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2017高考数学(理)一轮复习练习:第2章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 第6讲


基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2015· 湖南卷)设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则 f(x)是( A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 解析 法一 函数 f(x)的定义域为(-1, 1), 任取 x∈(-1, 1), f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x), 1 1 2 + = >0,∴f(x)在(0,1)上是增函数. 1+x 1-x 1-x2 )

则 f(x)是奇函数.又∵当 x∈(0,1)时,f′(x)= 综上,选 A. 法二 同法一知 f(x)是奇函数.

当 x∈(0,1)时,f(x)=ln ∵y=

1+x 2-(1-x) ? 2 ? =ln =ln?1-x-1?. 1-x 1-x ? ?

2 (x∈(0,1))是增函数,y=ln x 也是增函数, 1-x

∴f(x)在(0,1)上是增函数.综上,选 A. 答案 A )

2.若函数 y=logax( a>0,且 a≠1)的图像如图所示,则下列函数图像正确的是(

解析

?1?x 由题意 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像过(3,1)点,可解得 a=3.选项 A 中,y=3-x=?3? , ? ?
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显然图像错误;选项 B 中,y=x3,由幂函数图像可知正确;选项 C 中,y=(-x)3=-x3,显然与 所画图像不符;选项 D 中,y=log3(-x)的图像与 y=log3x 的图像关于 y 轴对称,显然不符.故选 B. 答案 B )

3.已知 b>0,log5b=a,lg b=c,5d=10,则下列等式一定成立的是( A.d=ac 解析 B.a=cd C.c=ad D.d=a+c

由已知得 b=5a,b=10c,5d=10,

∴5a=10c,5d=10,同时取以 10 为底的对数可得, c 1 alg 5=c,dlg 5=1,∴a=d,即 a=cd. 答案 B )

4.(2015· 四川卷)设 a,b 都是不等于 1 的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的( A.充要条件 C.必要不充分条件 解析 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

“3a>3b>3”等价于“a>b>1”,

“loga3<logb3”等价于“a>b>1 或 0<a<1<b 或 0<b<a<1”,从而“3a>3b>3”是“loga3 <logb3”的充分不必要条件. 答案 B )

? 2 ? 5.(2016· 咸阳模拟)设 f(x)=lg?1-x+a?是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是( ? ? A.(-1,0) C.(-∞,0) 解析 B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

由 f(x)是奇函数可得 a=-1,

1+x ∴f(x)=lg 的定义域为(-1,1). 1-x 由 f(x)<0,可得 0< 答案 A 1+x <1,∴-1<x<0. 1-x

二、填空题 6.(2016· 徐州模拟)若 f(x)=ax-2,且 f(lg a)= 10,则 a=________.
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1

解析

f(lg a)=a

lg a-

alg a = 10, 2= a
1

1 1 ∴alg a=(10a)2,两边取常用对数,得(lg a)2=2(1+lg a), 1 ∴2(lg a)2-lg a-1=0,解得 lg a=1 或 lg a=-2. 10 ∴a=10 或 a= 10 . 答案 10 或 10 10

7.函数 y=log1(x2-2x)的定义域是________;单调递减区间是________.
2

解析 +∞).

由 x2-2x>0,得 x<0 或 x>2,∴函数的定义域为:(-∞,0)∪(2,

∵y=x2-2x=(x-1)2-1, ∴函数 y=log1(x2-2x)的单调递减区间为(2,+∞).
2

答案

(-∞,0)∪(2,+∞) (2,+∞)

?-x+6,x≤2, 8.(2015· 福建卷)若函数 f(x)=? (a>0,且 a≠1)的值域是[4,+∞),则实数 a 的取值 ?3+logax,x>2 范围是______________. 解析 当 x≤2 时,f(x)=-x+6,f(x)在(-∞,2]上为减函数,∴f(x) ∈[4,

+∞), 当 x>2 时, 若 a∈(0, 1), 则 f(x)=3+logax 在(2, +∞)上为减函数, f(x)∈(-∞, 3+loga2), 显然不满足题意,∴a>1,此时 f(x)在(2,+∞)上为增函数,f(x)∈(3+loga2,+∞).由题意可知 (3+loga2,+∞)?[4,+∞),则 3+loga2≥4,即 loga2≥1,∴1<a≤2. 答案 (1,2]

三、解答题 9.已知函数 f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0 且 a≠1. (1)求 f(x)的定义域; (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明; (3)当 a>1 时,求使 f(x)>0 的 x 的解集. 解 ?x+1>0, (1)要使函数 f(x)有意义.则? 解得-1<x<1.故所求函数 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}. ?1-x>0,
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(2)由(1)知 f(x)的定义域为{x|-1<x<1}, 且 f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x) =-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x), 故 f(x)为奇函数. (3)因为当 a>1 时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}内是增函数,所以 f(x)>0? 所以使 f(x)>0 的 x 的解集是{x|0<x<1}. ?1 ? 10.已知 f(x)=logax(a>0,且 a≠1),如果对于任意的 x∈?3,2?都有|f(x)|≤1 成立,求实数 a 的取 ? ? 值范围. 解 ?1 ? 当 a>1 时,f(x)=logax 在?3,2?上单调递增, ? ? x+1 >1,解得 0<x<1. 1-x

?1 ? 要使 x∈?3,2?都有|f(x)|≤1 成立, ? ? 1 ? ?loga ≥-1, ?1 ? ?1 ? 3 则有? 解得 a≥3.当 0<a<1 时,f(x)=logax 在?3,2?上单调递减,要使 x∈?3,2?都 ? ? ? ? ? ?loga2≤1, 1 ? ?loga ≤1, 1? 1 ? 3 有|f(x)|≤1 成立,则有? 解得 0<a≤3.综上可知,实数 a 的取值范围是?0,3?∪[3, ? ? ? ?loga2≥-1, +∞). 能力提升题组 (建议用时:20 分钟) ?1?b ?1?c 11.设 a,b,c 均为正数,且 2a=log1a,?2? =log1b,?2? =log2c,则( ? ? ? ? 2 2 A.a<b<c C.c<a<b 解析 B.c<b<a D.b<a<c )

1 ∵a>0,∴2a>1,∴log1a>1,∴0<a<2.
2

1 ?1?b 又∵b>0,∴0<?2? <1,∴0<log1b<1,∴2<b<1. ? ? 2 ?1?c 又∵?2? >0,∴log2c>0,∴c>1, ? ?
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1 ∴0<a<2<b<1<c,故选 A. 答案 A )

2 2 12.设函数 f(x)=logax(a>0, 且 a≠1), 若 f(x1x2?x2 017)=8, 则 f(x2 1)+f(x2)+?+f(x2 017)的值等于(

A.4 解析

B.8

C.16

D.2loga8

由 f(x1x2?x2 017)=8,得 loga(x1x2?x2 017)=8,

2 2 2 2 2 所以 f(x2 1)+f(x2)+?+f(x2 017)=logax1+logax2+?+logax2 017 2 2 =loga(x1 ·x2 2·?x2 017)=2loga(x1x2?x2 017)=2×8=16.

答案

C

x 13.(2015· 鹰潭模拟)已知函数 f(x)=ln ,若 f(a)+f(b)=0,且 0<a<b<1,则 ab 的取值范围是 1-x ________. 解析 由题意可知 ln a b +ln =0, 1-a 1-b

b ? 1? a b ? a ? 即 ln?1-a×1-b?=0, 从而 × =1, 化简得 a+b=1, 故 ab=a(1-a)=-a2+a=-?a-2? ? ? 1-a 1-b ? ? 2 1 +4,

1?2 1 1 1 ? 又 0<a<b<1,∴0<a<2,故 0<-?a-2? +4<4. ? ? 答案 1? ? ?0,4? ? ?

14.已知函数 f(x)=3-2log2x,g(x)=log2x. (1)当 x∈[1,4]时,求函数 h(x)=[f(x)+1]· g(x)的值域; (2)如果对任意的 x∈[1,4],不等式 f(x2)· f( x)>k·g(x)恒成立,求实数 k 的取值范围. 解 (1)h(x)=(4-2log2x)· log2x=-2(log2x-1)2+2,

因为 x∈[1,4],所以 log2x∈[0,2], 故函数 h(x)的值域为[0,2]. (2)由 f(x2)· f( x)>k· g(x), 得(3-4log2x)(3-log2x)>k· log2x, 令 t=log2x,因为 x∈[1,4],所以 t=log2x∈[0,2], 所以(3-4t)(3-t)>k· t 对一切 t∈[0,2]恒成立,
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①当 t=0 时,k∈R; ②当 t∈(0,2]时,k< (3-4t)(3-t) 9 9 恒成立,即 k <4 t + - 15 ,因为 4 t + t t t ≥12,当且仅当 4t

9 3 9 = t ,即 t=2时取等号,所以 4t+ t -15 的最小值为-3, 综上,k∈(-∞,-3).

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