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2.3平面向量基本定理及坐标表示(1)


2.3平面向量基本定理及坐标表示 (1)

思考:如何证明三点共线
由共线向量定理可得,A,B,C 三点共线?存在 λ∈R, → → 使AC=λAB.请你根据该结论证明下列常用推论:

推论 1:已知 O 为平面 ABC 内任一点,若 A、B、C 三点 → → → 共线,则存在 α、β∈R,使OC=αOA+βOB,其中 α+β

=1.
→ → 证明 若 A、B、C 三点共线,则存在 λ∈R,使AC=λAB. → → → → ∴OC-OA=λ(OB-OA), → → → ∴OC=(1-λ)OA+λOB.
令 1-λ=α,λ=β,则 → → → OC=αOA+βOB,且 α+β=1.

推论 2:已知 O 为平面 ABC 内任一点,若存在 α,β∈R, → → → 使OC=αOA+βOB,α+β=1,则 A、B、C 三点共线.
→ → → 证明 因为存在 α、β∈R,使OC=αOA+βOB, 且 α+β=1.
→ → → ∴β=1-α,∴OC=αOA+(1-α)OB, → → → → ∴OC=αOA+OB-αOB → → → → ∴OC-OB=α(OA-OB) → → ∴BC=αBA, ∴A、B、C 三点共线.

思考题:如图 , BM ? 1 2

ABCD 中, M 在 AB 的延长线上 , 点 且 1 3
??? ? ?? ??? ? ?? 证明: AB ? e1 , 设 AD ? e2 , 则

AB , N 在 BC 上 , BN ? 点 且

BC .

求证 : 、 、 三点共线 . M N D

D

A

?向量 MN 与 MD 共线, 又 M 是公共点

??? ? ??? ? ?? ???? 1 ?? C BC ? AD ? e2 , BN ? e2 ? 3 ???? ? ? 1 ??? 1 ?? ? BM ? AB ? e1 N 2 2 ???? ???? ???? 1 ?? ? ? 1 ?? M ? MN ? BN ? BM ? e ? e B 2 1 3 2 ???? ??? ???? ?? ? ? ???? ? 3 ?? 1 ?? 1 ?? 又 MD ? AD ? AM ? e ? e ? 3 ( e ? e ) ? 3 MN 2 1 2 1 2 3 2 ???? ? ????

故 M 、 、 三点共线 . N D

设 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线的向量, 下面研究它们之间的关系. a 是这一平面内的任意向量,
M C

e1

a
e2

A

e1

a
N e 2 B

.
o

由向量共线定理, 则有且只有实数?1 、 2 , ? 使得

OM ? ?1 e1 ,ON ? ?2 e2 .

? OC ? OM ? ON

? a ? ?1 e1 ? 2 e2 . ?

1 .平 面 向 量 基 本 定 理
如果 e1 、 2 是同一平面内的两个不 e 共线向量, 那么对于这一平

面内的任一向量a , 有且只有一对实数?1 、 2 , ? 使

a ? ?1 e1 ? ?2 e2 .
基底.

其中不共线的向量e1 、 2 叫做表示这一平面内所 e 有向量的一组

注意:
而实数对 ?1 和 ? 2 是唯一的 .

e1 、 2 是同一平面内的不共线 e 向量, 是这一平面任意向量, a

2.向量的夹角
已知 两个非零向量a 和b ,作OA
( 0 ? ? ? 180 ) 叫做向量a
? ?

? a

,OB

? b

,则 ? AOB a

??

和b 的夹角. O b 当?
?

B b
?

A B ? 0 , a 与b 同向;

O
b B 当?

a a O
? 180
?

A A 当?

B b O
? 90
?

?

a

,a 与b 反向;

A ,a 与b 垂直.
a ? b

记作

?? ?? ? ?? ?? ? 练习: 已知向量 e1 、 2 (如图) , e 求作向量 ? 2.5e1 ? 3e2 .
??? ? ?? ??? ? ?? 作法: 任取一点 O , OA ? ?2.5e1 , ? 3e2 . 1. 作 OB

2. 作平行四边形 OACB . ??? ? 则 OC 就是所求作的向量 .

C
?? e2

B
?? 3e2

?? e1

A

?? ?2.5e1

. o

例1

如果 e1, 2 是平面 α 内两个不共线的向量, e 那么下列

②③ 说法中不正确的是________.(填对应说法的序号)

①λe1+μe2(λ、μ∈R)可以表示平面 α 内的所有向量; ②对于平面 α 内任一向量 a, a=λe1+μe2 的实数对(λ, 使 μ)有无穷多个; ③若向量 λ1e1+μ1e2 与 λ2e1+μ2e2 共线,则有且只有一个 实数 λ,使得 λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2); ④若存在实数 λ,μ 使得 λe1+μe2=0,则 λ=μ=0.

跟踪训练 1 设 e1、e2 是不共线的两个向量,给出下列四组 向量:①e1 与 e1+e2;②e1-2e2 与 e2-2e1;③e1-2e2 与 4e2 -2e1;④e1+e2 与 e1-e2.其中能作为平面内所有向量的一
①②④ 组基底的序号是_______.(写出所有满足条件的序号)

解析

对于③4e2-2e1=-2e1+4e2

=-2(e1-2e2), ∴e1-2e2 与 4e2-2e1 共线,不能作为基底.

例2

如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=2CD,M、N → → 分别是 DC 和 AB 的中点,若AB=a,AD=b,试用 a、b → → → 表示DC、BC、MN.
解 如图所示,连接 CN,则四边形 ANCD 是平行四边形. → → 1→ 1 则DC=AN= AB= a, 2 2 → → → → 1→ BC=NC-NB=AD- AB 2 1 =b- a, 2 → → → → 1→ MN=CN-CM=-AD- CD 2 → 1? 1 → ? 1 =-AD- ?-2AB?= a-b. 2? ? 4

小结

用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形

将基底和所要表示的向量联系起来.解决此类题时,首先 仔细观察所给图形.借助于平面几何知识和共线向量定理, 结合平面向量基本定理解决.

例3

如图所示,在△ABC 中,点 M 是 BC 的中点,点 N

在边 AC 上,且 AN=2NC,AM 与 BN 相交于点 P,求 证:AP∶PM=4∶1.
→ → 证明 设AB=b,AC=c, 1 → 1 → 2→ 则AM= b+ c,AN= AC, 2 2 3 → → → 2 BN=BA+AN= c-b. 3
→ → → → ∵AP∥AM,BP∥BN, → → → → ∴存在 λ,μ∈R,使得AP=λAM,BP=μBN, → → → 又∵AP+PB=AB, → → → ∴λAM-μBN=AB,

?1 ?2 ? 1 ? ∴由 λ? b+ c?-μ? c-b?=b 2 ? ?2 ?3 ? ?1 ? ?1 2 ? ? λ+μ? b+? λ- μ? c=b. 3 ? ?2 ? ?2



又∵b 与 c 不共线.
?1 ? 4 ?2λ+μ=1, ?λ=5, ∴? 解得? 1 2 ? λ- μ=0. ?μ=3. 5 ?2 3 ? → 4→ 故AP= AM,即 AP∶PM=4∶1. 5 小结 (1)充分挖掘题目中的有利条件, 本题中两次使用三点

共线,注重方程思想的应用; (2)用基底表示向量也是运用向量解决问题的基础, 应根据条 件灵活应用,熟练掌握.

课后作业
1.步步高《2.3.1》 2.预习2.3.2---2.3.4


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