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2015高考理科数学《函数与方程》复习题及解析


2015 高考理科数学《函数与方程》复习题及解析
[A 组 一、选择题 1.函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) C.(0,1) B.(-1,0) D.(1,2) ) 基础演练·能力提升]

解析 :因为函数 f(x)的图象是连续不断的一条曲线,又 f(-1)=2-1-3<0,f(0)=1>0,所以

r />
f(-1)·f(0)<0,故函数零点所在一个区间是(-1,0)故选 B.
答案:B 2.(2014 年福建六校联考)函数 f(x)= x-cos x 在[0,+∞)内( A.没有零点 C.有且仅有两个零点 B.有且仅有一个零点 D.有无穷多个零点 )

1 解析:原函数 f(x)= x-cos x 可理解为幂函数 x 与余弦函数 cos x 的差,其中幂函数在区间 2 [0,+∞)上单调递增且余弦函数的最大值为 1,在同一坐标系内构建两个函数的图象,注意到余弦 从左到右的第 2 个最高点是 x=2π ,且 2π >1=cos 2π ,不难发现交点仅有一个.正确选 项为 B. 答案:B 1 3.函数 f(x)=log2x+ -1 的零点的个数为(

x

)

A.0

B.1

C.2

D.3

1 1 解析:可将函数 f(x)=log2x+ -1 的零点的个数看作函数 y=log 2x 与 y=- +1 的图象的交

x

x

点个数,作出函数图象可得到交点有 2 个. 答案:C

x ?x- -kx ,x≤0 1 4.(2014 年福州模拟)若函数 f(x)=? ?ln x,x>0
2

有且只有 2 个不 同的零点,则实数

k 的取值范围是(
A.(-4,0) C.(-4,0]

) B.(-∞,0] D.(-∞,0)
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解析:取 k=0,可知函数 f(x)的 2 个零点是 x=0 或 x=1,故可排除 A、D;取 k=-4,可知函 数 f(x)的 2 个零点是 x=0 或 x=1,故可排除 C,选 B. 答案:B 5.设函数 f(x)=4sin(2x+1)-x,则在下列区间中函数 f(x)不存在零点的是( A.[-4,-2] C.[0,2] B.[-2,0] D.[2,4] )

解析:f(0)=4sin 1>0,f(2)=4sin 5-2,由于 π <5<2π ,所以 sin 5<0,故 f (2)<0,故函数

f(x)在[0,2]上存在零点;由于 f(-1)=4sin(-1)+1<0,故函数 f(x)在[-1,0]上存在零点,在[-
2,0]上也存在零点;令 x= 5π -2 5π 5π -2 ?5π -2? ?=4sin ∈[2,4],则 f? - >0,而 f(2)<0,所以函 4 2 4 ? 4 ?

数在[2,4]上存在零点.综合各选项可知选 A. 答案:A 1 6. 设函数 f(x)的零点为 x1, 函数 g(x)=4x+2x-2 的零点为 x2, 若|x1-x2|> , 则 f(x)可以是( 4 A.f(x)=2x- 1 2
x

)

B.f(x)=-x2+x-

1 4

C.f(x)=1-10

D.f(x)=ln(8x-2)

1 ?1? 解析:依题意得 g? ?= 2+ - 2<0, 2 ?4?

g? ?=1>0,∴x2∈? , ?.若 f(x)=1-10x,
1 则有 x1=0,此时|x1-x2|> ,因此选 C. 4 答案:C 二、填空题
x ?2 -1,x≥0 7.已知函数 f(x)=? 2 ?-x -2x,x<0

?1? ?2?

?1 ?4

1? 2?

,若函数 y=f(x)-m 有 3 个零点,则实数 m 的取值范围

是________.
x ?2 -1,x≥0 解析: 画出函数 f(x)=? 2 ?-x -2x,x<0

的图象, 由图象可知, 若函数 y=f(x)-m 有 3 个零点,

则 0<m<1,因此 m 的取值范围是(0,1).
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答案:(0,1) 8. 已知 f(x)=|2x-1|,f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),…,fn(x)=f(fn-1(x)),则函数 y=

f4(x)的零点个数为___ _____.
1 1 1 解析:f4(x)=|2f3(x)-1|的零点,即 f3(x)= 的零点,即|2f2(x)-1|= 的零点,即 f2(x)= , 2 2 4 3 1 3 3 5 1 7 的零点,即|2f(x)-1|= , 的零点,即 f(x) = , , , 的零点,显然对上述每个数值各有两个 4 4 4 8 8 8 8 零点,故共有 8 个零点. 答案:8 9.用二分法求方程 x3-2x-5=0 在区间[2,3]内的实根,取区间中点 c=2.5,那么下一个有根 的区间是________. 解析: 令 f(x)=x3-2x-5, f(2)=-1<0, f(3)=16>0, f(2.5)=5.625>0, 由于 f(2)f(2.5)<0, 故下一个有根的区间是[2,2.5]. 答案:[2,2.5] 三、解答题
x ?2 -a,x≤0 10.已知函数 f(x)=? 2 ?x -3ax+a,x>0

有三个不同的零点,求实数 a 的取值范围.

解析:依题意,要使函数 f(x)有三个不同的零点,则当 x≤0 时,方程 2x-a=0 即 2x=a 必有一 个根,此时 0<a≤1;当 x>0 时,方程 x2-3ax+a=0 有两个不等的实根,即方程 x2-3ax+a=0 有两

?Δ =9a -4a>0 个不等的正实根,于是有 ?3a>0 ?a>0 ?0<a≤1 ?a>4 ? 9
的取值范围. 解析:令 f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14, ?m>0, 依题意得? ?f ?m<0, 或? ?f 4 ,即 <a≤1. 9

2

4 ,由此解得 a> . 因此,满足题意的实数 a 需满足 9

11.关于 x 的方程 mx2+2(m+3)x+2m+14=0 有两实根,且一个大于 4,一个小于 4,求实数 m



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?m>0, 即? ?26m+38<0 19 解得- <m<0, 13

?m<0, 或? ?26m+38>0.

? 19 ? 即实数 m 的取值范围是?- ,0?. ? 13 ? 12.(能力提升)(2014 年浏阳一中高三阶段考试)已知二次函数 f(x)的最小值为-4,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)=

f x -4ln x 的零点个数. x

解析:(1)∵f(x)是二次函数,且关于 x 的不等式 f(x)≤0 的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}, ∴设 f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a, 且 a>0.∵a>0, f(x)=a[(x-1)2-4]≥-4,又 f(1) =-4a, ∴f(x)min=-4a=-4,∴a=1.故函数 f(x)的解析式为 f(x)=x2-2x-3.

x2-2x-3 (2)∵g(x)= -4ln x x
3 =x- -4ln x-2(x>0),

x

g′(x)=1+ 2 - = x x

3

4

x- x
2

x-

.

∴x,g′(x),g(x)的取值变化情况如下:

x g′(x) g(x)

(0,1) + 单调递增

1 0 极大值

(1,3) - 单调递减

3 0 极小值

(3,+∞) + 单调递增

当 0<x≤3 时,g(x)≤g(1)=-4<0,

g(x)在(3,+∞)上单调递增,g(3)=-4ln 3<0,取 x=e5>3,g (e5)=e5- 5-20-2>25-1-22
=9>0. 故函数 g(x)只有 1 个零点,且零点 x0∈(3,e5). [B 组 因材施教·备选练习] )

3 e

1.函数 f(x)=x3-bx2+1 有且仅有两个不同零点,则 b 的值为(
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4 A. 2 C. 33 2 2

3

3 B.

2 2

D.不确 定 2b .当曲线 f(x)与 x 轴相切 3

解析:f′(x)=3x2-2bx=x(3x-2b),令 f′(x)=0,则 x=0,x=

33 ?2b? 时,f(x)有且只有两个不同零点,因为 f(0)=1≠0,所以 f? ?=0,解得 b= 2. 2 ?3? 答案:C 2.(2013 年高考重庆卷)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)·(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)·(x -a)的两个零点分别位于区间( A.(a,b)和(b,c)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 ) B.(-∞,a)和(a,b)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内

解析:令 y1=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)=(x-b)[2x-(a+c)],y2=-(x-c)(x-a),由

a<b<c 作出函数 y1,y2 的图象(图略),由图可知两函数图象的两个交点分别位于区间(a,b)和(b,c)
内,即函数 f(x)的两个零点分别位于区间(a,b)和(b,c)内. 答案:A 3.已知 x∈R,符号[x]表示不超过 x 的最大整数,若函数 f(x)= 点,则 a 的取值范围是( ?3 4? ?4 3? A.? , ?∪? , ? ?4 5? ?3 2? ?1 2? ?5 3? C.? , ?∪? , ? ?2 3? ?4 2? 解析:当 0<x<1 时,f(x)= 1≤x<2 时 ,f(x)= [x] [x] ) ?3 4? ?4 3? B.? , ?∪? , ? ?4 5? ?3 2? ?1 2? ?5 3? D.? , ?∪? , ? ?2 3? ?4 2? [x]

x

-a(x≠0)有且仅有 3 个零

x x

-a=-a,

x

1 [x] 2 -a= -a,2≤x<3 时,f(x)= -a= -a,….

x

x

f(x)=

[x]

x

-a 的图象是把 y=

[x]

x

的图象进行纵向平移而得到的,画出 y=

[x]

x

的图象,通过数形

?3 4? ?4 3? 结合可知 a∈? , ?∪? , ?,选 A. ?4 5? ?3 2?
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答案:A

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