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2009届湖南师大附中高三月考试卷(一)理科数学


湖南师大附中高三月考试卷(一)理科数学
时量:120 分钟 合题目要求的. 1.若集合 A={ x x A.0 个 2.设数列
2

满分:150 分

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符

? 9x <0},B= y C5y ? 5

则 A∩B 中元素个数为
C.2 个 D. 3 个

?

?

B.1 个

?an ?和 ?bn ?的通项公式分别为 a n
An ? n?? B n
3 2
C.

1 1 ? ( ) n , bn ? ( ) n (n ? N ? ) ,它们的前 n 项和依次为 3 2

An 和 Bn,则 lim

A.

1 2

B.

2 3
2

D.

1 3

3.如果直线 ax ? by ? 4 ? 0 与圆 C: x C 的位置关系是 A.在圆内 4.已知函数 B.在圆上

? y 2 ? 4 有 2 个不同的交点,那么点 P(a,b)与圆
D.不确定

C.在圆外

f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d 的图象如图所示,那么
B.a<0,b>o,c<0 C.a<0,b>o,c>0 D.a>0,b<0,c>0 -

A.a>0,b>o,c<0

5.已知 f ( x) ? 3x ? 1, ( x ? R) ,若︱ f ( x) ? 4 ︱<a 的充分条件是 间的关系是 A. a ?

x ? 1 <b,(a,b>0),则 a,b 之

b 3

B. b ?

a 3

C.b>

a 3

D.a>

b 3

6.对于 x ∈R,恒有 f (

1 1 ? x) ? f ( ? x) 成立,则 f (x) 的表达式可能是 2 2 A. f ( x) ? cot?x B. f ( x) ? tan?x C. f ( x) ? sin ?x D. f ( x) ? cos?x

7.平面向量也叫二维向量,二维向量的坐标表示及其运算可以推广到 n(n≥3)维向量,n 维向量可用 ( x , x2, x3 , x4 ,?, xn )表示.设 a 1

b4 ,?, bn ),a 与 b 夹角 ? 的余弦值为
cos? ?

? ( a1 , a2 , a3 , a4 ,?, an ),设 b ? ( b1 , b2 , b3 ,

?a b
i ?1 n i ?1 2 i

n

i i n

.当两个 n 维向量, a
2 i

? (1,1,1,1,1) b ? ( ? 1 , ? 1 ,

(? a )(? b )
i ?1

1,1,?,1)时, cos ? ? A.

n ?1 n

B.

n?3 n

C.

n?2 n

D.

n?4 n

-1-

8.若二面角 M 一 l 一 N 的平面角大小为 所成角的取值范围是 A.A[

2? 3

,直线 m⊥平面 M,则平面 N 内的直线与 m

? ? , ] 6 2

B.[

? ? , ] 4 2

C.[

? ? , ] 3 2

D. [o,

? ] 2

x2 y2 x2 y2 9.设椭圆 2 ? 2 ? 1 ,双曲线 2 ? 2 ? 1 ,抛物线 y ? 2(m ? n) ,(其中 m>n>0)的离心率分别 m n m n
为 e1,e2,e3,则 A.e1 e2> e3 10.设方程 2 A. x1 x2 <0
?x

B.e1 e2< e3

C.e1 e2=e3

D.e1 e2 与 e3 大小不确定 D.0< x1 x2 <1

? lg x 的两个根为 x1 , x 2 ,则 B. x1 x2 =1 C. x1 x2 >1

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分。共 25 分.把答案填在横线上. 11.一次奥运会比赛中,有男运动员 560 人,女运动员 420 人,比赛后,立即用分层抽样的方法,从 全体队员中抽出一个容量为 280 的样本进行尿样兴奋剂检查,其中男运动员应抽 人.

12. 已知函数

f ( x) ?

1 1 3 x ? sin x ? cos x 的图象在点 A( x0 , 2 4 4

f ( x0 ) )处的切线斜率为专,则 tan( x 0 ?
为 .

?
4

) 的值

13.如图,点 A 是椭圆 为 l 的直线

x2 y2 ? ? 1 (a>b>o)的一个顶点.过 A a2 b2

作斜率

交椭圆于另一点 P,点 B 在 y 轴上,且 BP∥ x 轴, AB · AP =9,若 B 点坐标 为(0,1),则椭圆方程是 . 14.在 2008 北京奥运火炬传递活动中,某地的奥运火炬接力传递路线共分 8 段,传递活动 分别由 8 名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生,最后一棒 火炬手只能从甲、乙两 人中产生,则不同的传递方案共有 种.(用数字作答)

15.将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”,三棱锥的侧面和底面分别叫为直角三棱 锥的“直角面和斜面”;过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均称为斜面的“中面”.请 仿照直角三角形以下性质:(1)斜边的中线长等于斜边边长的一半;(2)两条直角边边长 的平方和等于斜边边长的平方;(3)斜边与两条直角边所成角的余弦平方和等于 1. 写出直角三棱锥相应性质(至少一条): 。

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应-'N 出文字说明、证明过程或演算步骤.
-2-

116.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,AB =AC,且 sinB= (I)求 tanA 的值; (Ⅱ)求

10 . 10

sin 2 B 的值. 2 sin B sin C ? cos B cosC

17.(本小题满分 12 分) 政府决定用“对社会贡献率”对企业进行评价,用 an 表示某企业第 n 年投入的治理污染费用,用 bn 表示该企业第 n 年的产值.设 a1

? a (万元),且以后治理污染费用每年都比上一年增加 3a (万元);
a n bn 表示企业第 n 年“对 100ab

又设 b1

? b (万元),且企业的产值每年均比上一年增长 10%,用 Pn ?

社会贡献率”. (I)求该企业第一年和第二年的“对社会贡献率”; (Ⅱ)试问:从第几年起该企业“对社会贡献率”不低于 30%?(参考数据:1.15=1.6105)

18.(本小题满分 12 分) 甲,乙两人进行乒乓球比赛,在每一局比赛中,甲获胜的概率为 P. (I)如果甲,乙两人共比赛 4 局,甲恰好负 2 局的概率不大于其恰好胜 3 局的概率,试求 P 的取值范 围. (Ⅱ)若 p= ,当采用 3 局 2 胜制的比赛规则时,求甲获胜的概率.(Ⅲ)如果甲,乙两人比赛 6 局,那么甲恰好胜 3 局的概率可能是

1 3

1 吗?为什么? 3

-3-

19.(本小题满分 13 分) 如图, 在底面是直角梯形的四棱锥 P—ABCD 中, ∠DAB=90°, PA⊥平面 ABCD,PA=AB=BC=1,AD=2,M 为 PD 中点. (I)求证:MC∥平面 PAB;

(Ⅱ)在棱 PD 上找一点 Q, 使二面角 Q—AC—D 的正切值为

2 . 2

20.(本小题满分 13 分) 已知△OFQ 的面积为 2 (I)设 4

6 ,且 OF ? FQ ? m .

2 <m< 4 6 ,求向量 OF 与 FQ 夹角 ? 的取值范围;

(Ⅱ)若以 O 为中心,F 为焦点的双曲线经过点 Q(如图),设 F(c,0)

Q ? ( x1 , y1 ), m ? (

6 ? 1)c 2 ,当︱ OQ ︱取最小值时,求此双曲线的方程. 4

21.(本小题满分 13 分)

1 3 x ? ax 2 ? bx (a, b ? R) . 3 11 (I)若 y ? f (x) 图象上的点(1, ? )处的切线斜率为一 4,求 y ? f (x) 的极大值; 3
已知函数 f ( x) ? (Ⅱ)若 y ? f (x) 在区间

?? 1,2? 上是单调减函数,求 a+b 的最小值.

-4-

11.160

12. 2 ? 3

x2 y2 ? ?1 13. 12 4

14.2880

15.(1)斜面的中面面积等于斜面面积的四分之一;(2)三个直角面面积的平方和等于斜面面积的平方; (3)斜面与三个直角面所成二面角的余弦平方和等于 1,等等 16.解:(I)由题意知, A ? 2 B ? ? ,则 tan A ? ? tan 2 B .

? sin B ?

1 2 tan B 3 10 ? , 且 B 为等腰 ? ABC 的底角,? tan B ? ,而 tan 2 B ? 2 3 1 ? tan B 4 10

3 ? tan A ? ? ………….(6 分) 4
(II)原式 ?

sin 2 B tan 2 B 1 ? ? ……… …………(12 分) 2 2 2 2sin B ? cos B 2 tan B ? 1 11

17.

-5-

-6-

-7-

-8-


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