (2)当 AC=BD 且 AC⊥BD 时,四边形 EFGH 是正方形. 由(1)知 AC=BD 时四边形 EFGH 是菱形, 当 AC⊥BD 时,因为 EF∥AC,FG∥BD, 所以 EF⊥FG,故四边形 EFGH 是正方形. 板块

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