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北京市2016届高三数学一轮复习 专题突破训练 圆锥曲线 理


北京市 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练 圆锥曲线
一、选择、填空题 1、(2015 年北京高考)已知双曲线 . 2、(2014 年北京高考)设双曲线 C 经过点 ? 2, 2 ? ,且与 为________; 渐近线方程为________.

x2 ? y 2 ? 1?a ? 0? 的一条渐近线为 3x ? y ? 0 ,则 a ? a2
y2 ? x 2 ? 1 具有相同渐近线,则 C 的方程 4

3、(2013 年北京高考)若双曲线 A.y=±2x C. y ? ?

x2 y 2 ? ? 1 的离心率为 3 ,则其渐近线方程为( a 2 b2 B. y ? ? 2x

).

1 x 2

D. y ? ?

2 x 2
2

4、(朝阳区2015届高三一模)已知点A(1,y0 )( y 0> 0) 为抛物线 y = 2px( p > 0)上一点.若点 A到该抛物线焦点的距离为 3,则y 0 = A. 2 B. 2 C.2 2 D. 4

x2 y 2 2 5、(东城区 2015 届高三二模)若双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 截抛物线 y ? 4 x 的准线所得线 a b
段长为 b ,则 a ? 6、(房山区 2015 届高三一模)双曲线 x ? my ? 1 的实轴长是虚轴长的 2 倍,则 m =(
2 2



A.4

B.2

C.

1 2

D.

1 4

7、 (丰台区 2015 届高三一模)已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? 3 x , a 2 b2

它的一个焦点坐标为(2,0),则双曲线的方程为 (A)

x2 y 2 ? ?1 2 6

(B)

x2 y 2 ? ?1 6 2

(C) x ?
2

y2 ?1 3

(D)

x2 ? y2 ? 1 3

8、(海淀区 2015 届高三二模)若双曲线 M 上存在四个点 A, B, C , D ,使得四边形 ABCD 是正方 形,则双曲线 M 的离心率的取值范围是 9、 (石景山区 2015 届高三一模)如果双曲线的离心率 e ?

5 ?1 ,则称此双曲线为黄金双曲线.有 2

1

以下几个命题: ①双曲线

x2 y2 2 x2 ? ? 1 是黄金双曲线; ②双曲线 y 2 ? ? 1 是黄金双曲线; 2 5 ?1 5 ?1

③在双曲线

x2 y2 ? ? 1 中, F1 为左焦点, A2 为右顶点, B1(0,b),若∠F1 B1 A2 ? 90? ,则该双 a 2 b2

曲线是黄金双曲线;

x2 y2 ④在双曲线 2 ? 2 ? 1 中,过焦点 F2 作实轴的垂线交双曲线于 M 、 N 两点, O 为坐标原点,若 a b
∠MON ? 120? ,则该双曲线是黄金双曲线. 其中正确命题的序号为( A.①和② ) C.③和④ D.①和④

B.②和③

10、 (西城区2015届高三一模)已知双曲线

x2 y 2 - ? 1? a ? 0,b ? ? ? 的一个焦点是抛物线 y2 = 8x a 2 b2
.

的焦点,且双曲线C 的离心率为2,那么双曲线C 的方程为

x2 y2 ? ? 1?0 ? m ? 3? 的焦 11、(东城区示范校 2015 届高三上学期综合能力测试)双曲线 36 ? m 2 m 2
距为 A. 6 B. 12 C. 36
2

D. 2 36 ? 2m 2

12 、 ( 昌 平 区 2015 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 已 知 双 曲 线 x ?

y2 ? 1 (m ? 0)的 离 心 率 是 2 , 则 m

m ? ________ , 以该双曲线的右焦点为圆心且与其渐近线相切的圆的方程是
2 2 13、(朝阳区 2015 届高三上学期期末)双曲线 C : x ? y ? ? ( ? ? 0 )的离心率是



渐近线方程是 14、(东城区 2015 届高三上学期期末)若抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点到其准线的距离为 1 ,则 该抛物线的方程为 15、(海淀区 2015 届高三上学期期末)若双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的一条渐近线的倾斜角为 60 ? , m

则 m?

2

二、解答题 1 、( 2015 年北京高考)已知椭圆 C :

A?m, n??m ? 0? 都在椭圆 C 上,直线 PA 交 x 轴于点 M .

x2 y2 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 的离心率为 ,点 P?0,1? 和点 2 a b 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程,并求点 M 的坐标(用 m n 表示); (Ⅱ)设 O 为原点,点 B 与点 A 关于 x 轴对称,直线 PB 交 x 轴于点 N .问: y 轴上是否存在点 Q , 使得 ?OQM ? ?ONQ ?若存在,求点 Q 的坐标;若不存在,说明理由.

2、(2014 年北京高考)已知椭圆 C : x (1)求椭圆 C 的离心率. (2)设 O 为原点,若点

2

? 2 y2 ? 4 ,
y ? 2 上,且 OA ? OB ,求直线 AB 与圆

A 在椭圆 C

上,点 B 在直线

x2 ? y 2 ? 2 的位置关系,并证明你的结论.
x2 2 +y =1 上的三个点,O 是坐标原点. 4

3、(2013 年北京高考)已知 A,B,C 是椭圆 W:

(1)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点 B 不是 W 的顶点时,判断四边形 OABC 是否可能为菱形,并说明理由.

x2 y 2 4、(朝阳区2015届高三一模)已知椭圆C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? ? ? 的一个焦点为F(2,0),离心率 a b


6 。过焦点F 的直线l 与椭圆C交于 A,B两点,线段 AB中点为D,O为坐标原点,过O,D的直 3

线交椭圆于M,N 两点。 (1)求椭圆C 的方程; (2)求四边形AMBN 面积的最大值。

5、(东城区 2015 届高三二模)已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 圆 C 上的点到两个焦点的距离之和为 4 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

3 ,且椭 2

(Ⅱ)设 A 为椭圆 C 的左顶点,过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 M ,与 y 轴交于点 N ,过原点与 l 平 行的直线与椭圆交于点 P .证明: | AM | ? | AN |? 2 | OP | .
2

3

6、(房山区 2015 届高三一模)动点 P( x, y) 到定点 F (1,0) 的距离与它到定直线 l : x ? 4 的距离之比 为

1 . 2
(Ⅰ) 求动点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知定点 A(?2, 0) , B(2, 0) ,动点 Q(4, t ) 在直线 l 上,作直线 AQ 与轨迹 C 的另一个交

点为 M ,作直线 BQ 与轨迹 C 的另一个交点为 N ,证明: M , N , F 三点共线.

3 x2 y 2 7、(丰台区 2015 届高三一模)已知椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,右顶点 A 是 2 a b
抛物线 y ? 8 x 的焦点.直线 l : y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 P , Q 两点.
2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)如果 AM ? AP ? AQ ,点 M 关于直线 l 的对称点 N 在 y 轴上,求 k 的值.

???? ?

??? ? ????

8、(海淀区 2015 届高三二模)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上的点到它的两个焦点的距离 a 2 b2

之和为 4 ,以椭圆 C 的短轴为直径的圆 O 经过这两个焦点,点 A , B 分别是椭圆 C 的左、右顶点. (Ⅰ)求圆 O 和椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 P ,Q 分别是椭圆 C 和圆 O 上的动点( P ,Q 位于 y 轴两侧),且直线 PQ 与 x 轴平行, 直线 AP , BP 分别与 y 轴交于点 M , N .求证:∠ MQN 为定值.

2 x2 y 2 9、 (石景山区 2015 届高三一模) 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 离心率 e ? , 短轴长为 2 2 . 2 a b
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 如图,椭圆左顶点为 A,过原点 O 的直线(与坐标 轴不重合)与椭圆 C 交于 P,Q 两点,直线 PA,QA 分别
A M y P

与 y 轴交于 M,N 两点.试问以 MN 为直径的圆是否经过 定点(与直线 PQ 的斜率无关)?请证明你的结论.
Q N

O

x

4

10、(西城区2015届高三一模)设F

1

,F 2分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? ? ? 的左、右焦点,点P a 2 b2

3 ) 在椭圆E 上,且点 2 3 P 和F1 关于点C(0, ) 对称。 4
(1, (1)求椭圆E 的方程; (2)过右焦点F2 的直线l与椭圆相交于 A,B两点,过点P且平行于 AB 的直线与椭圆交于 另一点Q ,问是否存在直线l ,使得四边形PABQ的对角线互相平分?若存在,求出l 的方 程;若不存在,说明理由。

11、(大兴区 2015 届高三上学期期末)已知椭圆 G :

x2 y 2 6 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0) 的离心率为 ,右焦点 2 a b 3

为 (2 2, 0) , 过原点 O 的直线 l 交椭圆于 A, B 两点, 线段 AB 的垂直平分线交椭圆 G 于点 M . (Ⅰ)求椭圆 G 的方程; (Ⅱ)求证:

1 OA
2

?

1 OM
2

为定值,并求 ?AOM 面积的最小值.

12、(丰台区2015届高三上学期期末)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F ( 3,0) ,点 a 2 b2

1 M (? 3, ) 在椭圆C上. 2
(I)求椭圆C的标准方程; (II)直线l过点F,且与椭圆C交于A,B两点,过原点O作直线l的垂线,垂足为P,如果△OAB的面 积为

? | AB | ?4
2 | OP |

( ? 为实数),求 ? 的值.

5

3 x2 y2 13、(石景山区 2015 届高三上学期期末)已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ,且过 a b 2
1) . 点 B (0 ,
(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)直线 l : y ? k ( x ? 2) 交椭圆于 P、Q 两点,若点 B 始终在以 PQ 为直径的圆内,求实数 k 的取 值范围.

14、(西城区 2015 届高三上学期期末)已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 F,右顶点为 A,离心 16 12

率为 e,点 P(m,0)(m ? 4) 满足条件 (Ⅰ)求 m 的值;

| FA | ?e. | AP |

(Ⅱ) 设过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M, N 两点, 记 ?PMF 和 ?PNF 的面积分别为 S1 ,S2 , 求证:

S1 | PM | . ? S2 | PN |

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点是 F ? ?1,0? , a 2 b2 上顶点是 B ,且 BF ? 2 ,直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 M , N 两点.
15、 (通州区 2015 高三 4 月模拟考试 (一) ) 已知椭圆 C : (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若在 x 轴上存在点 P ,使得 PM ? PN 与 k 的取值无关,求点 P 的坐标.

uuur uuu r

参考答案 一、选择、填空题 1、

3 3

解析:渐近线为

3x ? y ? 0 所 以 有 ?

b x2 ? ? 3 双 曲 线 2 ? y2 ? 1 的 方 程 得 b ? 1 且 a a

a ? 0 ?a ?
2、

3 3

x2 y 2 ? ? 1 ; y ? ?2 x 3 12
6

双曲线 设C :

y2 ? x2 ? 1 的渐近线为 y ? ?2 x ,故 C 的渐近线为 y ? ?2 x 4 y2 ? x2 ? m 并将点 (2 ,2) 代入 C 的方程,解得 m ? ?3 4 y2 x2 y 2 ? x2 ? ?3 ,即 ? ?1 4 3 12

故 C 的方程为 3、答案:B

解析:由离心率为 3 ,可知 c= 3 a,∴b= 2 a. ∴渐近线方程为 y ? ? 4、答案:C 【解析】:抛物线焦点为: 它们的距离为

b x ? ? 2 x ,故选 B. a

5、

2 5 5

6、A

7、C

8、 ( 2, ??)

9、B

10、答案:

11、B
2

12、 3 ; ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 15、3

13、 2 ; y ? ? x

14、 y ? 2 x

二、解答题 1、解析:

7

?b ? 1, ? 2 ?c , ? ? 2 ?a ?a 2 ? b 2 ? c 2 , 2 (I)由题意得 ? 解得 a ? 2 ,
故椭圆 C 的方程为 设 M ( xM ,0). 因为 m ? 0 ,所以 ? 1 ? n ? 1. 直线 PA 的方程为 y ? 1 ?

x2 ? y 2 ? 1. 2

n ?1 x, m m m ,0). 所以 xM ? ,即 M ( 1? n 1? n

??? 因为点 B 与点 A 关于 x 轴对称,所以 B?m,?n? .
设 N ( xN ,0) ,则 x N ?

m . 1? n

“存在点 Q(0, yQ ) 使得 ?OQM ? ?ONQ ” 等价于 “存在点 Q(0, yQ ) 使得 满足 yQ ? xM xN . 因为 xM ? 所以 yQ ?
2

OM OQ ” , 即 yQ ? OQ ON

m2 m m ? n 2 ? 1. , xN ? , 1? n 1? n 2

2 或 yQ ? ? 2 ,

故在 y 轴上存在点 Q ,使得 ?OQM ? ?ONQ , 点 Q 的坐标为 (0, 2 ) 或 (0,? 2 ) . 2、⑴椭圆的标准方程为:

x2 y 2 ? ?1, 4 2
c 2 ? ; a 2

a ? 2 , b ? 2 ? 则 c ? 2 ,离心率 e ?

⑵直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切.证明如下: 法一: 设点 A ? B 的坐标分别为 ? x0 ? y0 ? ? ? t ? 2 ? ,其中 x0 ? 0 .

8

??? ? ??? ? 2y 因为 OA ⊥ OB ,所以 OA ? OB ? 0 ,即 tx0 ? 2 y0 ? 0 ,解得 t ? ? 0 . x0

当 x0 ? t 时, y0 ? ?

t2 ,代入椭圆 C 的方程,得 t ? ? 2 , 2

故直线 AB 的方程为 x ? ? 2 .圆心 O 到直线 AB 的距离 d ? 2 . 此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切. 当 x0 ? t 时,直线 AB 的方程为 y ? 2 ? 即 ? y0 ? 2? x ? ? x0 ? t ? y ? 2x0 ? ty0 ? 0 . 圆心 O 到直线 AB 的距离 d ?
y0 ? 2 ?x ? t? , x0 ? t

2 x0 ? ty0

? y0 ? 2?

2

? ? x0 ? t ?

2

.

2 2 又 x0 ? 2 y0 ? 4 ,t ? ?

2 y0 ,故 x0
2 4 ? x0 x0 4 2 x0 ? 8 x0 ? 16 2 2 x0

2 x0 ? d?
2 0 2 0

2 2 y0 x0

4 y2 x ? y ? 20 ? 4 x0

?

? 2.

此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切. 法二: 由题意知,直线 OA 的斜率存在,设为 k ,则直线 OA 的方程为 y ? kx , OA ⊥ OB , ①当 k ? 0 时, A ? ?2 ? 0 ? ,易知 B ? 0 ? 2 ? ,此时直线 AB 的方程为 x ? y ? 2 或 ? x ? y ? 2 , 原点到直线 AB 的距离为 2 ,此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切;
1 ②当 k ? 0 时,直线 OB 的方程为 y ? ? x , k

? ? y ? kx 2 2k ? ? 2 2k ? 联立 ? 2 得点 A 的坐标 ? ? ?? ? 或?? ?; 2 2 2 2 1 ? 2k ? ? 1 ? 2 k 1 ? 2k 2 ? ?x ? 2 y ? 4 ? 1 ? 2k

1 ? ?y ? ? x 联立 ? k 得点 B 的坐标 ? ?2k ? 2? , ? ?y ? 2
? 2 2k ? 由点 A 的坐标的对称性知,无妨取点 A ? ? ? 进行计算, 2 1 ? 2k 2 ? ? 1 ? 2k

9

2k

于是直线 AB 的方程为: y ? 2 ?

1 ? 2k 2 2 1 ? 2k 2

?2 ? 2k

? x ? 2k ? ?

k ? 1 ? 2k 2 1 ? k 1 ? 2k 2

? x ? 2k ? ,

即 k ? 1 ? 2k 2 x ? 1 ? k 1 ? 2k 2 y ? 2k 2 ? 2 ? 0 ,
2k 2 ? 2

?

? ?

?

原点到直线 AB 的距离 d ?

?k ?

1 ? 2k

2

? ? ?1 ? k
2

1 ? 2k

2

?

2

? 2,

此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切。 综上知,直线 AB 一定与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切. 法三: ①当 k ? 0 时, A ? ?2 ? 0 ? ,易知 B ? 0 ? 2 ? ,此时 OA ? 2 ? OB ? 2 ,

AB ? 22 ? 22 ? 2 2 ,原点到直线 AB 的距离 d ?
此时直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切;
1 ②当 k ? 0 时,直线 OB 的方程为 y ? ? x , k

OA ? OB AB

?

2? 2 2 2

? 2 ,、

设 A ? x1 ? y1 ? ? B ? x2 ? y2 ? ,则 OA ? 1 ? k 2 x1 , OB ? 1 ? ? ?k ? y2 ? 2 1 ? k 2 ,
2

? ? y ? kx 2 2k ? ? 2 2k 联立 ? 2 得点 A 的坐标 ? ? ?? ? 或?? 2 2 2 2 1 ? 2k ? ? 1 ? 2 k 1 ? 2k 2 ?x ? 2 y ? 4 ? 1 ? 2k

? ?; ?

于是 OA ? 1 ? k 2 xA ?

2 1? k2 1 ? 2k
2

, OB ? 2 1 ? k 2 ,

AB ?

4 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2

? 4 ?1 ? k 2 ? ?
2 1? k2

2 2 ?1 ? k 2 ? 1 ? 2k 2
? 2 1? k2



所以 d ?

OA ? OB AB

? 1 ? 2k 2 2 ?1 ? k 2 ?
2

? 2 ,直线 AB 与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切;

1 ? 2k 2

综上知,直线 AB 一定与圆 x2 ? y 2 ? 2 相切

x2 2 3、解:(1)椭圆 W: +y =1 的右顶点 B 的坐标为(2,0). 4
10

因为四边形 OABC 为菱形,所以 AC 与 OB 相互垂直平分.

1 3 2 +m =1,即 m= ? . 4 2 1 1 所以菱形 OABC 的面积是 |OB|·|AC|= ×2×2|m|= 3 . 2 2
所以可设 A(1,m),代入椭圆方程得 (2)假设四边形 OABC 为菱形. 因为点 B 不是 W 的顶点,且直线 AC 不过原点,所以可设 AC 的方程为 y=kx+m(k≠0,m≠0). 由?

? x 2 ? 4 y 2 ? 4, ? y ? kx ? m

消 y 并整理得(1+4k )x +8kmx+4m -4=0.

2

2

2

设 A(x1,y1),C(x2,y2),

x1 ? x2 y ? y2 x ?x 4km m ?? ?k? 1 2 ?m? , 1 . 2 2 1 ? 4k 2 2 1 ? 4k 2 m ? ? 4km 所以 AC 的中点为 M ? ? . , 2 2 ? ? 1 ? 4k 1 ? 4 k ? 1 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,所以直线 OB 的斜率为 ? . 4k ? 1 ? 因为 k· ? ? ? ≠-1,所以 AC 与 OB 不垂直. ? 4k ?
则 所以 OABC 不是菱形,与假设矛盾. 所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是菱形. 4、

11

12

5、解:(Ⅰ)设椭圆 C 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? 3 ?c 由题意知 ? ? 解得 a ? 2 , b ? 1 . , 2 ?a ?2a ? 4, ?
所以椭圆 C 的标准方程为

x2 ? y 2 ? 1.???????????5 分 4

(Ⅱ)设直线 AM 的方程为: y ? k ( x ? 2) ,则 N (0, 2k ) . 由 ?

? y ? k ( x ? 2),
2 2 ? x ? 4 y ? 4,

得 (1+4k 2 ) x2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 (*).

设 A(?2, 0) , M ( x1 , y1 ) ,则 ?2 , x1 是方程(*)的两个根, 所以 x1 ? 所以 M (

2 ? 8k 2 . 1 ? 4k 2

2 ? 8k 2 4k , ). 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2
16 ? 16k 2 4 1 ? k 2 2 ? 8k 2 ? 2 ? 8k 2 2 4k 2 ? ? . ) ? ( ) (1 ? 4k 2 ) 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

| AM |? (

13

| AN |? 4 ? 4k 2 ? 2 1 ? k 2 .
| AM || AN |? 4 1 ? k 2 ? 2 1 ? k 2 8(1 ? k 2 ) . ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

设直线 OP 的方程为: y ? kx . 由 ?

? y ? kx,
2 2 ? x ? 4 y ? 4,

得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 4 ? 0 .

设 P( x0 , y0 ) ,则 x0 ?
2

4 4k 2 2 y ? , . 0 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以 | OP | ?
2

4 ? 4k 2 8 ? 8k 2 2 2 | OP | ? , . 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2

所以 | AM | ? | AN |? 2 | OP | .

?????13 分

6、解: (Ⅰ)由题意得 分 化简并整理,得

( x ? 1) 2 ? y 2 1 ? , | x?4| 2

??????2

x2 y2 ? ? 1. 4 3 x2 y2 ? ? 1. 4 3
??????5 分

所以动点 P( x, y) 的轨迹 C 的方程为椭圆

(Ⅱ)当 t ? 0 时,点 M与B 重合,点 N与A 重合,

M , N , F 三点共线.
当t ? 0时

???7 分

根据题意: QA : y = ( x+2), QB : y = ( x - 2)

t 6

t 2

? x2 y 2 ? ?1 ? ?4 3 由? ? y ? t ? x ? 2? ? 6 ?
t2 2 消元得: 3x + ( x + 2) - 12 = 0 9
2

整理得: (t + 27) x + 4t x + 4t - 108 = 0 该方程有一根为 x = - 2, 另一根为 xM ,根据韦达定理,
14

2

2

2

2

- 2 xM =

4t 2 - 108 54 - 2t 2 , x = M t 2 + 27 t 2 + 27

? x2 y 2 ? ?1 ? ?4 3 由? ? y ? t ? x ? 2? ? ? 2
消元得: 3x2 + t 2 ( x - 2)2 - 12 = 0 整理得: (t 2 + 3) x2 - 4t 2 x + 4t 2 - 12 = 0 该方程有一根为 x = 2, 另一根为 xN ,根据韦达定理,

2 xN =

4t 2 - 12 2t 2 - 6 , x = N t2 +3 t2 +3 54 - 2t 2 2t 2 - 6 = 2 t 2 + 27 t +3

当 xM = xN 时,由
2

得: t = 9, xM = xN = 1 , M , N , F 三点共线; 当 xM ?

kMF

t 18t t - 6t , y N = ( xN - 2) = 2 xN 时, yM = ( xM + 2) = 2 6 t + 27 2 t +3 18t - 6t 2 yN y 6t t 2 + 3 = 6t ; = M = t + 27 = k = = NF xM - 1 54 - 2t 2 9 - t2 xN - 1 2t 2 - 6 9 - t2 1 1 t 2 + 27 t2 +3

k MF ? K NF , M , N , F 三点共线.
综上,命题恒成立. 7、解:(Ⅰ)抛物线 y ? 8 x ,
2

??????14 分

所以焦点坐标为 (2, 0) ,即 A(2, 0) , 所以 a ? 2 . 又因为 e ?
2

c 3 ? ,所以 c ? 3 . a 2
2 2

所以 b ? a ? c ? 1 , 所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1. 4

????????4 分

15

(Ⅱ)设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,因为 AM ? AP ? AQ , A(2, 0) , 所以 AP ? ( x1 ? 2, y1 ) , AQ ? ( x2 ? 2, y2 ) , 所以 AM ? AP ? AQ ? ( x1 ? x2 ? 4, y1 +y2 ) , 所以 M ? x1 ? x2 ? 2, y1 ? y2 ? .

???? ?

??? ? ????

??? ?

????

???? ?

??? ? ????

? x2 2 ? ? y ?1 2 2 2 2 由? 4 ,得 (4k ? 1) x ? 8k x ? 4k ? 4 ? 0 (判别式 ? ? 0 ), ? y ? k ( x ? 1) ?

8k 2 ?2 ?2k ?2? 2 得 x1 ? x2 ? 2 ? , y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ? 2) ? , 2 4k ? 1 4k ? 1 4k 2 +1
即M(

?2 ?2k , 2 ). 2 4k ? 1 4k ? 1

设 N (0, y3 ) , 则 MN 中点坐标为 ( 因为 M , N 关于直线 l 对称, 所以 MN 的中点在直线 l 上, 所以

y ?1 ?k , 2 ? 3), 2 4k ? 1 4k ? 1 2

?k y ?1 ? 3 ? k( 2 ? 1) ,解得 y3 ? ?2k ,即 N (0, ?2k ) . 2 4k ? 1 2 4k ? 1 由于 M , N 关于直线 l 对称,所以 M , N 所在直线与直线 l 垂直, ?2k ? (?2k ) 2 2 ? k ? ?1 ,解得 k ? ? 所以 4k ? 1 . ????????14 分 ?2 2 ?0 4k 2 ? 1
?2a ? 4, ? 8、解:(Ⅰ)依题意得 ?c ? b, 解得: a ? 2 , b ? c ? 2 . ?a 2 ? b 2 ? c 2 . ?
所以圆 O 的方程为 x ? y ? 2 ,椭圆 C 的方程为
2 2

??????3 分

x2 y 2 ? ? 1 . ??????5 分 4 2

(Ⅱ)解法一:如图所示,设 P( x0 , y0 ) ( y0 ? 0 ), Q( xQ , y0 ) ,则

2 2 ? x0 y0 2 2 ? ? 1, ? ? ? x0 ? 4 ? 2 y0 , 2 即? 2 ?4 2 xQ ? 2 ? y0 . ? x 2 ? y 2 ? 2, ? ? 0 ? Q

??????7 分

16

又由 AP : y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) 得 M (0, ). x0 ? 2 x0 ? 2
y0 2 y0 ( x ? 2) 得 N (0, ? ). x0 ? 2 x0 ? 2
??????10 分

由 BP : y ?

所以 QM ? ( ? xQ ,

uuur

2 y0 xy ? y0 ) ? (? xQ , ? 0 0 ) , x0 ? 2 x0 ? 2

uuu r 2 y0 xy QN ? ( ? xQ , ? ? y0 ) ? (? xQ , ? 0 0 ) . x0 ? 2 x0 ? 2
2 所以 QM ? QN ? xQ ?

uuur uuu r

2 2 2 2 x0 y0 (4 ? 2 y0 ) y0 2 ? 2 ? y ? ? 0. 0 2 2 x0 ?4 ?2 y0

所以 QM ? QN ,即 ?MQN ? 90? .

??????14 分

(Ⅱ)解法二:如图所示,设 P( x0 , y0 ) , AP : y ? k ( x ? 2) ( k ? 0 ).

? x2 y 2 ? 1, ? ? 2 2 2 2 由? 4 得 (2k ? 1) x ? 8k x ? 8k ? 4 ? 0 . 2 ? y ? k ( x ? 2) ?
所以 ?2 x0 ?

8k 2 ? 4 2 ? 4k 2 x ? ,即 . 0 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1

所以 y0 ?

4k 2 ? 4k 2 4k P ( , 2 ). ,即 2 2 2k ? 1 2k ? 1 2k ? 1

4k 2 1 ?? 1 . 所以 直线 BP 的斜率为 2k ? 2 2 ? 4k 2k ?2 2 2k ? 1
17

所以 BP : y ? ?

1 ( x ? 2) . 2k 1 k
??????10 分

令 x ? 0 得: M (0, 2k ) , N (0, ) .

设 Q( xQ , y0 ) ,则 QM ? (? xQ , 2k ? y0 ) , QN ? ( ? xQ ,

uuur

uuu r

1 ? y0 ) . k
2k 2 ? 1 ? y0 . k

2 2 2 所以 QM ? QN ? xQ ? (2k ? y0 )( ? y0 ) ? xQ ? y0 ?2?

uuur uuu r

1 k

因为 xQ ? y0 ? 2, y0 ?
2 2

所以 QM ? QN ? 0 . 所以 QM ? QN ,即 ?MQN ? 90? . 9、(Ⅰ)由短轴长为 2 2 ,得 b ? 由e ? ??????14 分 ??????1 分

uuur uuu r

4k , 2k 2 ? 1

2,

c a 2 ? b2 2 2 2 ,得 a ? 4, b ? 2 . ? ? a a 2
x2 y 2 ? ? 1. 4 2
??????4 分

∴椭圆 C 的标准方程为

(Ⅱ)以 MN 为直径的圆过定点 F (? 2,0) . 证明如下:设 P( x0 , y0 ) ,则 Q(? x0 , ? y0 ) ,且

??????5 分
2 x0 y2 2 2 ? 0 ? 1 ,即 x0 ? 2 y0 ? 4, 4 2

∵ A(?2, 0) ,∴直线 PA 方程为: y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) ,∴ M (0, ) ?????6 分 x0 ? 2 x0 ? 2
??????7 分

直线 QA 方程为: y ?

y0 2 y0 ( x ? 2) ,∴ N (0, ), x0 ? 2 x0 ? 2

以 MN 为直径的圆为 ( x ? 0)( x ? 0) ? ( y ?

2 y0 2 y0 )( y ? )?0 x0 ? 2 x0 ? 2

??????10 分

【或通过求得圆心 O?(0,

2 x0 y0 4y ) , r ?| 2 0 | 得到圆的方程】 2 x0 ? 4 x0 ? 4

即x ?y ?
2 2

4 x0 y0 4 y02 y ? ?0, x02 ? 4 x02 ? 4

18

2 2 ∵ x0 ? 4 ? ?2 y0 ,∴ x ? y ?
2 2

2 x0 y?2?0, y0

??????12 分

令 y ? 0 ,则 x ? 2 ? 0 ,解得 x ? ? 2 .
2

∴以 MN 为直径的圆过定点 F (? 2,0) . 10、

????14 分

19

11、解:(Ⅰ)由题意 c ? 2 2 , 因为 e ?

c 6 ,所以 a ? 2 3 , ? a 3
2 2 2

???2 分

所以 b ? a ? c ? 4 所以椭圆 G 的方程为

x2 y2 ? ?1 12 4

???4 分

(Ⅱ)当直线 l 垂直于坐标轴时, 易得

1 OA
2

?

1 OM
2

?

1 1 1 1 ? 2 ? , ?AOM 的面积 S ? OA ? OM ? 2 3 ?1 分 2 2 a b 3

当直线 l 与坐标轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? kx (k ? 0) , A( x1 , y1 )

? y ? kx ? 则由 ? x 2 消元得 (1 ? 3k 2 ) x 2 ? 12 , y2 ?1 ? ? ? 12 4
12k 2 12 2 2 2 所以 x1 ? , y1 ? k x1 ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
2

???3 分

所以 OA ? x1 ? y1 ?

2

2

2

12(1 ? k 2 ) 1 ? 3k 2

???4 分

又 OM 是线段 AB 的垂直平分线,故方程为 y ? ?

1 x, k

20

同理可得 OM

2

?
1

12(1 ? k 2 ) k2 ? 3
2

???5 分

从而

1 OA
2

?

OM

?

1 ? 3k 2 k2 ? 3 4k 2 ? 4 1 ? ? ? 为定值。 2 2 2 12(1 ? k ) 12(1 ? k ) 12(1 ? k ) 3
?7 分

方法一:由

1 1 1 2 ,所以 OA ? OM ? 6 , ? ? ? 2 2 3 OA OA ? OM OM

2 2 当且仅当 OA ? OM 时,即 1 ? 3k ? k ? 3 , k ? ?1 时,等号成立,

所以 ?AOM 的面积 S ?

1 OA ? OM ? 3 。 2

???9 分 ???10 分

所以,当 k ? ?1 时, ?AOM 的面积有最小值 3 。 方法二: ?AOM 的面积 S ?

1 OA ? OM 2

所以 S ?
2

1 1 12(1 ? k 2 ) 12(1 ? k 2 ) 2 2 OA ? OM ? ? ? 4 4 1 ? 3k 2 k2 ? 3
36(1 ? k 2 )2 36(1 ? k 2 )2 ? ?9 (1 ? 3k 2 )(k 2 ? 3) 1 ? 3k 2 ? k 2 ? 3 2 ( ) 2
???9 分

?

2 2 所以,当且仅当 1 ? 3k ? k ? 3 时,即 k ? ?1 时, ?AOM 的面积有最小值 3 。

???10 分 12、解:(I)由题意知: c ? 3 . 根据椭圆的定义得: 2a ? (? 3 ? 3) ? ( ) ?
2 2

1 2

1 , 2

即a ? 2. 所以 b2 ? 4 ? 3 ? 1 .

x2 ? y 2 ? 1.?????4 分 所以椭圆 C 的标准方程为 4
(II)由题意知: ?ABC 的面积 S?ABC ?

? AB ? 4 1 , AB ? OP ? 2 2 OP
21

整理得 ? ? OP ?

2

4 . AB

①当直线 l 的斜率不存在时,l 的方程是 x ? 3 . 此时 AB ? 1 , OP ? 3 ,所以 ? ? OP ?
2

4 ? ?1 . AB

②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 3) , 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) .

? x2 2 ? ? y ?1 由? 4 可得 (4k 2 ? 1) x2 ? 8 3k 2 ? 12k 2 ? 4 ? 0 . ? y ? k ( x ? 3) ?

? 8 3k 2 x ?x ?? 2 , ? ? 1 2 4k ? 1 显然 ? ? 0 ,则 ? 2 ? x x ? 12k ? 4 . 1 2 ? 4k 2 ? 1 ?
因为 y1 ? k ( x1 ? 3) , y2 ? k ( x2 ? 3) , 所以 AB ?

( x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (k 2 ? 1)( x1 ? x2 ) 2

? (k 2 ? 1)[( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ] ? 4

k 2 ?1 . 4k 2 ? 1

所以 OP ? (

2

? 3k k 2 ?1

)2 ?

3k 2 , k 2 ?1

此时, ? ?

3k 2 4k 2 ? 1 ? ? ?1 . k 2 ?1 k 2 ?1

综上所述, ? 为定值 ?1 .?????14 分

?b ? 1 ? ?a ? 2 c 3 ? ? ?e ? ? a 2 ,解得 ?b ? 1 , 13、(Ⅰ)由题意知 ? 2 2 2 ? ? ?a ? b ? c ?c ? 3
椭圆的标准方程为:

x2 ? y2 ? 1 . 4

??????4 分

(Ⅱ)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 )
22

? y ? k ( x ? 2) ? 联立 ? x 2 ,消去 y ,得: (1 ? 4k 2 ) x 2 ?16k 2 x ? (16k 2 ? 4) ? 0.(?) ??6 分 2 ? ? y ?1 ?4
依题意:直线 l : y ? k ( x ? 2) 恒过点 (?2,0) ,此点为椭圆的左顶点, 所以 x1 ? ?2 , y1 ? 0 ----① , 由(*)式, x1 ? x2 ? ?

16k 2 -------②, (1 ? 4k 2 )

可得 y1 ? y2 ? k ( x1 ? 2) ? k ( x2 ? 2) ? k ( x1 ? x2 ) ? 4k ---- ③ , ??????8 分 由①②③, x2 ?

2 ? 8k 2 4k , y2 ? 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k

??????10 分

由点 B 在以 PQ 为直径的圆内,得 ?PBQ 为钝角或平角,即 BP ? BQ ? 0 .

? BP ? BQ ? ?2 x2 ? y2 ? 1 ? 0 . BP ? (? 2, ?1 ), BQ ? (x2,y2 ? 1 )


?12 分

4 ? 16k 2 4k ? ? 1 ? 0 ,整理得 20k 2 ? 4k ? 3 ? 0 . 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k
3 1 , ). 10 2
x2 y 2 ? ? 1, 16 12
??????2 分 ??????3 分 ??????14 分

解得: k ? ( ?

14、(Ⅰ)解:因为椭圆 C 的方程为

所以 a ? 4 , b ? 2 3 , c ? a2 ? b2 ? 2 , 则 e? 因为

c 1 ? , | FA |? 2 , | AP |? m ? 4 . a 2

| FA | 2 1 ? ? , | AP | m ? 4 2
??????5 分

所以 m ? 8 .

(Ⅱ)解:若直线 l 的斜率不存在, 则有 S1 ? S 2 , | PM |?| PN | ,符合题意. ????6 分 若直线 l 的斜率存在,则设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) , M ( x1 , y1 ) , N ( x2 , y2 ) .
? x2 y2 ? ? 1, 由 ? ? 16 12 ? ? y ? k ( x ? 2),

得 (4k 2 ? 3) x2 ?16k 2 x ? 16k 2 ? 48 ? 0 ,

?????? 7 分
23

可知 ? ? 0 恒成立,且 x1 ? x2 ? 因为 k PM ? k PN ?

16k 2 16k 2 ? 48 , . x x ? 1 2 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

?????? 8 分

y1 y k ( x1 ? 2) k ( x2 ? 2) ? 2 ? ? x1 ? 8 x2 ? 8 x1 ? 8 x2 ? 8
k ( x1 ? 2)(x2 ? 8) ? k ( x2 ? 2)(x1 ? 8) ( x1 ? 8)(x2 ? 8) 2kx1 x2 ? 10k ( x1 ? x2 ) ? 32k ( x1 ? 8)(x2 ? 8)
2k ? 16k 2 ? 48 16k 2 ? 10 k ? ? 32k 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3 ? 0, ( x1 ? 8)(x2 ? 8)

?????? 10 分

?

?

?

所以 ?MPF ? ?NPF . 因为 ?PMF 和 ?PNF 的面积分别为 S1 ?

?????? 12 分

1 | PF | ? | PM | ? sin ?MPF , 2
?????? 13 分 ?????? 14 分

1 S2 ? | PF | ? | PN | ? sin ?NPF , 2
所以

S1 | PM | . ? S2 | PN |

15、解:(Ⅰ)因为椭圆 C 的左焦点是 F 1 ? ?1,0? ,且 B 1F 1 ? 2, 所以 c ? 1 , a ? 2. 所以由 a ? b ? c ,得 b ? 3.
2 2 2 2

???????? 1 分 ???????? 2 分

x2 y 2 ? ? 1. 所以椭圆 C 的标准方程是 4 3
(Ⅱ)因为直线 y ? k ( x ? 1) 与椭圆 C 相交于 M , N 两点,

???????? 3 分

? y ? k ? x ? 1? , ? 2 2 2 2 联立方程组 ? x 2 y 2 消去 y ,得 ? 3 ? 4k ? x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0. ? 1, ? ? 3 ?4
???????? 5 分 所以 ? ? 144k ? 144 ? 0.
2

???????? 6 分

所以设点 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , P ? x0 ,0? , 所以 x1 ? x2 ?

?8k 2 4k 2 ? 12 x ? x ? . , 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

???????? 7 分

24

所以 PM ? PN ? ? x1 ? x0 , y1 ? ? ? x2 ? x0 , y2 ? ? ? x1 ? x0 ? ? ? x2 ? x0 ? ? y1 y2

???? ? ??? ?

? x1 ? x2 ? x0 ? x1 ? x2 ? ? x02 ? k 2 ? x1 ?1?? x2 ?1?
? ?1 ? k 2 ? x1 ? x2 ? ? k 2 ? x0 ? ? x1 ? x2 ? ? k 2 ? x0 2

? ?1 ? k 2 ? ?

4k 2 ? 12 ?8k 2 2 ? k ? x ? ? k 2 ? x0 2 ? ? 0 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

4k 2 ? 12 ? 4k 4 ? 12k 2 ? 8k 4 ? 8 x0 k 2 ? 3k 2 ? 4k 4 ? ? x0 2 2 3 ? 4k

?

?8x0 ? 5? k 2 ? 12 ? x 2
3 ? 4k 2
0

???????? 9 分

因为 PM ? PN 与 k 的取值无关, 所以

???? ? ????

8 x0 ? 5 4 ? . ?12 3 11 ? 11 ? . 所以点 P 的坐标是 ? ? , 0 ? . 8 ? 8 ?

???????? 12 分

所以 x0 ? ?

???????? 13 分

25


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