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江西省高安中学2015届高三命题中心模拟押题(二)数学(理)试题


高安中学 2015 届高考数学模拟试题理科(2)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符 合题目要求的,把答案填在答题卡的相应位置. ) 1.已知全集 U ? R ,集合 M ? {x x ? x ? 0} ,则 C U M ? (
2


y A

A.

{x | 0 ? x ? 1} C. {x | x ? 0或x ? 1}

B. {x | 0 ? x ? 1} D. {x | x ? 0或x ? 1}

??? ? ??? ? 2. 如图, 在复平面内, 若复数 z1 , z2 对应的向量分别是 OA, OB , 则复数 z1 ? z2

所对应的点位于( ) x O A.第一象限 B.第二象限 B C.第三象限 D.第四象限 3.某班 5 名学生负责校内 3 个不同地段的卫生工作,每个地段至少有 1 名学生的分配方案有 ( ) B. 90 种 D. 240 种

A. 60 种 C. 150 种

4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中,面积最大的侧面的面 积为( A. ) B.

2 2 6 2

5 2

C.

D. 3 )

5.如图所示,若输入的 n 为 10 ,那么输出的结果是( A. 45 C. 90 B. 110 D. 55

?3x ? y ? 6 ? 0 ?x ? y ? 2 ? 0 ? 6. 设 x, y 满足约束条件 ? , 若目标函数 z=ax+by (a>0, b>0) ) x ? 0 ? ? ?y ? 0
的最大值为 12,则 A.

25 6

2 3 ? 的最小值为( a b 8 B. 3

) C.

11 3


D.4

7.在锐角三角形 ABC 中,已知 A>B>C,则 cos B 的取值范围为( A. ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ? ?

B. ? ,

?1

?2

2? ? 2 ? ?

C. 0, 1

? ?

? 2 ? , 1? D. ? ? 2 ? ? ?

8.已知 AB ? BC ? 0 , AB ? 1 , BC ? 2 , AD ? DC ? 0 ,则 BD 的最大值为(

??? ? ??? ?

??? ?

??? ?

???? ????

??? ?



2 B.2 C. 5 D. 2 5 5 5 9.若从区间 (0, e) 内随机取两个数,则这两个数之积不小于 ) ...e 的概率为(
A. A. 1 ?
1 e

B. 1 ?

2 e

C.

1 e

D.

2 e
D1 A1 P B1 D A
2

10. 如图, 在正方体 ABCD ? A 若平面 A1BCD1 上一动点 P 到 AB1 1B 1C1 D 1 中, 和 BC 的距离相等,则点 P 的轨迹为( ) A.椭圆的一部分 B.圆的一部分 C.一条线段 D.抛物线的一部分

C1

x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1 和双曲线 2 ? 2 ? 1 有共同的焦点,连接椭圆的焦点 11.设椭圆 4 a a b

C B

和短轴的一个端点所得直线和双曲线的一条渐近线平行, 设双曲线的离心率为 e , 则e 等 于( )

A.

5 ?1 2

B.

3 ?1 2

C. 3

D. 5

12.已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足:⑴ f ( x) ? f (2 ? x) ? 0 ,⑵ f ( x ? 2) ? f (? x) ,

? 1 ? x 2 ?????? x ? [ ? 1, 0 ] ? f ( x ) ? [ ? 1,1] (3) 在 上表达式为 , 则 函 数 f ( x) 与 函 数 ? ? cos( x ) ?????? x ? (0,1] ? ? 2

?2 x ???????x ? 0 的图像区间 [ ?3,3] 上的交点个数为( g ( x) ? ? ?1 ? x???x ? 0
A.5 B.6 C.7 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.已知多项式 x 2 ? 则 a9 ?

) D.8

x 10 ? a0 ? a1(x ? 1) ? a2(x ? 1)2 ? ? ? ? ? a10(x ? 1)10


14.已知三次函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ? cx ? d 的图象如图所示, 则

f ?(?3) ? f ?(1)
2


2

15.已知函数 f ( x) ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x , ( x?R) ,则函数 f ( x) 的单调增区间 为 . 16.定义函数 y ? f ( x), x ? I ,若存在常数 M ,对于任意 x1 ? I ,存在唯一的 x2 ? I ,使得

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? M , 则 称 函 数 f ( x) 在 I 上 的 “ 均 值 ” 为 M , 已 知 2
, 则 函 数 f ( x) ? l o g ,2 2014 ] 上 的 “ 均 值 ” 为 f ( x) ? l o 2gx, x ? [1,2 2 0 1 ]4 2 x 在 [1

. 三.解答题: (共 70 分) 17. (12 分)在? ABC 中,角 A、B、C 依次成等差数列,其对边依次分别为 a, b, c . 6 ,求 cosC 的值; 3 → → (II)若 a=3,AC·CB=3,求 b. (I)若 cos(B+C)=-

18. (12 分)“ALS 冰桶挑战赛”是一项社交网络上发起的筹款活动,活动规定:被邀请者要么 在 24 小时内接受挑战,要么选择为慈善机构捐款(不接受挑战) ,并且不能重复参加该 活动.若被邀请者接受挑战,则他需在网络上发布自己被冰水浇遍全身的视频内容,然后 便可以邀请另外 3 个人参与这项活动.假设每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的,且 互不影响. (Ⅰ)若某被邀请者接受挑战后,对其他 3 个人发出邀请,则这 3 个人中至少有 2 个人接受 挑战的概率是多少? (Ⅱ)假定(Ⅰ)中被邀请到的 3 个人中恰有两人接受挑战.根据活动规定,现记 X 为接下来 被邀请到的 6 个人中接受挑战的人数,求 X 的分布列和数学期望.

19. (12 分)已知四棱柱 ??CD ? ?1?1C1D1 ,侧棱 ??1 ? 底面 ?? CD ,底面 ?? CD 中,

?? ? ?D , ?C//?D , ?? ? 2 , ?D ? 4 , ? C ? 1 ,侧棱 ??1 ? 4 .
(1)若 ? 是 ??1 上一点,试确定 ? 点位置使 ?? // 平面 ?1CD ; (2)在(1)的条件下,求平面 ?? D 与平面 ?? D 所成角的余弦值.

20. (12 分)如图,分别过椭圆 ? :

l2

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )左、右焦点 F1 、 F2 的动直线 l1 , a 2 b2 相交于 ? 点,与椭圆 ? 分别交于 ? 、 ? 与 C 、 D 不同四点,直线 ?? 、 ?? 、 ? C 、

?D 的斜率 k1 、 k2 、 k3 、 k4 满足 k1 ? k2 ? k3 ? k4 .已
知当 l1 与 x 轴重合时, ?? ? 2 3 , CD ? (1)求椭圆 ? 的方程; (2)是否存在定点 ? 、 ? ,使得 ?? ? ?? 为定值?若 存在,求出 ? 、 ? 点坐标并求出此定值;若不存在, 请说明理由.

4 3 . 3

21. (12 分)已知 f (x ) ? ln x ? ax ? bx .
2

(1)若 a ? ?1 ,函数 f ( x) 在其定义域内是增函数,求 b 的取值范围; (2) f ( x ) 的图象与 x 轴交于 A (x 1 ,0), B (x 2 ,0)(x 1 ? x 2 ) )两点, AB 中点为 C ( x0 , 0) , 求证: f ?(x 0 ) ? 0 .

请从第 22、23、二题中任选一題作答 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知极坐标系与直角坐标系长度单位相同,且以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴. 设直线 C1: ? (I) 当 ? ?

? x ? 1 ? t cos ? , (t 为参数),曲线 C2:?=1. ? y ? t sin ? ,

?
3

时,求曲线 C1 的极坐标方程及极径 ? ( ? ? 0) 的最小值;

(II)求曲线 C1 与 C2 两交点的中点的直角坐标(用?表示) .

23. (本题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 已知关于 x 的不等式 2 ? x ? x ? 1 ? m 对于任意的 x ? [?1, 2] 恒成立. (Ⅰ)求 m 的取值范围; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下求函数 f (m) ? m ?

1 的最小值. (m ? 2)2

高安中学 2015 届高考数学模拟试题理科(2)参考答案
一、选择题: (每小题 5 分,共计 60 分) 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 B 5 D 6 A 7 A 8 C 9 B 10 D 11 A 12 B

二、填空题: (每小题 5 分,共计 20 分) 13. -10 14.-5 15.

[ k? ?

3? ? , k? ? ](k ? Z ) 8 8

16.1007

三.解答题(共 70 分) 17. (本小题满分 12 分) 解: (1)在△ ABC 中,因为角 A、B、C 依次成等差数列,所以 2B=A+C 又 A+B+C=180°,所以 B =60°

由 cos(B+C)=-

6 3 ,得 sin(B+C)= 1-cos2(B+C)= 3 3

∴cosC=cos=cos(B+C) cosB+sin(B+C) sinB

=-

6 1 3 3 3? 6 × + × = . 2 2 6 3 3

→ → → → (2)由AC·CB=3,得|AC|·|CB|cos(180° -C)=3,即 abcosC=-3, 又 a=3,∴bcosC=-1, ①

a b a b 由正弦定理 = ,得 = , sinA sinB sin(120° -C) sin60° ∴ 3bcosC+bsinC=3 3, 将①代入②,得 bsinC=4 3, 将①③结合可得 b=7. 18. 解:因为每个人接受挑战与不接受挑战是等可能的, 1 1 所以每个人接受挑战的概率为 ,不接受挑战的概率也为 . 2 2 (Ⅰ)设事件 M 为“这 3 个人中至少有 2 个人接受挑战” ,
1 ?1? ?1? 3?1? ? . 则 P( M ) ? C ? ? ? ? ? ? C3 ? ? ?2? ?2? ?2? 2
2 3 2 3

② ③

? 1? (Ⅱ)因为 X 为接下来被邀请的 6 个人中接受挑战的人数,所以 X ~ B ? 6, ? . ? 2?

1 6 3 1?1? ?1? 0?1? ?1? 所以 P ? X ? 0 ? ? C6 ? 2 ? ? 2 ? ? 64 , P ? X ? 1? ? C6 ? 2 ? ? ? 2 ? ? 64 ? 32 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? 1 ? 15 ? 1 ? 20 5 3?1? P ? X ? 2 ? ? C ? ? ? ? ? ? , P ? X ? 3? ? C6 ?? ? ? ? , ? ? 64 ?2? ?2? ? 2 ? ? 2 ? 64 16
2 6 2 4 3 3

0

6

5

?1? P ? X ? 4 ? ? C64 ? ? ?2?

4

? 1 ? 15 5?1? ? ? ? ? , P ? X ? 5? ? C6 ?2? 64 ? ? ?2?
0

2

5

6 3 ?1? ?? ? ? ? , ? 2 ? 64 32

1

1 6?1? ?1? P ? X ? 6 ? ? C6 ? 2 ? ? 2 ? ? 64 . ? ? ? ? X 故 的分布列为: 0 X

6

1

2

3

4

5

6

P
所以 E ? X ? ? 6 ?

1 64

3 32

15 64

5 16

15 64

3 32

1 64

1 ? 3 .故所求的期望为 3 . 2

21、 (13 分)(1)依题意: f ( x) ? ln x ? ax 2 ? bx .∴ f ?( x ) ? ∵ f ( x) 在 (0, ??) 上递增,∴ f ?( x ) ?

1 ? 2x ? b x

1 ? 2 x ? b ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立, x 1 1 即 b ? ? 2 x 对 x ? (0, ??) 恒成立,只需 b ? ( ? 2 x ) min . x x 1 2 ∵ x ? 0 ,∴ ? 2 x ? 2 2 ,当且仅当 x ? 时取“=” , x 2 ∴ b ? 2 2 ,∴b 的取值范围为 (??, 2 2] .

? f ( x1 ) ? ln x1 ? ax12 ? bx1 ? ln x1 ? ax12 ? bx1 ? ? ?? (2)由已知得 ? 两式相减,得 2 2 ? f ( x2 ) ? ln x2 ? ax2 ? bx2 ? ? ? ln x2 ? ax2 ? bx2 x x ln 1 ? a( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ) ? b( x1 ? x2 ) ? ln 1 ? ( x1 ? x2 )[a( x1 ? x2 ) ? b] . x2 x2 1 由 f ?( x ) ? ? 2ax ? b 及 2 x0 ? x1 ? x2 ,得 x x 1 2 2 1 f ?( x0 ) ? ? 2ax0 ? b ? ? [a( x1 ? x2 ) ? b] ? ? ln 1 x0 x1 ? x2 x1 ? x2 x1 ? x2 x2 x 2( 1 ? 1) 2( x ? x2 ) x x2 x 1 1 ? [ 1 ? ln 1 ] ? [ ? ln 1 ] x1 ? x2 x1 ? x2 x2 x1 ? x2 x1 x2 ( ? 1) x2 x 2t ? 2 t ? 1 , ? (t ) ? ? ln t (0 ? t ? 1) x2 t ?1 令 .

? ?(t ) ? ?


(t ? 1)2 ?0 t (t ? 1)2 ,∴ ? (t ) 在 (0,1) 上递减,∴ ? (t ) ? ? (1) ? 0 .

x1 ? 1) 2( x ? x ) x x2 x ? ? ln 1 ? 0 ,即 1 2 ? ln 1 ? 0 , x1 x1 ? x2 x2 x2 ?1 x2 2(
22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (1)当 a ?

又 x1 ? x2 ,? f ?( x0 ) ? 0 .

时,C1 的普通方程为 y ? 3( x ?1) , 3 又因为 y ? ? sin ? , x ? ? cos ? ,代入上式得 ? sin ? ? 3? cos? ? ? 3, 故曲线 C1 的极坐标方程为 当 cos(? ?

?

? 3 ? cos(? ? ) ?
6 2

3 ) ? 1 时可得,极径 ? ( ? ? 0) 的最小值 6 2 (2)消去参数得 C1 的普通方程为 y ? tan ? ( x ? 1) ,C 2 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 1,
二者联立, 将 y ? tan ? ( x ? 1) 代入 x 2 ? y 2 ? 1 得 (1 ? tan 2 ? ) x2 ? 2 x tan 2 ? ? tan 2 ? ?1 ? 0 因为判别式△=4,所以设其二根分别为 x1 , x2 ,曲线C1与C2交点的中点坐标为( x, y),

?

x1 +x2 tan 2 ? = 2 1 ? tan 2 ? x +x tan ? y ? tan ? ( 1 2 ? 1)= ? 2 1 ? tan 2 ? tan ? tan 2 ? 即所求的中点的直角坐标为( ,? ) 2 1 ? tan 2 ? 1 ? tan ? 则x ?
23.(本小题满分 10 分) 选修 4—5:不等式选讲 解(Ⅰ)∵关于 x 的不等式 2 ? x ? x ? 1 ? m 对于任意的 x ? [?1, 2] 恒成立

? m ? ( 2 ? x ? x ? 1)max 根据柯西不等式,有 ( 2 ? x ? x ? 1)2 ? (1? 2 ? x ? 1? x ? 1)2 ? [12 ? 12 ] ? [( 2 ? x )2 ? ( x ? 1)2 ] ? 6 1 所以 2 ? x ? x ? 1 ? 6 ,当且仅当 x ? 时等号成立,故 m ? 6 . 2 1 1 1 1 ? (m ? 2) ? (m ? 2) ? ?2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 m ? 2 ? 0 ,则 f ? m ? ? m ? 2 (m ? 2) 2 2 (m ? 2) 2
∴ f ? m? ? 3
3

1 1 1 3 (m ? 2) ? (m ? 2) ? ?2? 3 2?2 2 2 2 (m ? 2) 2

1 1 当且仅当 (m ? 2) ? ,即 m ? 3 2 ? 2 ? 6 时取等号, 2 (m ? 2)2 1 3 所以函数 f ? m? ? m ? 的最小值为 3 2 ? 2 . 2 (m ? 2)2


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